Analisi matematica 1

Analisi Matematica 1

Funzioni reali di una variabile

Quantità: variabili che rappresentano modelli

• Quantitativo → con che rapidità avvengono le variazioni DERIVATE
• Qualitativo → es: "Se cresce il raggio aumenta l'area"

SOMMARE INFINITI TERMINI → paradosso → posso trovare una soluzione finita

NUMERI REALI e RETTA REALE

• N ℕ : {0,1,2,3,...} +, -
• Z ℤ : {... -2,-1,0,1,2,...} +, -
• Q ℚ : {^m⁄_n, m ∈ ℤ, n ≠ 0} +, -,...

Numeri relativi nascono con l'economia e con il concetto di debito e con nozione di negatività

• Rappresentazione decimale
• Limitata, numero finito
• Illimitata periodica

Esistono numeri non razionali

^{√2 ∉ ℚ}

^{d2 = 2 ↔ d = √2}

^{x4 = 2 ?}

Non soddisfa lo studio dei numeri reali

Analisi Matematica 1

Funzioni reali di una variabile

• Quantità: variabili che rappresentano un modello
  • Quantitativo → con che rapidità avvengono le variazioni DERIVATE
  • Qualitativo → es: "se cresce il raggio aumenta l'area!"

SOMMARE INFINITI TERMINI → paradosso → posso trovare una soluzione finita

NUMERI REALI e RETTA REALE

N = {0, 1, 2, 3, ...} +, -

Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...} +, -

Q = {… | m, n ∈ Z, m ≠ 0 } +, -

Numeri relativi nascono con l'economia e con il concetto di debito e l'accezione di negatività

- rappresentazione ↙ limitata, numero finito

decimale ↘ illimitata periodica

Esistono numeri non razionali

√2 ∉ Q

Teorema di Pitagora

d² = 2 ⟷ d = √2

x⁴ = 2 ?

Non soddisfa lo studio dei numeri reali

numeri irrazionali

x: x rappresentazione illimitata non periodica

ℝ = ℚ ∪ ℑ

ℝ

ℑ₊₁^-1 retta reale continuaad ogni numero corrisponde un punto e ad ogni punto un numeroRETTA REALE CONTINUA

VALORE ASSOLUTO e DISTANZA SULLA RETTA

distanza di un punto dall'origine

|x| =

d (x, y) = |x - y| =

proprietà:

1. |-x| = |x| un numero è il suo opposto stesso
2. x| = 0 x = 0 unico punto a distanza 0 e 0
3. |_x| = |¹||^x| = |₁|^|x|| prodotto dei valori
4. |x + y| <= |x| + |y| non capita la somma

Dis. 31

oss.

(|x + y|)² − (|x| + |y|)²

= x² + 2xy + y²

|x|² + 2xy + |y|²

= |x|² + 2 |x||y| + |y|² − (|x| + |y|)²

=> (|x + y|)² ≤ (|x| + |y|)²

=> |x + y| ≤ |x| + |y|

Equazione e disequazione del valore assoluto

d

• 1. |x| − δ ≤ x = −δ ∨ x = δ
• 2. |x| < δ ↔ −δ < x < δ
• 3. |x| > δ ↔ x < −δ ∨ x > δ
• 4. |x − x₀| = δ ↔ x = x₀ − δ ∨ x = x₀ + δ
• 5. |x − x₀| < δ ↔ x₀ − δ < x < x₀ + δ
• 6. |x − x₀| > δ ↔ x < x₀ − δ ∨ x > x₀ + δ

Es 1

3x - 2| < 1 , 3x | ²⁄₃ | < 1

devo poter risolvere la disequazione

Faccio un certo numero

|x - ²⁄₃| ≤ ⁴⁄₃

Metto in evidenza 3 e divido per 3

- - - ▶ 0 ⎯¹⁄₃⎯²⁄₃

Es 2

| x + 1| = |x - 3|

| x - (-1) | = | x - 3 |

- - - - 0 ⎯^-1⎯³

x = 1

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE

Def. Siano X, Y insiemi una funzione f: X ➝ Y e' una legge di corrispondenza che ad ogni x ε X associa un solo y ε Y , y = f(x) e X = dom(f)

X = dom(f) Y = cod(f)

Y = f(X)

f(X) = {y ε Y : ∃ x ε X, c.y = f(x)}

y = f(x)

INIMAGINE DI X