Matrici e applicazioni lineari

A A A

∈ ∈ .

n

L ( x) = A ( x) = A x = L (x), per ogni x, y K ,

A A

DEF: Consideriamo due mappe qualsiasi:

→ Y e

f: X

g: Y → Z. ∘ : → Z ∘ () ≔

La composizione o la mappa composta di f e g è la mappa definita da

(()) ∀ ∈ . → U ed P: U → W

Possiamo dire, grazie al teorema di linearità della mappa composta, che, se L: V

∘

sono mappe lineari, allora anche la mappa composta è lineare.

Siano A e B due matrici di tipo m x n e di tipo k x m, rispettivamente. Allora è ben definita la composta

→ K → K

n m m k

delle mappe L : K e L : K , cioè delle mappe rappresentate dalle matrici A e B.

A B

Inoltre, ∘ (x) = L (L (x)) = B(A x) = [per associatività del prodotto tra matrici] = (B A) x = L .

B A BA

In conclusione, si può dire che il prodotto tra matrici corrisponde alla composizione delle mappe

rappresentate dalle matrici.

Sia L: V → W una mappa lineare. ∈

-1

DEF: Il nucleo di L è ker(L) : = L (0) = {x V : L(x) = 0}.

Sia A una matrice m x n. Il nucleo di A si definisce come il nucleo della mappa rappresentata dalla

matrice A: ∈ n

ker(A) : = ker(L ) = {x K : A x = 0}.

A

di una matrice A è l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo A

E quindi il nucleo x = 0, cioè un

sottospazio del suo dominio [stessa cosa per le mappe lineari].

che anche l’immagine di una mappa lineare è un sottospazio di Y (L: X → Y).

Da qui si capisce rispetto ad una mappa lineare; Sia L: V → w è una

Per il teorema di struttura delle contro immagini

∈

mappa lineare e sia w W. Allora vale una delle seguenti alternative:

0

❖ ∉ ⊘;

-1

w im(L) cioè L (w ) =

0 0

❖ ∈

w im(L).

0 l’insieme delle contro immagini di

∈ -1

Cioè (∃ v V) L(v ) = w e in questo caso w , L (w ) coincide con

0 0 0 0 0

∈

{v + u : u ker(L)}.

0

In particolare, L è iniettiva se e solo se ker(L) = {0}.

L’applicazione inversa

Sia f: X → Y una applicazione biiettiva.

∀ ∈ ∃! ∈

Per la definizione di biiettività, f(x) = y.

L’applicazione che associa ad y tale unico x si dice l’applicazione -1

inversa di f e si indica f .

[I termini applicazione, mappa e funzione hanno lo stesso significato]

Per il teorema della linearità della mappa inversa;

Siano V e W spazi vettoriali. Sia L: V → W una mappa biiettiva. Se L è lineare, allora anche l’inversa di

L è lineare.

Sia A una matrice quadrica di ordine n con elementi in K. è invertibile e in tal caso, l’inversa di

La mappa rappresentata da A è biiettiva se e solo se la matrice A

-1

L è la mappa rappresentata dalla matrice A .

A

Basi di uno spazio vettoriale …, ∀ ∈

DEF: Sia V uno spazio vettoriale su K. Si dice che i vettori v , v , v formano una base di V se

1 2 n

1

⋮ , …, , …,

∃! = ∈ , v si scrive come la combinazione lineare di v , v v con i coefficienti c , c

1 2 n 1 2

2 , …,

c , il vettore c si chiama il vettore delle coordinate del vettore v rispetto alla base B : = { v , v v }.

n 1 2 n

DEF: Sia V uno spazio vettoriale.

❖ ∈

Se esiste una base di V composta di n N vettori, allora n si dice la dimensione di V, e si scrive

dim V = n;

❖ ≠

Se V {0} e non esiste nessun sistema finito di vettori che formano una base di V, allora per

definizione

dim V = +∞;

❖ Se V = {0} (spazio banale), allora per definizione poniamo

dim V = 0;

Applicazioni lineari tra spazi di dimensioni finite

→ K

n m

Iniziamo con le mappe lineari L: K . n m

Per il teorema di rappresentazione delle mappe lineari di K in K ;

→ K

n m

Per ogni mappa lineare L: K esiste una unica matrice A di tipo m x n tale che L = L .

A

n m

Questa matrice A è detta la matrice rappresentativa di L [rispetto alle base canoniche di K e K ].

Per il teorema di rappresentazione;

Siano V e W due spazi vettoriali con n : = dim V < +∞ e m : = dim W < +∞.

, …, , …,

Siano B : = {v , v v } una base di V e C : = {w , w w } una base di W.

1 2 n 1 2 n

Sia L: V → W una mappa lineare, ∀ ∈

allora v V vale la formula c = A b, dove b è il vettore delle

coordinate di v rispetto a B, c è il vettore delle coordinate L(v) rispetto a C, e la matrice A è definita nel

j = 1, …, n)

seguente modo: A è di tipo m x n e (∀ la j-esima colonna di A è il vettore delle coordinate

di L(v ) rispetto alla base C.

j

Inoltre, per il teorema di passaggio tra le basi;

, …, , …,

Siano B : = {v , v v } e C : = {w , w w } due basi di uno spazio vettoriale V di dimensione n

1 2 n 1 2 n

∈ ∈ ∈

n n

< +∞. Se d K e f K sono i vettori delle coordinate di uno stesso vettore qualsiasi v V rispetto alla

base B e alla base C, rispettivamente, allora d = S f, dove S è la matrice di ordine n definita nel seguente

j = 1, …, n)

modo: (∀ la j-esima colonna di S è il vettore delle coordinate di w rispetto alla base B.

j

-1

Inoltre, S è invertibile e quindi f = d S .

