Applicazioni lineari

L_A(x) = APP. LINEARI = OMOMORFISMO

Siano V e W ℓ. spazi vett. Un’app. si dice LINEARE

∀α∈ℝ T: V → W

Prendendo V₁ sottomodulo di L₁ e sommodulo e^c -sottomodulo e poi sottomodulo…

• T(ω₁ + ω₂) = T(ω₁) + T(ω₂)
  • SOMMATIVITÀ
  • SOMMA
  • CODOMINIO O
• T(kω) = kT(ω) (attributo portante per le origini)

T additivo chiusa rispetto a somma e prodotto O se è biethita T(α₁ω₁+...+α_mω_m) = α ω₁ + ... + α ω_m

PS: Se T(0)≠0 non è lineare ma non è detto che se T(0)=0 è lineare

V^m = D^m matrice identica => Ker id={0} V^m ∈ V_n marchia in sé stesso

QS: Se T: V→W e lim. e S:W→U e lim. allora V_s W^T_O U^O e lim. allora

(T o S)(u) = T(S(u))

{ (ℝ^p, ℝ_m) - o dim. ∫ (ℝ^p, ℝ_m) - m . p

M_m,n(ℝ)

IPOTIZZANDO:

• S ∈ M_m,p(ℝ)
• T ∈ M_m,m(ℝ)

Allora (S•T) ∈ M_m,p(ℝ)

c'è la matrice di molte x p colonne

M_m,p • M_p,m • M_m,m = PRODOTTO PER MATRICI

R:

Esercizio 1.

Dire quali tra le seguenti applicazioni da ℝ³ a ℝ³ sono lineari:

• T₁: \(\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} 2x - y \\ z - x \\ y + z \end{array}\right)\)
• T₂:\(\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} y^2 + x \\ 2z \\ x + z \end{array}\right)\)
• T₃:\(\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c} x + y + 1 \\ x + z + 2 \\ 0 \end{array}\right)\)

QUANDO SONO LINEARI? Se chiusi per somma e prod. scalare

Omogenee?

T₁:\[\left(\begin{array}{c} 2x - y \\ z - x \\ y + z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\

= È omogeneo perché non ha termini noti ➔ LINEARE

T₂:\[\left(\begin{array}{c} y^2 + x \\ 2z \\ x + z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\

= È omogeneo perché non ha termini noti ➔ LINEARE

T₃:\[\left(\begin{array}{c} x + y + 1 \\ x + z + 2 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\

= Non è omogeneo perché ha termini noti ➔ NON LINEARE

Siccome f è applicazione lineare (omomorfismo) allora:

f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂)

↓

o + o = o

Quindi la somma è ancora un elemento del nucleo v₁ + v₂ ∈ Ker(f)

Vediamo ora il prodotto per uno scalare. Consideriamo uno scalare λ ∈ ed un vettore

del nucleo v ∈ Ker(f) chi chiediamo se λv ∈ Ker(f)? Siccome f è applicazione lineare

(omomorfismo) allora:

f(λv) = λf(v) = λo = o

Quindi anche il prodotto per uno scalare appartiene al nucleo λv ∈ Ker(f)

Abbiamo dimostrato che il nucleo Ker(f) è un sottospazio vettoriale del dominio V

IMMAGINE

L'Im(T) corrisponde al codon ➔ sottosp. di W ➔ Im(T) = W

• dim Im = colonna indep

EX:

prendo una matrice associato ad un app. lin ridotto a sceda:

T lo diệt

Im(T) = Span

Dato

f : ℝ² → ℝ

f (

• x₁
• x₂

) = (

• 1/√2
• 1/2

• 1/2
• -1/√2

• x₁
• x₂

),

f è iniettiva ?

guardo la dim ker e dim Im

ker (f) : (

• 1/2
• 1/2

• 1/2
• -1/2

) (

• 0
• 0

)

noto che dim ker = {0} → ɸ iniettiva

ma dim Im = {2},

dim V

INVERSA

è un ISOMORFISMO

• L^-1 : W → V

è una matrice quadrata e soddisfa le proprietà:

1. L^-1 ● L = I_dV
2. L ● L^-1 = I_V

REGOLA: una matrice è invertibile sse det ≠ 0

COME LA OTTENGO:

METODO 1

1. Faccio la matrice completa (A|id)
2. Col gauss cerco di trasformare la matrice sulla sx

costruisco la matrice con i coeff. λ_j usati per trovare le comb. lineare di w_i

A_[V,w]

(_{a1,1 ... a1,m})

( _{... i ...} )

(_{am,1 ... am,m})

f : ℝ³→ℝ²

f(x,y,z) = (2x+y, y-z)

V = {

(¹/₂)

(¹/₂)

(¹/₂),

( 0

1

1 )}

W = {

( 1

1 ),

( 1

-1 )}

testiamo V con la legge f :

f ( 1 - 2 2 ) = ( 0, 0 )

f( 0 1 1 ) = ( 0 -1 )

f ( 0 0 1 ) = ( 0 0)

devo trovare :

α₁ (

1

1 ) + α₂ (

1

-1 ) = (

V_x

V_y )

⇒ {

α₁ + α₂ = V_x

α₁ - α₂ = V_y

f (

0

0 ) = α₁ (

1

1 ) + α₂ (

1

-1 ) = (

V_x

V_y )

⇒ {

α₁ + α₂ = 0

α₁ - α₂ = 0

⇔ {

1 1 | 0

1 -1 | 0

} ⇔

α₁ - α₂ = 0

α₂ = 0

⇔ {

1 1 | 0

0 -1 | 0

F_W (ω_i) (

0

0)

Controlliamo di

Il tre bolato del nucleo quindi basta prendere la sol del nucleo aggiungere ai termini noti:

Cambio base da B a B'

Cambio coord. da R^m a R^m

Cambio base da C a C'