Analisi Uno dai numeri reali allo studio di funzione

Prerequisiti

Equazioni e disequazioni

Disequazioni ed equazioni polinomiali, Ruffini; goniometriche; logaritmiche; esponenziali; irrazionali.

Libri di testo

• Libro teoria - Bramanti, Pagani, Salsa - A. matematica¹
• Libro pratica - Marcellini, Sbordone - "Esercitazioni di matematica ¹" volumi 1, 2

Nota: in alcuni corsi le equivalenze asintotiche vengono introdotte con i limiti, qua con gli integrali (mod. 2), ciò non toglie si possano usare per il calcolo dei limiti.

Prerequisiti ripetuti

Disequazioni ed equazioni polinomiali, Ruffini; goniometriche; logaritmiche; esponenziali; irrazionali.

• Libro teoria - Bramanti, Pagani, Salsa - A: matematica¹
• Libro pratica - Marcellini, Sbordone - "Esercitazioni di matematica 1" volumi 1, 2

Nota: in alcuni corsi le equivalenze asintotiche vengono introdotte con i limiti, qua con gli integrali (mod. 2), ciò non toglie si possano usare per il calcolo dei limiti.

Prerequisiti al corso

Numeri e insiemi numerici

(1.1; 2.1.1)

La teoria degli insiemi è una teoria assiomatica (assodata) che vide la luce formalmente nel 1908 e prevede l'organizzazione dei numeri in categorie che rispettano determinate proprietà. Prima di analizzarli, siano noti i seguenti simboli, utili ai fini della notazione insiemistica:

• = {0, 1} = definizione di un insieme
• = inclusione propria
• = inclusione impropria (l'insieme è un sottoinsieme in un altro)
• ⭕ = insieme vuoto
• = appartenenza di un elemento all'insieme
• ➕ = Per ogni
• = Esiste
• ➖ = Non esiste
• = Tale che
• = "Per definizione"

Ogni insieme numerico si indica con una lettera maiuscola, tagliata da una sbarra verticale se l'insieme è uno dei fondamentali della teoria. Gli insiemi: = {0, 1, 2} il notazione per elencazione = {m ≤ 3} il notazione caratteristica numeri naturali.

Gli insiemi numerici godono di varie proprietà più o meno disponibili ed un Set di 9 proprietà relative alle operazioni di somma algebrica (+) e prodotto (×):

1. PR. ASSOCIATIVA SOMMA: ∀ a, b, c ∈ Q; (a + b) + c = a + (b + c)
2. ELEMENTO NEUTRO SOMMA: ∃ 0 ∈ Q: β + 0 = β = 0 + β
3. ELEMENTO OPPOSTO: ∀ α ∈ Q ∃ -α ∈ Q: α + (-α) = 0
4. PR. COMMUTATIVA SOMMA: ∀ α, β ∈ Q α + β = β + α
5. PR. DISTRIBUTIVA SOMMA: ∀ a, b, c, ∈ Q (a + b)c = ac + bc
6. PR. ASSOCIATIVA PRODOTTO: ∀ a, b, c, ∈ Q (ab)c = a(bc)
7. PR. COMMUTATIVA PRODOTTO: ∀ a, b ∈ Q ab = ba
8. ELEMENTO NEUTRO PRODOTTO: ∃ 1 ∈ Q: α × 1 = α = 1 × α
9. ELEMENTO INVERSO: ∀ α ∈ Q esiste α^-1: α × α^-1 =1

In base alle proprietà soddisfatte per somma e prodotto,

N, numeri naturali, sono i primi numeri appresi, usati per contare cose intere. Z, numeri interi, collettivi, sono i naturali presenti con il segno −. Q, numeri razionali, sono il risultato del prodotto tra numeri interi e reciproci di altri numeri interi (capovolti). R, numeri reali, altrimenti decimali con segno, in cui si trovano gli irrazionali. (ℭ) C, numeri complessi, nati dall'esigenza di definire numeri complessi sono nella forma a + bi, con i = √−1.

Nel caso saranno trattate le funzioni a una variabile reale di cui si imparerà a tracciare il grafico, con riferimenti a numeri complessi. Nota bene: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Nozioni dimostrative

Un teorema, a differenza di una definizione, deve essere dimostrato attraverso una concatenazione logica di affermazioni; A ⇑ B, B ⇒ A, A ⇔ B. Se domani piove, prendo l'ombrello. Se non ho preso l'ombrello, non ha piovuto. In un teorema si parte da A (ipotesi) per arrivare a B (tesi) (1), se si percorre la strada (2) la dimostrazione è detta PER ASSURDO. (1) A è sufficiente per B (2) A è necessario per B. Quando si dimostra P(n+1) solo affermando che sia vera P(n), la dimostrazione si dice INDUTTIVA.

Hp = ipotesi

Ts = Tesi