[La matrice S nel teorema precedente si chiama la matrice di passaggio dalla base B alla base C]

argomenti: Basi (matrici), dipendenza lineare.

Per teorema di trasformazione della matrice rappresentativa sotto cambiamento delle basi;

V → W una mappa lineare. Siano B e B’ due basi di V. Siano C e C’ due basi di W.

Sia L:

Se A è la matrice rappresentativa di L rispetto alle basi B e C, e se A’ è la matrice rappresentativa di L

′ −1

rispetto alle basi B’ e C’, allora è la matrice di passaggio dalla base B alla B’

= , dove S e

V

è la matrice di passaggio dalla base C alla C’.

S

w , …,

DEF: Vettori v , v v di uno spazio lineare V su K di uno spazio lineare V su K si dicono linearmente

1 2 n

∃ ∈ + + ⋯ + = 0.

dipendenti se non nullo tale che 1 1 2 2 , …,

= = ⋯ = = 0,

Altrimenti, cioè se vale solo con allora v , v v si dicono linearmente

1 2 n

1 2

indipendenti. , …, ∈

Sia V uno spazio vettoriale. Siano v , v v V vettori qualsiasi. Le seguenti due affermazioni sono

1 2 n

equivalenti tra di loro:

, …,

1. I vettori v , v v sono linearmente dipendenti;

1 2 n , …,

2. Almeno uno dei vettori v , v v si scrive come combinazione lineare degli altri.

1 2 n

Per il teorema delle condizioni per essere una base; , …, ∈

Sia V uno spazio vettoriale e sia B un sistema di n vettori v , v v V. Le seguenti affermazioni

1 2 n

sono equivalenti tra di loro:

1. B è una base di V;

2. Si verificano le seguenti due condizioni:

, …,

a. v , v v sono linearmente indipendenti,

1 2 n

b. dim V = n;

3. Si verificano le seguenti due condizioni:

, …,

a. v , v v sono linearmente indipendenti,

1 2 n , …,

∈

b. Non esiste nessun vettore u V tale che n + 1 vettori u, v , v v sono linearmente

1 2 n

indipendenti. , …,

Abbiamo bisogno di un metodo per determinare se un sistema di vettori, dato B : = { v , v v }, è

1 2 n

m

linearmente dipendente o indipendente; nel caso dello spazio V = K esiste un metodo efficace, se v ,

1

, …, l’uguaglianza

∈ + + ⋯ + = 0

m

v v K , allora si può scrivere come il sistema lineare

2 n 1 1 2 2 , …,

omogeneo A c = 0 rispetto al vettore delle incognite c : = (v , v v ) la cui matrice dei coefficienti è

1 2 n

…

data da A : = [v | v | | v ].

1 2 n , …,

Per la definizione della dipendenza lineare, i vettori v , v v sono linearmente indipendenti se e

1 2 n

solo se il sistema A c = 0 ammette solo la soluzione banale c = 0.

Per il teorema di Rouché - Capelli questo accade se e solo se r(A) = n, dove n è il numero dei vettori.

, …,

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia B una base di V. Siano v , v v vettori qualsiasi

1 2 n

dello spazio V. Per k = 1, …, , …,

n, chiamiamo c il vettore delle coordinate di v . Allora i vettori v , v

k k 1 2

v sono linearmente indipendenti.

n

Nel caso dove dim = +∞;

Sia L: V → W una mappa lineare. Siano , …, 1, …, n,

v , v v vettori qualsiasi nello spazio V. Per k =

1 2 n

, …,

chiamiamo w : = L(v ). Se i vettori v , v v sono linearmente dipendenti, allora anche le loro

k k 1 2 n

, …,

immagini w , w w sono linearmente dipendenti.

1 2 n

Basi di span , …, in V. Sia B’ un sottosistema

Sia V uno spazio vettoriale e sia B : = {v , v v } un sistema di vettori

1 2 n

di B. Allora B’ , …,

(non-vuoto) è una base di W : = span(B) = span{v , v v } se e solo se si verificano

1 2 n

le seguenti condizioni:

B’ è linearmente indipendente;

❖ span(B’),

❖ ⊂

B cioè ogni vettore di B si scrive come combinazione lineare dei vettori del

sottoinsieme B’.

In particolare, se B è linearmente indipendente, allora B è una base di W : = span(B).

, …, , …,

DEF: Se W = span{u , u u }, per qualche vettore u , u u di uno spazio vettoriale V, allora si

1 2 n 1 2 n

, …,

dice che {u , u u } è un insieme di generatori del sottospazio W.

1 2 n

Rango di una matrice ed una mappa lineare

Il rango di una matrice è direttamente connesso ai concetti di dimensione e di indipendenza lineare.

DEF: Sia A una matrice m x n con elementi in K. Lo spazio colonna di A indicato con Col(A) è il

m

sottospazio di K generato dalle colonne di A. n

Lo spazio riga di A indicato con Row(A) è il sottospazio di K generato dalle righe di A.

DEF: Il rango per colonne di una matrice A è la dimensione dello spazio colonna di A, cioè dim Col(A).

Il rango per righe di A è la dimensione dello spazio di A, cioè dim Row(A).

Per il teorema sul rango di una matrice;

Per ogni matrice A, il rango di A, il rango per colonne della matrice A, ed il rango per righe della matrice

A coincidono tra di loro.

Il rango di una mappa lineare L: V → W, r(L) è la dime