Applicazioni lineari

L_A(x) APPL.LINEARI = OMOMORFISMO

Siano V e W 2 spazi vett. Un'app. si dice LINEARE

T: V → W

v ∈ K

• T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂)SOMMA DOMINIOSOMMA CODOMINIO
• T(vα) = αT(v)ATTO PASSATOPER L'ORIGINE

PS: Se T(0) ≠ 0 non è linearema non è detto chese T(0) = 0 è lineare

V^m - W^m Matrice identità ➔ ker id={0}

Se T: V → W è lin. e S: W → U è lin. allora V - W^T - U è lin.

S ∘ T

(S ∘ T) ● (smorja T)

T ∘ S

cioè V - U (T ∘ S)(u) = T(S(u))

L_A(

Σ) APPL. LINEARI = OMOMORFISMO

Siano V e W 2 spazi vett. Un'appl. si dice LINEARE

T: V ───> W

(BIO.

cond.

se k

_k

Presendo V , sparando di là e

sommando e'-sommoli e poi sparando di là

1) T (v_x1 + v_x2) = T (v_x1) + T (v_x2)

SOMMADIRINO

SERRRIK CODOMINIO

2) T (k v) = k T (v)

_p

Per e le origin

---

T additivo

CHIUSA RISP. SOMMA E PRODOTTO

ADD (a₁ v₁ +...+ a_m v_m)

= a₁ w₁ +...+ a_m w_m

_{1 l 2} lineare

matrice identica v n

modulo in _{e senso}

_N>0

PS: V V!

Se _')

se

_{e lineare}

0) e = ker id= 0

!!!

Vs: Se T : V

T :

_m

T

SO V U -V W e line e S:

Se:

W

U

_dic

--

lli

TWTUmodulo WT' line e line

• L((R^p, R^m)
• =d_dim (i (R^p, R^m)

T: U - V

↔ s: W - U

_{(smoggia T: S V}

cioe' V - U

( →T (&

.

H_mpc(R) .

, T : U ˂'-W R)

.

(T o S)(u) =T (S (u))

IPOTIZZANDO:

• _S∈_Mm,p(ℝ)
• _T∈_Mm,m(ℝ)

Allora (S○T)∈_Mm,p(ℝ)

cioè la matrice di m righe x p colonne

_{D Mm,p}=_Mm,p

_{PRODOTTO PER MATRICI}

RISP:

Esercizio 1.

Dire quali tra le seguenti applicazioni da ℝ³ a ℝ³ sono lineari:

• _T1(^x_{y z})=(^2x-y_z-xy+z)
• _T2(^x_{y z})=(^{y2 + x}_2zx+z)
• _T3(^x_{y z})=(^x+y+1_x+z0)

QUANDO SONO LINEARI?

Se chiusi per somma e prod. scalare

→ Omogenea?

_T1:

(^2x-y_z-xy+z)

= (^?₀0)

→ è omogenea cioè non ha termini noti → LINEARE

_T2:

(^y2+x_2zx+z)

= (^?₀0)

→ è omogenea cioè non ha termini noti → LINEARE

_T3:

(^x+y+1_x+z0)

= (^?₀0)

→ Non è omogenea cioè ha termini noti → NON LINEARE

GEOMETRICAMENTE:

Se:

L(v) + L(w) = L(v + w) CHIUSO RISP. SOMMA

dove va l&qgrave;immagine ^t=0? _t=m?

L(αv) = L(αv) CHIUSO RISP. PROD. X SCALAR

allora l'applicaz. è LINEARE

• LINEE rimangono linee
• ORIGINE rimane fissato

PS: presi lo spazio V di partenza → spazio W di arrivo

se s=c

Condizione necessaria per la linearità

Per vedere se una data funzione è lineare, bisogna in teoria verificare le proprietà di omomorfismo, ossia la linearità e l'omogeneità: tradotto (bisogna verificare che l'immagine della combinazione lineare è la combinazione lineare delle immagini). Esiste, tuttavia una scorciatoia che ci permette di abbreviare i calcoli...

Tutto parte dal vettore nullo. Cosa accade quando applichiamo la funzione al vettore nullo? In che cosa si trasforma? Per capirlo, consideriamo una funzione lineare f : V → W. Ora se consideriamo il vettore nullo 0̅.

Che cos'è f(0̅)?

Naturalmente presi due vettori v₁ e v₂ in V e due coefficienti λ₁ e λ₂ di un campo K, vale:

f(λ₁v₁ + λ₂v₂) = λ₁f(v₁) + λ₂f(v₂)

Se applichiamo questa regola al vettore nullo possiamo scrivere la seguente cosa (siccome non so chi è f(0̅) lo chiamo w).

f(0̅ + 0̅) = f(0̅)     f(0̅) = w

Ora, mi ricordo della proprietà di omomorfismo e spezzo la funzione nella somma delle