Applicazioni di matematica - Riassunti

Proprietà dei numeri complessi

⁵₁ = 2R(s) 5-5=2jIm(s) 1/5 = 1/s |s|² θ = arc tg (^b/_a) se x ≥ 0   θ: arc tg (^b/_a) + π se x < 0

Limiti

Non esiste  ∞ ma solo  ∞.   S → ∞ interno |s| → ∞ cioè indipendentemente dalla direzione   s → 0 interno |s| → 0+. Per dimostrare che un limite  &div; posso trovare due diverse direzioni di avvicinamento per cui ottengo limit. diversi.

Funzioni analitiche

Se z = un punto ∈ C, f:   f^-2∈C è analitica se derivabile con continuità su Ω. Se f∈C¹(Ω) ⇒ f∈C^∞(Ω)   le derivate di continuità Re(f(z))   e   v = Im(f(z)) sono   derivabili con derivata continua  (C¹(Ω)) e soddisfa:

• μ_x(x,y) = ν_y(x,y)
• μ_y(x,y) = -ν_x(x,y)

Proprietà

I polinomi sono analitici perché somme di potenze. Se f è analitica in Ω  ⇒ Imf = 0 in Ω    f è costante.   Re(f)≠0 in Ω  ⇒ f è costante. Valgono le seguenti, se μ e ν   sono differenziabili:

• μ_xx + μ_yy = 0   ∀(x,y)∈Ω
• ν_xx + ν_yy = 0   ∀(x,y)∈Ω

Funzioni armoniche

Una funzione R è armonica se derivabile intorno 2 volte in Ω  e  μ_xx + μ_yy = 0   ∀(x,y)∈Ω. Se f è armonica  ⇒ u = Re ⇒ Re(f) armonica. Se μ − is − armonica ⇒ &there exists; − f − analitica t.c. − R_(x,y) = Re(f − (∃ − numero di m ^{cost.attudin immaginari)} t.c. − B_(x,y) = Im(f (∃ − − numero di m,cost.attivin im Re). Quindi − se − attingo a − un − funzione ^{pur casre Re(con Lm) di un f − analitic, essi &sub> deve esserse continus, dove lavoro di atarmonca.}

Ricostruzione di una funzione armonica

Esempio: f − aendica _per c = x² + xy, x²? − Per versifica se armonica, cerco u(x,y) = Im(f{Re − u = x² y = -∫ cos(x^2)^₁) = ;x - x² + c(1,y){∫ u = -im(x) − using f(x,x,y) − 1/2 xy = x³ + −3^y + c(y){ ∫ x = 3¹ ⇒ v^x∫ f(x)² = f(x)³ = {e(x,y) = 2j₂ = 3, j(y,x) = -x(1 − 3){ ∫ y(x) = ∫ (6 − j − c − x(y)) { 6 −... − yo(x₁,₂₂) = o³ − a − 2(x) {-{ ""−−k NB: ∣s∣ ≠ non   function   analitica   se   ∣function(contact "sono"Penso" − smptoilito − per − n zone 2 −

Proprietà dei numeri complessi

5 + 5 = 2R(5) 5-5 = 2j Im(5) z = z̅ O = arg(z^b) se x > 0 O: arc tg(-y/x) + πu se x