Analisi Uno dai numeri reali allo studio di funzione

Prerequisiti

• Disequazioni ed equazioni
  • polinomiali, Ruffini;
  • goniometriche;
  • logaritmiche;
  • esponenziali;
  • irrazionali.

Libro teoria - Bramanti, Pagani, Salsa - A. matematica¹

Libro pratica - Marcellini Sbordone - "Esercitazioni di matematica 1" volumi 1, 2

nota: in alcuni corsi le equivalenze asintotiche vengono introdotte con i limiti, qua con gli integrali (mod. 2), ciò non toglie si possano usare per il calcolo dei limiti.

1-PREREQUISITI AL CORSO

Data 0

• Numeri e insiemi numerici (1,1; 2,1,1)

La teoria degli insiemi è una teoria assiomatica (assodata) che vide la luce formalmente nel 1908 e prevede l'organizzazione dei numeri in categorie che rispettano determinate proprietà. Prima di analizzarle, siano noti i seguenti simboli, utili ai fini della notazione insiemistica:

A = {0,1} ⇒ definizione di un insieme

⊂ = inclusione propria ⊆ = inclusione impropria

Ø = insieme vuoto ∈ = appartenenza di un elemento all'insieme

∀ = "Per ogni" ∃ = "Esiste" ∄ = "Non esiste" : ∃: = "Tale che"

≝ = "Per definizione"

Ogni insieme numerico si indica con una lettera maiuscola, tagliata da una sbarra verticale se l'insieme è uno dei fondamentali della teoria degli insiemi:

A = {0,1,2,3} ⇒ notazione per elencazione

A = {x | x ≤ 3} ⇒ notazione caratteristica

N = numeri naturali

Gli insiemi numerici godono di varie proprietà, più o meno disponibili ad un "Set" di "9 proprietà" relative alle operazioni di somma algebrica (+, -) e prodotto (•, *):

1. PR. ASSOCIATIVA SOMMA ∀α, β, γ (α+β)+γ = α+(β+γ)
2. ELEMENTO NEUTRO SOMMA ∃0 ∀α β+α=α+β=β (α=β ↔ x=β)
3. ELEMENTO OPPOSTO ∀α ∃α: α+α=α-α
4. PR. COMMUTATIVA SOMMA ∀α, β α+β=β+α
5. PR. DISTRIBUTIVA SOMMA ∀α β, γ α(β+γ) = αβ + αγ
6. PR. ASSOCIATIVA PRODOTTO ∀α, β, γ α(βγ) = (αβ)γ
7. PR. COMMUTATIVA PRODOTTO ∀α, β αβ=βα
8. ELEMENTO NEUTRO PRODOTTO ∃1 ∀α 1α=α
9. ELEMENTO INVERSO ∀α ∃α⁻¹ αα⁻¹=1

Per quanto riguarda le funzioni inverse, saranno approfondite più avanti.

OPERAZIONI SUI GRAFICI

f(x) = grafico generico

• dilatazione/compressione, si ottiene moltiplicando per un λ ∈ ℝ l'intera espressione analitica della funzione; (verticale)
• traslazione sull'asse y, si ottiene aggiungendo k ∈ ℝ all'espressione di f(x);
• traslazione sull'asse x, si ottiene aggiungendo k ∈ ℝ all'argomento di f(x); (se aggiungo trasla verso sinistra)
• dilatazione/compressione "forte", si ottiene con opportune restrizioni, elevando f(x) a potenza n. (n ∈ ℕ) (in questo caso sempre dilatazione)

FUNZIONI SIMMETRICHE

f(x) = x²

• è PARI se è simmetrica rispetto all'asse y∀ x ∈ X, f(x) = f(-x)
• è DISPARI se è simmetrica rispetto all'origine degli assi∀ x ∈ X, f(x) = -f(-x)

FUNZIONI MONOTONE (CRESCENTI, DECRESCENTI)

• monotona strettamente crescente
• monotona strettamente decrescente
• crescente monotona
• decrescente monotona
• costante, sia monotona crescente che decrescente (non strettamente)

DEF.

Una funzione f: X → Y si dice monotona strettamente crescente o monotona crescente se ∀ x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂ (se x₂ > x₁)f(x₁) > f(x₂).

Una funzione f: X → Y si dice monotona strettamente decrescente se ∀ x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂ (se x₂ > x₁)f(x₂) < f(x₁).

Nel caso stretto non ci sono "pianerottoli".

