Analisi matematica 1

Analisi Matematica 1

Funzioni reali di una variabile

• Quantità variabili che rappresentano modelli
• Quantitative => con che rapidità avvengono le variazioni DERIVATE
• Qualitative => es. "Se cresce il taglio aumenta l'area."

SOMMARE INFINITI TERMINI -> paradosso -> posso trovare una soluzione finita

NUMERI REALI e RETTA REALE

_N = { 0, 1, 2, 3, ... }

_Z = { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... }

_Ø = { ^m_n ∈ _Z, m ≠ 0 } = { 0, 1, - 1, ¹₂, ... }

numeri relativi nascono con l'economia e con il concetto di debito e la nozione di negatività

• rappresentazione decimale
• limitata, numero finito
• illimitata periodica

Esistono numeri non razionali

d² = 2 ↔ d = √2

x⁴ = 2 ?

Non soddisfa lo studio dei numeri reali

numeri irrazionali

[ irrational numbers ]

ℝ - ℚ

x : x rappresentazione illimitata non periodica

ℝ = ℚ ∪ ℕ

ℝ^1-1 retta reale continua

ad ogni numero corrisponde un punto e ad ogni punto un numero

RETTA REALE CONTINUA

VALORE ASSOLUTO e DISTANZA SULLA RETTA

| x | =    x se x ≥ 0   -x se x < 0

| -2 - 1 | = | 2 - 1 | = 2

d(x,y) = | x - y | =    x - y se x ≥ y   y - x se x < y

proprietà:

1. | - x | = | x | un numero e il suo opposto stesso| x | = 0 ⇒ x = 0 unico punto al determinato e 0
2. | x y | = | x | | y | , ^|x|/_|y| = ^|x|/_|y| prodotto dei valori
3. | x + y | ≤ | x | + | y | non rispetto alla somma

(g∘g)_(x) ⟹ g^#(sen x) = 3^{sen x}

OSS

f∘g ≠ g∘f !!!

FUNZIONI INIETTIVE e FUNZIONE INVERSA

f: D ⊂ ℝ ⟶ ℝ si dice INIETTIVA se ∀ x₁, x₂ ∈ D,

x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)

equivalente se ∀ y ∈ f(D), ∃! x ∈ D | y = f(x)

La funzione f^-1: f(D) ⟶ D che ad ogni y ∈ f(D)

accorda l’unico x ∈ D t.c. y = f(x) si dice funzione

INVERSA di f

OSS: (f^-1 ∘ f)_(x) = (f ∘ f^-1)_(x) = x

Esempi

1. f(x) = x³ D = ℝ f(D) = ℝy = x³ (y ∈ ℝ)f^-1(y) = ∛y x = ∛y
2. f(x) = e^x D = ℝ f(D) = (0, +∞)y = e^x (y > 0) x = log_e y = lnxf^-1(x) = log_e x
3. f(x) = x² D = ℝ f(D) = [0, +∞)y = x² y ≥ 0x = ±√y D = [0, +∞)

3)

Posto _d | x₀ - x₁ | minore

I(x₀, δ) ∩ I(x₁, δ) = ø

Definizione di limite

Problema: Determinare il comportamento dei valori f(x) di una funzione quando la variabile x tende ad un certo x₀ ∈ ℝ ∪ {±∞}

Esempio:

• f(x) = 1/x²
• D = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

x → 0

x = 1/10, 1/100, 1/1000, ...

1/x² = 10², 10⁴, 10⁶, ...

lim_{x → 0} 1/x² = +∞

x → +∞

x = 10¹, 10³, 10⁴, ...

1/x = 1/10¹, 1/10³, 1/10⁴, ...

lim_{x → +∞} 1/x² = 0

3)

lim x ->0

+∞ ∙

∀H > 0 ∃ δ > 0 : 0 < |x| < δ ⇒ >H ?

, x > + , x < - ≤

0 < |x| < = δ

PRIMI TEOREMI SUI LIMITI

- TEOREMA di unicitá del LIMITE

Se una funzione ammette il limite questo è unico

f(x)?

∀

lim f(x) = e₁ e lim g(x) e₂

ASINTOTO ORIZZONTALE E VERTICALE

_def. ^g : D ⊆ ℝ → ℝ

• y=l è asintoto orizzontale per g se lim_x→±∞ g(x)=l o lim_x→∞ g(x)=l

^g

• x=x₀ è asintoto verticale per g se lim_x→x0⁺ g(x)=∞ o lim_x→x0^- g(x)=∞

Esempi

1. g(x)=e^xy=0 è asintoto or.
2. g(x)=log xy=0 è asintoto verticale

• limiti e struttura algebrica de IR
• LIMITI FINITI

TEOREMA algebrica dei limiti finiti

Siano f e g : D ⊆ IR → IR

Se lim_x→x0 f(x) = l₁ e lim_x→x0 g(x) = l₂

con l_i e l₂ ∈ IR

1. lim_x→x0 (f(x) + g(x)) = l₁ + l₂
2. lim_x→x0 (f(x)g(x)) = l₁l₂
3. lim_x→x0 (f(x)/g(x)) = l₁/l₂ (l₂ ≠ 0)

DIM

1) balla def di limite, fissando ε > 0

segue che

1. ∃ δ₁ > 0 < |x - x₀| < δ₁ => |f(x) - l₁| < ε
2. ∃ δ₂ > 0 < |x - x₀| < δ₂ => |g(x) - l₂| < ε

Posto δ = min{δ₁, δ₂}, se 0 < |x - x₀| < δ, abbiamo che:

|f(x)/g(x) - l₁ + l₂ - 1| ≤ |(f(x) - l₁) + (g(x) - l₂)|

≤ |f(x) - l₁| + |g(x) - l₂| < ε + ε = 2ε

e da qui le ten

OSS

lim_x→x0 f(x) - l ∈ IR =>

(f è limitata in un intorno di x₀)

DIM

fissato ε = 1, verità che esiste δ > 0 : 0 < |x - x₀| < δ =>

|f(x) - l| < 1

l - 1 < f(x) < l + 1 cwoe f è limitata in I (x₀, δ)

quoziente

Forme indeterminate:

• ±∞
• 0 ⁄ 0
• ∞ ⁄ ∞

lim_x→+∞

ESERCIZIO

LIMITE FUNZIONI COMPOSTE

cambiamento variabile

TEOREMA

Siano f,g funzioni tale che è possibile

è possibile definire la funzione composta

tale le due

1. lim_x→x0 g(x) = t₀
2. lim_t→t0 f(t) = ℓ

Allora: lim_x→x0 f(g(x)) = lim_t→t0 f(x) = ℓ

OSS [in pratica]

Se devo calcolare il limite di una funzione composta è

necessario individure la funzione composta e il cambiamento

variabile, in seguito si calcolate il limite e si sostituisce cioè

che si è stato trovato.

lim_x→x0 f(g(x)) = t ⇾ g(x), x → x₀ ⇾ t → t₀