Applicazioni di matematica - Riassunti

Proprietà Numeri Complessi

• 6+5=2() 5−5=2)
• ¹/₅=
• =:() >0 :₁3 =ℂ, è ANALITICA se derivabile con continuità su Ω.
• Se ∈ℂ¹(Ω) → ℂ∈ℂ^∞(Ω) de derivata , continua l’origine
• u=RE() e =ℐ sono derivabile con derivata continua (C¹(Ω1)) e soddisfa: ∂u_x(,y)=∂_y(,y) ∀x,y∈Ω
• u_y(,y)=−∂_x(,y) ∀x,y∈Ω

Proprietà:

• I POLINOMI sono sempre analitici perché somme di potenze
• Se tende a 1,05 Impf ≈0 in Ω → è costante Re()≈0 in Ω → è costante
• Vale in teoremi: due derivate miste sono uguai ∂_xxu+∂_yyu=0 ∀, ∈ Ω
• ∂_xx+∂_yy=0 ∀, ∈ Ω

Funzioni Armoniche:

Una funzione è armonica se derivabile almeno 2 volte in Ω e ∂_xx+∂_yy=0 ∀_x,y∈Ω

• Se è arminica → u=Re v=Ref armoniche
• Se è armonica ⇒ ∃ analitica t.c. Re (a meno di un cost. additiva immaginaria)
• t.c. (x,y)=Im(nuovo u ins. const. additiva Re Im)

Quindi se esiste se un funzione pur verson parte Re (o Im) di una analitica, essa deve essere continua derivab. la vette e di ARMONICA

Ricostruzione di una Armonica

Esempio: reanalitica, vera Re = 6xy−−2 ? va verficata è armonica, cerco ∀_x,y∈_m {∂_x+=∂_y=0 mixy su u} ∀_x,n∈u()=6)(6∂_xx6x0=3²+() } ∫ ovunque e sopra variabile}3²+₁smi)=3+∂_yy(=0 nuova cost c(y) con c(x){3+₁=()+3_x²(3.∂+)N.B.: numeri misti devono

NB: || noto funzione additiva + |.

Teorema di unicità

Se esistono di moltep. 1, essa è unica

f: {X} → {Y}, chiusa X ⊂ ℂ

Funzioni (a NON) in ℂ

Esponenziale

e^x ≠ 0 ∀ x ∈ ℂ

• Formule di Eulero: cos y = e^jy + e^-jy / 2, sin y = e^jy - e^-jy / 2j
• e^x ≠ 0 ∀ x ∈ ℂ
• Periodo con periodo T = 2πj

Radici in ℂ

Soluzione di zⁿ = s₀

z = √_n s₀ e^{j(θ₀/n + 2kπ/n)}

n punti distinti, k = 0, 1, ..., n - 1

Esempio: (2 - j)^1/2 = 1, sostituendo xyz = 2, xyz = -1

z = j(π/2, 1/k)

Logaritmo in ℂ

Soluzione di e^z = s₀, ha sempre soluzioni in numero ∞

Non è un'unica ma una mappa, multipla

z: s log(s) = 1, s = 0, ± iπ ± (5/4 + 2kπ)

Esempio: z = 4 ln 2 + j(1/4 + 2kπ)

Funzioni Trigonometricali

cos(x) = e^jx + e^-jx / 2, sin(x) = e^jx - e^-xj / 2j

Valgono tutte le formule dell'ascisse

• (e^xy) = cosa x cosa y - jsin x sin y
• (e^xi) = cosx cos jy - g sinx sin jy

Anch’esse e non e interate

Serie di Laurent dell'infinito

f(z) è analitica in un intorno di z₀, ossia nell'insieme di un enorme cerchio nell'insieme e magg: R rappresentamento grande

f(s) = ∑_k=-∞^∞ dk s^k Vs |s| > |s| > R

Confronto:

• C_K = ¹/_2πi ∮ (f(s)/s^K+1) ds ⇨ f(s) = ∑ C_K (1/s - s_c)^K
• d_k = 1/_2πi ∮ (f(s)/s^k+1) ds ⇨ f(s) = ∑ d_K s^K

NB: Parte Analtica e Principale si sommano

Analitica ⇨ C_K + d_k

Principale ⇨ C_-k d_k

Residuo all'infinito

Res [f,∞] = -d_-1

-d_-1 = -1/_2πi ∮ f (s) ds

Opposto del coeff. di 1/s

I contenere nel suo interewrno tutte le singolarità di f

• Res [f,∞] ≠ 0 ⇨summate se s = ∞ è uno 0 semplice

può essere ≠ 0 .

• Res [f,∞] = 0 se s = ∞ 0 di ordine n ≥ 2

• Res [f,∞] non esiste se s = ∞ punto di accumulazione

2° Teorema dei Residui

Supponendo che f analitica in C tinere un numero finito di singolarità

-Res [f,∞] = ∑_k+1^N Res [f,s_k ]

1/_2πi ∮ f(s) ds = ^N ∑ Res [f,s_k ]

Calcolo del Residuo ∞

Res [f,∞] = -Res [ 1/u² f (-1/_s1 ,0)]

Attenzione: il tipo di sing. di tale funzione non è lo stesso tipo di sing. per s=0

Quindi per il calcio di un integrale

I = 1/_2πi ∮ f(s) ds con g(s) quando queste singolarità

sono interne o esterne

es. s=0 L= ∞ intorno s= ∞ è esterne

I = Res [f,∞] + Res [f, - _1/r ] = -Res [f,∞] - Res [f,∞]

Teorema del Valore Finale

Se f(t) converge a presenza di un valore finito x allora la z-trasformata è:

lim (1-z) F(z) = lim f(nT)n→∞ z→1 n→∞

Se lim finiton→∞

R{F(z)} > 1

cosi detto Final-Analysis

Se R{z} > 1 il teorema non può essere applicabile e se R{z} = 1 può essere applicabile.

Applica solo quando: lim (1-z) F(z)z→1 = sez=0

lim f(t) esiste

Teorema del campionamento

Se x è trasformabile secondo Fourier e F(x) = ??[f(t)], siamo t, F sviluppato in serie di Fourier in [−L;L]

V(L,c), sia F′(x) supporto compatto (∂S?TO) t.c.

F(L): 0 ∂ w i (c) 2≤T>0