NON SONO MONOTONE NEL DOMINIO!

3.1 Il concetto di limite

Data una funzione, l'operazione di Limite ci consente di sapere dato un punto X₀ sulle ascisse verso dove = punto, il grafico man mano che ci si avvicina a X₀ sempre di più.

Il risultato di un limite si indica con L se finito o α se non lo sappiamo.

Es. 1

f(x) = x²

! = il limite non dice dove si trova f(x), ma dove punta?

Dalla tabella (A) possiamo affermare che il valore del limite è L.

Scrittura generale

Caso in particolare

(3.2) Definizione di limite (tutti i casi)

Ogni definizione di limite, che punti a un valore finito o infinito muovendo la x verso un valore finito o infinito risponde a questa domanda:

Dato questo valore sulle ordinate e questo sulle ascisse, come mi avvicino al risultato del limite muovendomi verso x₀?

① PRIMO CASO BANALE

lim_x→x₀ f(x) = L (con x₀ e L finiti)

∀ ε > 0, ∃ δ(ε) > 0 : |f(x) - L| < ε ⇐⇒ |x - x₀| < δ

Si legge: Per ogni ε > 0 piccolo a piacere, esiste un δ dipendente da ε tale che se la funzione f è in un intorno d'ordine di raggio δ di x, se x è in un intorno di x₀, res

(3.1) Algebra dei limiti (casi finiti)

I piccoli teoremi di seguito hanno lo scopo di aprire le porte al calcolo dei limiti, essi partono da due funzioni i cui limiti per x → x₀ hanno un certo valore, ed ugualmente dimostrano che, applicando operazioni elementari alle funzioni, esse si ripresenteranno agli uguali tra valori dei limiti. Siano f(x) e g(x):

• Se lim_x→x0f(x) = l e lim_x→x0g(x) = l₂
• lim_x→x0[f(x) + g(x)] = l₁ + l₂ (Somma)
• lim_x→x0[f(x)g(x)] = l₁l₂ (Prodotto)
• lim_x→x0f(x)/g(x) = l₁/l₂ (Quoziente)

Il modus operandi di queste dimostrazioni è lo stesso, si parte dal definire w(x) = f(x) ± g(x) o f(x)g(x) o f(x)/g(x), e si applica la definizione di limite per a), verifica che esa sià vera avvalendosi della dis, triangolare.

Dimostrazione casi 2 e 3

Sia w(x) = f(x)g(x) → lim w(x) = l₁l₂ con Hp₁

1. Vado con la definizione di w(x) nella forma f(x)g(x) con limiteε > 0 ⇓ 1 δ (>0): |f(x)g(x) - l₁l₂| < ε se |x - x₀| < δ_ε
2. Aggiungo e tolgo l₁f₂
3. Raggruppo g(x) ed l₁ |g(x)[f(x) - l₁] + l₁[g(x) - l₂]
4. Per disuguaglianza tr. |g(x)|[|f(x) - l₁|] + l₁[g(x) - l₂]
5. Chiamo g(x) K.

|w(x) - l₁l₂| ≤ (g(x) ε) + (l₁ε) ossia ε^'

perché somma di valoi, [sic]

④ _x→0 lim ^ex-1/_x e^x-1=Ƭ _t→0 lim ^t/_ln(t+1)=1 (cht.3)

⑤ _x→0 lim ^(1+x)-1/_x= con ∈ℝ

(1+x) y→0 = y+1 → 1

⊥F ^{(y+1) - 1}/_ln(1+y) ⊥ ^ln(1+x)/_x

⑥ BONUS (che si collega all'argomento successivo):

_x→+∞ lim ^ln(x)/_x = 0

Il logaritmo è sempre minore del suo arg.

Per x >>1

^ln(x)/_x ⊘ si oramente

^ln(x)/_x = ^ln(√x)2 o sia ^{2 ln(√x)}/_√x o sia ²/_√x

0 ≤ ^ln(x)/_x ≤ ²/_√x

(3.11) Gerarchia degli infiniti

1. _x→+∞ lim ^ln(x)/_x = 0

2. _x→+∞ lim ^[ln(x)]/_x^β = 0 (generalize)

3. _x→+∞ lim ^[ln(x)]2/_e^x = 0

4. _x→0 lim ^ln(x)/_x^β = 0

Dimostrare per es (calcolo con i limiti precedenti)

L'exp al denominatore vince sempre.* x* lo batte