Analisi Uno

D

0

Se ∃ ∩ ∃

lim f (x) = l lim f (x) = l =⇒ l = l

1 2 1 2

x→x x→x

0 0

Dimostrazione

Supponiamo che la funzione ammetta anche un valore l come limite in x .

2 0

Dalla definizione si ha che:

∀ ∃ ∈ \ {x }, ∈ − |l −

> 0 δ > 0 / x x (x δ , x + δ ) =⇒ f (x)| <

D

1 0 0 1 0 1 1

∀ ∃ ∈ \ {x }, ∈ − |l −

> 0 δ > 0 / x x (x δ , x + δ ) =⇒ f (x)| <

D

2 0 0 2 0 2 1 }.

Per un > 0 e per i corrispondendi δ e δ si definisca delta = min{δ , δ Se

1 2 1 2

si somma e si sottrae f (x) dalla differenza dei due limiti, si ottiene che:

|l − | |l − − |

l = f (x) + f (x) l

1 2 1 2

1.7. CONVERGENZA DELLE SUCCESSIONI MONOTONE LIMITATE 9

Usando la disuguaglianza triangolare si ha che:

|l − − | ≤ |l − |f − |

f (x) + f (x) l f (x)| + (x) l

1 2 1 2

Questi due termini sono ciascuno minori di un valore arbitrariamente piccolo

per la definizione di limite:

|l − |f − |

f (x)| + (x) l < 2

1 2

Si può quindi ricapitolare dicendo che:

|l − |

l < 2

1 2

L’unico valore che è minore di qualsiasi altro numero > 0, è per forza zero,

per la Proprietà di Archimede, quindi si ha che:

∀ |l − |

> 0 =⇒ l = 0 =⇒ l = l

1 2 1 2

1.7 Convergenza delle successioni monotone lim-

itate {x } ≤ ≤

Data una successione , tale che x x M < +∞ ovvero mono-

n n∈N n n+1

∈

tona crescente e limitata, per un certo M allora la successione converge,

R,

∃ ∈

cioè lim x R.

n

Dimostrazione {x }

Per assurdo, supponiamo che non sia di Cauchy, si ha quindi che:

n

∃ ∀ ≥ ∃ ≥ |x − | ≥

> 0 : N () 0 n, m N () =⇒ x

n m

Si sceglie quindi n > m cosı̀ da avere che:

|x − | −

x = x x

n m n m

e quindi: − ≥

x x

n m

e quindi ottenere che: ≥

x x +

n m

che indica proprio che la serie non converge. Si può quindi scegliere un N () = 1

tale per cui si ha che: ∃ ≥ ≥

n > m N =⇒ x x +

1 1 1 n m

1 1

Se si ripete il procedimento per un N () = n si otterrà:

1

∃ ≥ ≥ ≥ ≥

n > m N = n > m =⇒ x x + x + x + 2

2 2 2 1 1 n m n m

2 2 1 1

10 CHAPTER 1. TEOREMI PRIMO PARZIALE

Iterando, con N = n si ottiene che:

k k−1

≥ ≥ ≥ ≥ · · · ≥ − ≥

x x + x + x + 2 x + (k 1) x + k

n m n m n m

1 1

k+1 k+1 k k

Per la proprietà del confronto dei limiti, si ha che:

≥

lim x lim (x + k)

n m 1

k+1

k→+∞ k→+∞

Il secondo limite tende a più infinito, dato che è presente una k nell’espressione,

quindi anche il limite precedente dovrà tendere ad infinito, poichè è maggiore o

uguale al secondo: lim x = +∞

n k+1

k→+∞

{x }

Questo implica che non è superiormente limitata, che va contro le ipotesi

n

del problema iniziali.

1.8 Permanenza del segno 0

→ ∈

Si consideri una funzione f : e sia x un punto di accumulazione

D R D

0

del dominio nel quale esiste il limite

l := lim f (x)

x→x 0 ≥

Se la funzione è non negativa, allora il suo limite è non negativo. Se f (x) 0

∈ ≥

con x allora l 0.

