Applicazioni lineari

arlieaaani ne

at de saz uett or

al Ve W

D e - la funzione L: V> W é un' appieazione

line are e ualcaoro e seguent p op°eta:

A)ABDIUITA Y , , eV y . V ) = L/y,) +L(Va)

2) OMOoENEITA L(t)= t 2(y)

t e IR E V,

¥ V

i 4 ° 6RADO

Condizig (a

Condizie aecessaoIG suEiete)

non

a e

nease

a ff.nche c

fatt

se to e YeV => Loy): oLlY)

Alcuni esem

A)LR R Lx)xnon neae ache se Lt0) = 0

L(3+5) 64 # L(3) + L(5)= 3t 23

infatt

2) R R, L(x)= m eineare

infatt 4(x,+ x,) = m(x, +*2)-m (x}t m(x,) = Lo,)+ Llx2)

L(Ex) = m(tbe) = t(mx) t L(x)

3 ) L IR R, Z(x) tsas lazicne di on uetto re M la,b)

nooe linecse perche L(o.0) # (0,0) a meo che H =

A) L R ,

R2 L)= attoco ad di un agolo

rotaaione

in verso antiorao. T

elineare perche 2(0a) =0 0)

2 (0tV) = 2(U) FL(v)

LEV) = t L(V)

OSS£RUAZIONI La koeione identita L v ,L(y) =

V lineae

L o tomioe nula L: V w, L (v) =e lioea/

NOCLEO E IMMAÓINE DI UN APPLICAtlONE LIN.

De d a a vn'agplcozicre lease L V W, si chiama NULEO

d i l ottoi nSieme c V dei ettos d U ehe hanno

pes iMmaq n e 2 E W

ker

L {veV: Ly)= a "(a) w

KerL e un sottosoii ettoriale di V

TEOREMA Ker L #0 peche ¬ ker L

s e V.z e ker L + (V,+Y) ¬ KerL (LN *2) + e = Q)

t eR ker L (ty) KerL

ve

se e (Lity)= tLlY) =

t.c-)

bef V s d i c e MMAGINE

W

L

cne lneare

caz

a l

aato

d 2 i ottoinseme d wFormato dalle M Man

de vetto d

Im

TEOREMA Im L e attopazio e t o r a k d VW

se 2(y4) e =i(V,)

DM D e 2 E ImL, c o e

allo ra w+W e ImL nfattL(V.*Y2)=L/v,¥L(Y) u, F

se te IRe we TmL cice se u=L(v) allcro t u e Ial

ih fat

FONEIONI LINE RI INIETTI VE E sURIETTIVE

ati due spat vettooial. Ve W, tal he dimVrn e dim W= m,

L W e suriettiva e ImL W

LV w e an é surietiua e e solo e dim Lm=

dm

v >W e iniettiv se L(L)=

L(V) »e e Sdo se V , V

TEOREMA (Cara tteciTzozica delle tunZian Loeari inie.ctive)

L: V w iineare e (niettiuc se e solo se kesL:f

siM- (=7) se e i niettiua albs se L(e)=,

sccme L(e)= 2, allora = 2

( s e Ker iiet allcroaL einiecti

ua

se

inf otti L(V2),

( L ) ace

se L ) -L ) o

L(v,- V2)= - v , ¬ ker L

Una fuzione linea re tro s t i vettoricl L V w (doue dim V:n

ela ualori

e dim UW n)eunivocomente indNIduaC

V

di

di e

b

e t l o una

Su

he aI3ume

Se a uA, V n e una kase d V

e V S i ho dhe L(V) 2(*Y, +.+X, Vn)

x,L(v,) + .. +XnL()

Soe e coc odinate diYC Spettob

doue XA

alla ba re

Im L:}L(V) vEV}{xiL(V) +...t X,L/), x,

X.*n E R

span( L), (Vn))

e unc bose d. V

doue a,

EX Sia A Mto ce

Um mMxne nxd

X ettore

un A

x = Mx1

R R, ) =A x con E R e Ax e R

Diostso Che Le n am c a z e ineae

4)LATs) = a( x,*%): A x, +

AX L(x.)+L(a?

2) L(tx= Alts): tA() t L(s)

S a:e,.ez, en a bOse d: IR"

canonica

So he LmL (Lle,), - -,L(E)