Analisi Vettoriale pt1

Analisi vettoriale

Definizione e proprietà del vettore

Il vettore è un segmento orientato.

• A = punto di applicazione
• B = estremo libero

Le 3 proprietà:

• Modulo = |AB| = lunghezza
• Direzione = pendenza
• Verso = orientamento della freccia

I vettori A, B e C sono uguali ma varia solo il punto di applicazione.

Somma di vettori

Somma tra vettori: A + B = C

Proprietà commutativa: C = A + B = B + A

Proprietà dei vettori

L'analisi vettoriale prevede che il vettore sia un segmento orientato con:

• A = punto di applicazione
• Z = estremo libero

Le 3 proprietà:

• Modulo = |A| = lunghezza
• Direzione = pendenza
• Verso = orientamento della freccia

I vettori A, B e Z sono uguali ma varia solo il punto di applicazione.

Proprietà commutativa e associativa

Somma tra vettori: A + B = C

Proprietà commutativa: C = A + B = B + A

Proprietà associativa e distributiva:

C = (A + B) + D = A + (B + D)

Metodo analitico

• Rappresentazione polare: A = (|A| ; θ)
• Rappresentazione cartesiana: A = (A_x ; A_y)

Da cartesiano a polare:

• |A| = sqrt(A_x² + A_y²) > 0
• tg θ = A_y / A_x

Da polare a cartesiana:

• A_x = A · cos θ
• A_y = A · sen θ

Scalare e vettore

Scalare k · vettore:

• B = kA
• k > 0 stesso verso / k > 1 A B
• k = -1 ⇔ B' = -A (vettore opposto)

A = A_xî + A_yĵ, dove î = 1

B = B_xî + B_yĵ

Somma tra due vettori

S = A + B

A = A_xî + A_yĵ

B = B_xî + B_yĵ

S_x = A_x + B_x

S_y = A_y + B_y

S = (A_x + B_x)î + (A_y + B_y)ĵ

Teorema del coseno

c² = b² + a² - 2bc cos(α)

Per le regole della trigonometria nel triangolo ABH → BH = AB (sen α)

AH = AB (cos α)

Il lato HC (b) = AC - AH → HC = AC - AB (cos α)

Applicando il teorema di Pitagora → BC² = HC² + BH²

BC² = AC² - 2AC · AB cos(α)

Fattorizzazione

BC² = AC² + AB² - 2AC · AB cos(α)

BC² = AC² + AB² (1 - 2AC · AB cos(α))

a² = b² + c² - 2bc cos α