Applicazioni lineari

PRESENTAZIONE

Se è dato un sistema lineare A di dimensione mxn, tale che:

(L) Ax ∈ IRⁿ

Questo sistema può essere rappresentato come una matrice:

A = [a_ij]

Dove i rappresenta le righe e j rappresenta le colonne.

La funzione lineare L(x) = Ax è espressa in coordinate come:

L(x) = [Y₁, Y₂, ..., Y_m] = A[x₁, x₂, ..., x_n]

Dove x = [x₁, x₂, ..., x_n] è il vettore di input.

La composizione di due funzioni lineari è ancora una funzione lineare. Se B è una matrice di dimensione kxm e K è una matrice di dimensione nxk, allora la matrice risultante della composizione è BA.

LA DIMENSIONE DI UNA FUNZIONE LINEARE

Data una funzione lineare L: IRⁿ → IR^m, la sua dimensione è data da:

L(dim U) = min{dim T | T è un sottospazio vettoriale di IR^m tale che L(IRⁿ) ⊆ T}

Quindi, data una funzione L: IRⁿ → IR^m, la sua dimensione è uguale a:

L(dim U) = dim(T) = dim(basi di T)

eneata doalla matsice AIR R" e rappCeentata da ATEOREMA DI AAPPAESENTAZIONE (oENERALE)Lteorema precedentemene enucioato iferiua adSetto, OUerO alle cooidi a t eU caSO pcnticolCred l o base canonIca ona c g l i a o tscuare qelle2GIsetto ad Una qenecico b sePima di eunCiare l teore ma Cice tdamo dheCale che dimV = n edEo u spotio uettor ade va , n ba e d V, Pceo u e t t o fe le Vcosdotee allaa Sonoasue baseci>ettoXV, +. +X n E R" Sono le ccoicln.teSetto rd adCla e il ettore dele coordinate dVspecto alo beieTEORE HA bat due sqaz etctal V bal che d.m Vne dim W m. tal chee i,d. V e s: í . e a boseU Na DaSed W, s. ho h e O n a math e A Mxn éale: V W neare » vveVche [L(vi]a CaA=La mMts ce Ae Unicae s h o n çaOesentat vd petto ale basi a d e di wdi Acolon ne uettorLe n CLvOJaa Civ.JoA AMan Ce. JOSSERVaEONE tA)=dm ZmLTEOREMA DL CAMGIo DI BASEL'0biektiuo, data una funzone lneare detinitetrouace u a tase d. R" tale che e p e s SIOne

kelleCondi note d B Setto a bale c e s.0 a p U "se?he"poSs.b leap anmo che 2(%)= AX, dove A e a t s i e Tappre se ntatiuaspettO alla bee c a O b a d IR.BE la matsice rapore e n t a ra d speco adSeon'altsa mue d IR, che neciioe ce tra A e 7TEOREMA LR" eaicL(z): A s.a - ) aDase dR e s a B la Matr. ce 7p e senttP nxn auestubule tale de P A Pedhamata del possagaMatice elloCombiO d b a s e) e ha per coionneUettor P'APB AeBP-1e B P'APnfatti PLP 1 P(P "AP)?': IAT ADef- due ruto. C An*nS dceono simili se 3 P inUest. buletae e P-A AP 3MATRICI DIAGOAJALIZEA8ILIpet-o Una tunticne Le diaqenalizzabile ( cië ë sorpieentakada uno matsi e diagcnale) se esi ste om'base1 , . , n d i IR° spetto ala quele la mataceTagnre e A t ativ di L e diagonoale.D La matsice A Gap. d LISette a l l bee eOnICCGRA PPAE SENTAZIONE iN CoORDiNATE dIRISPETTO ALLA Pse o u n qalunque uettoe x ¬RRASE CANON ICA Con x) (ceeR"¬ =A s )-ecocTdinte del

uet&OTE s Pealla base canonicaY a, X, *a, X2 ain hY = * ,,x, tX +a2n Xa n , aYn pz*zt - . +nnRISPETO ALLA- Pseso ua ettore x e (R" l e sue c o u r d i r a t eGSe tto a 8 o no C I 0 ( x', . -. XR),l Su iMMGgineeR Y], (y;, Y£,-, Y, )Lte) YDle ccogdisue cinate Spetto calla baseSoitano essEreXLhe pTOpteta hanO Uetoa L,, Vt ertar s h e lamatCC r a e A t a t ua sia i aaonalel e loro immgin (4lx,),Ló ) Sono atallelepcoor2idnal1) a y e U2AUTOVETTORI, AUTO UALORI EAUTOSPAEIDe data uo toszione lneare L V V con V spaziovettoale, si dice che e v un adtouetore di LSe é R ( detto autoualone) 6ae ehee #eL (V)=Nellesempio della cié lesbioneO ettor. d Z (esclosc Jo autoettor reatiu.all O u t o l o re LTott uettor ds (escioo ) sono a o t o vettor rebti oallautoval o reOSS-b Se L on autoettore selatiuo al autoualorecioe se L(L)= Ay allora 6 - so no t a v e g t 2eNat all aotoUalbreEE IR, t+ o intattE:L(V): t(a)= l t )e a c eQuind funzioe ha manon Ununa almendSemp

eCLu&ouettore masngoo, unauedi awto t e o rcettabet o se e un aut0uodo re d. V V (funzicne ineaeavtos patio ferito aSi iamaVe insree degli avtoettor relatiV aautoucl one A c o nangionba del vebtore nulloTEOREMA 8ASE D AUTOvETTOR E RA PORESENTAEIONELINEARE CON UUAD UNAPPLICAZIONEMATRICE DIAGOJALE L IR" IK", e oData Una Euntione lineareebase di IR B Y. n a mat CeY. e t t o a B e diaaoraesee ono abtouettoolodiSe L(v)- AV, LU)= AL2,. L(L)= An n allorasono q avtoualori di L,.. Aninfatt la L cobnna d beLuv,]eL(V,): , V, = ^uY. + OV2T .. . + 00)[ilv.)I * ( , 0.oSS 0 un autoalore d 2 se 1 6 IR*tale Z() i oe SecheKer L #{e7 cure dim kerL>1L'auto Spati gelatiuo all'autoualo.re OeV, e R Llx):ox f ker LMATRICI ORTOGONALIDef o Una atoice A nxn e artogonale se. At A A A - IeA: ADe A e inverEibileCioeA ortogonale AA = Idet (A A)= det Adet A)- t 1TEOREMA- A nan ë ortogonale see olo e le sue Gghee le sue c o i o n togmare u a baseOrtortmale di RA.2 &í

base ortonormale di R2

a base ortogonale

DETERMINAZIONE AUTONOMA AUTOMATICA

in sistema lineare omogeneo Ax = 0

con A di dimensione n×n (n equazioni ed n incognite)

x = 0 è soluzione (soluzione banale)

Se ha soluzione non solo banale, r(A) = n

Se ha soluzione solo banale, r(A) < n

Teorema di Bézout

una matrice A è diagonalizzabile se e solo se (A-AI) = 0

e ha autovalori distinti

(A-AI) = 0 implica che A è diagonalizzabile

e A = A2 c e Ax = λx

2Ax = As - I x = 0

D(A - λI) = 0