D

Dimostrazione ≥

Date le ipotesi, si dimostri che l 0. Per assurdo, si supponga che l < 0.

l

− . Essendo l < 0, > 0 sicuramente, quindi si può dire che:

Scegliamo := 2

∃ | ∈ − ∈ 6 |f −

δ() x (x δ, x + δ) , x x = x =⇒ (x) l| <

D,

0 0 0 |f −

Quindi, posto questo , esiste un certo intervallo di x tale per cui (x) l| < ,

ovvero: −

l < f (x) < l +

l

− , si può tranquillamente dire che la parte sinistra della dise-

Essendo = 2

quazione è sempre vera, poichè un numero negativo, e f (x) è sempre maggiore

o uguale a zero per definizione. Però, a destra si ottiene che:

l l

−

f (x) < l = < 0

2 2

quindi per assurdo, si ottiene che f (x) < 0.

1.9. TEOREMA DEL CONFRONTO 11

1.9 Teorema del confronto

Se ∃

≤ ∃ g(x) = l

f (x) = l lim

f (x) g(x) lim 2

1 x→x

x→x 0

0

allora ≤

l l

1 2

Dimostrazione ≤

Se si considerano le ipotesi, f (x) g(x), si può portare f (x) dall’altra parte ed

ottenere: ≤ −

0 g(x) f (x)

Per la permanenza del segno: −

≤ (g(x) f (x))

0 lim

x→x 0

ovvero: ≤ −

0 lim g(x) lim f (x)

x→x x→x

0 0

che è uguale a: ≤ −

0 l l

2 1

per ipotesi. Quindi si ha che: ≤

l l

1 2

1.10 Continuità della funzione composta

→ ∈

Si consideri una funzione g : (c, d) continua in un punto y (c, d) ed una

R 0

→ ∈

funzione f : (a, b) (c, d) continua in un punto x (a, b) tale che y = f (x ).

0 0 0

◦ →

Allora la funzione composta g f : (a, b) è continua in x .

R 0

Dimostrazione

◦

Poniamo z := (g f )(x ) = g(f (x )) = g(y ). Per le ipotesi abbiamo che:

0 0 0 0

lim f (x) = y lim g(x) = z

0 0

x→x y→y

0 0

Per la definizione di continuità della funzione g in y , abbiamo che:

0

∀ ∃ ∈ |y − |z −

> 0 r > 0 / y (c, d), y| < r =⇒ g(y)| <

0 0

Per la definizione di continuità della funzione f in x , abbiamo invece che:

0

∀ ∃ ∈ |x − |y −

r > 0 δ > 0 / x (a, b), x| < δ =⇒ f (x)| < r

0 0

Di conseguenza per ogni > 0 fissato, possiamo considerare un opportuno valore

r > 0 affinchè valga la prima e poi un corrispondende valore δ > 0 affinchè

12 CHAPTER 1. TEOREMI PRIMO PARZIALE

∈ |x −

valga la seconda. Quindi per x (a, b) con x| < δ, la seconda implica che

0

|y − |z −

f (x)| < r e la prima che g(f (x))| < . In definitiva abbiamo provato

0 0

che: ∀ ∃ ∈ |x − |z −

> 0 δ > 0 / x (a, b), x| < r =⇒ g(f (x))| <

0 0

cioè che: ◦

lim (g f )(x ) = z

0 0

x→x 0

che per ipotesi è uguale al valore che assume nel punto x , quindi la funzione

0

composta è continua in x .

0

1.11 Teorema di Weierstrass

∈ ⊂

Sia f C([a, b]) una funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b] R.

Esistono allora il massimo e minimo globali di f su [a, b]. Più precisamente:

∃ ∈ ∈ ≤ ≤

x , x [a, b] tale che x [a, b] =⇒ f (x ) f (x) f (x )

m M m M

Dimostrazione

Sia M := sup Im(f ) l’estremo superiore dell’immagine della funzione. Per le

{y } ⊂

proprietà dell’estremo superiore, esiste una successione Im(f )tale che

n

lim y = M

n

n→+∞

{x } ⊂

Sia quindi [a, b] una successione tale che f (x ) = y . Ovvero una

n n n

successione tale che la sua immagine in f è uguale alla successione y che ha

n

limite M . Si ha perciò: lim f (x ) = lim y = M

n n

n→+∞ n→+∞

{x }

Poichè l’insieme dei punti di è limitato ed infinito, per il Teorema di

n

Bolzano-Weierstrass (che dice che se un insieme è limitato ed infinito allora

l’insieme dei punti di accumulazione non è vuoto), esso ammette almeno un

∈

punto di accumulazione che denotiamo con x [a, b]. Esisterà quindi almeno

M

{x } ⊆ {x }

una sottosuccessione convergente a x , quindi che ha:

n n M

k lim x = x

n M

k

k→+∞

Poichè f è continua, si può dire che:

M = lim f (x ) = lim f (x ) = f (x )

n n M

k

n→+∞ k→+∞

quindi M è finito ed è il valore massimo dell’immagine Im(f ) assunto da f nel

∈

punto x [a, b].

M

1.12. TEOREMA DEGLI ZERI 13

1.12 Teorema degli zeri

∈

Sia data una funzione f C([a, b])continua sull’intervallo chiuso e limitato

⊂

[a, b] Se

R. ·

f (a) f (b) < 0

allora ∃ ∈

x (a, b) tale che f (x = 0)

0 0

Dimostrazione

Per compodità di notazione poniamo a := a e b := b. Sia

0 0

a + b

0 0

c := 2

il punto medio di [a , b ]. Se f (c) = 0, allora abbiamo trovato il punto x := c

0 0 0

dove f si annulla. Altrimenti, tra [a , c] e [c, b ], denotiamo con [a , b ] quello ai

0 0 1 1

cui estremi f assume segno opposto. Iterando questo procedimento (dicotomia),

otteniamo una successione decrescente di intervalli:

· · · ⊂ ⊂ ⊂ · · · ⊂ ⊂

[a , b ] [a , b ] [a , b ] [a , b ]

n+1 n+1 n n 1 1 0 0

≥

tali che per ogni n 1 si ha che: ·

f (a ) f (b ) < 0

n n

{a }

Poichè per costruzione, la successione è crescente e superiormente limitata

n

da b , si ha:

0 ≤ ≤ ≤ ≤

. . . a a . . . b

n n+1 0

{b }

e analogamente, si ha che la successione è, per costruzione, decrescente ed

n

inferiormente limitata da a :

0 ≤ ≤ ≤ ≤

a . . . b b . . .

0 n+1 n

Per costruzione, la differenza tra le successioni, è:

−

b a

0 0

−

b a =

n n n

2

Quindi si ha che: −

b a

0 0

−

lim b a = lim =0

n n n

2

n→+∞ n→+∞

Per il teorema del limite delle successioni monotone limitate, le due successioni

∈

convergono e sono limitate, per cui esiste x tale che:

R

0

x = lim a = lim b

0 n n

n→+∞ n→+∞

14 CHAPTER 1. TEOREMI PRIMO PARZIALE

·

Per il teorema della permanenza del segno, si prende f (a ) f (b ) < 0 e si può

n n

dire che: · ≤

lim f (a ) f (b ) 0

n n

n→+∞

e quindi, per la proprietà del prodotto dei limiti:

· ≤

lim f (a ) lim (b ) 0

n n

n→+∞ n→+∞

Essendo f continua, si ha che:

· ≤

f lim a f lim b 0

n n

n→+∞ n→+∞

ovvero: · ≤

f (x ) f (x ) 0

0 0

2 ≤

f (x ) 0

0

che ha come soluzioni, solamente f (x ) = 0.

0

1.13 Teorema dei valori intermedi

∈

Sia data una funzione continua f C([a, b]) su