Analisi Uno

Contents

1 Teoremi primo parziale 3

1.1 Teoremi senza dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Irrazionalità di radice due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Prima formula di De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Seconda formula di De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Teorema dell’esistenza dei punti di accumulazione . . . . . . . . . 7

1.6 Unicità del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Convergenza delle successioni monotone limitate . . . . . . . . . 9

1.8 Permanenza del segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Continuità della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.11 Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.12 Teorema degli zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.13 Teorema dei valori intermedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.14 Continuità della funzione derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.15 Somma di derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.16 Prodotto di derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.17 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.18 Lemma di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.19 Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.20 Test di monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.21 Teorema di Taylor con resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Teoremi secondo parziale 21

2.1 De L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Teorema di Taylor con resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Primo teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . 24

2.4 Media integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7 Continuità della funzione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8 Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . 27

2.9 Esiste una soluzione unica al problema di Cauchy . . . . . . . . . 28

2.10 Unicità della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

2 CONTENTS

2.11 Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.12 Distanza punto-piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.13 Indipendenza dell’integrale di linea dalla parametrizzazione . . . 32

Chapter 1

Teoremi primo parziale

1.1 Teoremi senza dimostrazione

Funzione iniettiva

Una funzione è iniettiva se, dati x e x appartenenti al dominio della funzione,

1 2

se f (x ) = f (x ) allora x = x . Ovvero non ci siano più di una x che abbia lo

1 2 1 2

stesso valore di y.

Funzione suriettiva ∀ ∈ ∃ ∈

Una funzione è suriettiva se y Y x X tale che y = f (x), ovvvero non ci

devono essere valori di x per cui non esistano valori di y.

Limiti ∀ ∃ ≥ ∀ ∈ ≥ |f −

lim f (x) = l > 0 N () 0 / x x N () =⇒ (x) l| <

D,

x→+∞ ∀ ∃ ≥ ∀ ∈ ≤ |f −

lim f (x) = l > 0 N () 0 / x x N () =⇒ (x) l| <

D,

x→−∞ ∀ ∃ ∀ ∈ ≥

lim f (x) = +∞ M > 0 N (M ) > 0 / x x N (M ) =⇒ f (x) > M

D,

x→+∞ −∞ ∀ ∃ ∀ ∈ ≥ −M

lim f (x) = M > 0 N (M ) > 0 / x x N (M ) =⇒ f (x) <

D,

x→+∞ ∀ ∃ ∀ ∈ ≤ −N

lim f (x) = +∞ M > 0 N (M ) > 0 / x x (M ) =⇒ f (x) > M

D,

x→−∞ −∞ ∀ ∃ ∀ ∈ ≤ −N −M

lim f (x) = M > 0 N (M ) > 0 / x x (M ) =⇒ f (x) <

D,

x→−∞ ∀ ∃ ≥ ∀ ∈ |x − | |f −

lim f (x) = l > 0 δ() 0 / x x < δ() =⇒ (x) l| <

D, 0

x→x 0 ∀ ∃ ≥ ∀ ∈ |x − |

lim f (x) = +∞ M > 0 δ(M ) 0 / x x < δ(M ) =⇒ f (x) > M

D, 0

x→x 0 −∞ ∀ ∃ ≥ ∀ ∈ |x − | −M

lim f (x) = M > 0 δ(M ) 0 / x x < δ(M ) =⇒ f (x) <

D, 0

x→x 0 3

4 CHAPTER 1. TEOREMI PRIMO PARZIALE

Formule utili n n+1

−

1 q

X k

q = −

1 q

k=0

n n(n + 1)

X k = 2

k=1

n n(n + 1)(n + 2)

X 2

k = 6

k=1

n n!

= −

k k! (n k)!

Successioni di Cauchy {a } ∈

Condizione necessaria affinchè una successione converga è che abbia

Q

n n

la seguente proprietà detta di Cauchy:

∀ ∃ ≥ |a − |

> 0 N () / n, m N () =⇒ a <

n m

La condizione di Cauchy è necessaria e sufficiente per la convergenza di succes-

sioni in R.

Teorema secondo di completezza

⊂

Dato un insieme A l’estremo superiore di A è sup A, ed è il minimo dei

R, ∈

maggioranti. Se A è superiormente limitato allora esiste sup A R.

Teorema fondamentale dell’algebra

∈

Dati i coefficienti c , c , c , . . . , c l’equazione algebrica

C,

0 1 2 n 2 3 n

c + c z + c z + c z + . . . + c z

0 1 2 3 n

∈

ha esattamente n soluzioni z , z , z , . . . , z non necessariamente distinte.

C

0 1 2 n

Punti di accumulazione ∈ ∈

Punti di accumulazione di un insieme E è x per E se:

R R

0

∀ − ∩

# ((x , x + ) E) = +∞

0 0

e: ∀ ∃ ∈ − ∩ \ {x })

> 0 x (x , x + ) (E

0 0 0

e: ∃ {x } ⊂ \ {x })

(E / lim x = x

n 0 n 0

x→x 0

Si dice che x è punto di accumulazione per l’insieme A se in ogni intorno I(x )

0 0

di x esiste almeno un elemento x diverso da x ed appartenente ad A.

0 0

1.2. IRRAZIONALITÀ DI RADICE DUE 5

Teorema di Bolzano-Weierstrass

∈

Se un insieme E è limitato ed infinito allora l’insieme dei punti di accumu-

R

0 6 ∅

lazione E =

Limite della derivata destra e sinistra

0

∈ ∈ \ {x }),

Data una funzione f C ([a, b]), con f C ((a, b) se

0

0 0 0

∃

lim f (x) = lim f (x) = l f (x ) = l

0

−

+

x→x x→x

0 0

1.2 Irrazionalità di radice due

Il teorema di Pitagora dice che la lunghezza della diagonale di un quadrato ha

la seguente proprietà: 2 2 2

x = 1 + 1 = 2

ossia che il quadrato costruito sulla diagonale è uguale alla somma dei quadrati

costruiti sui cateti. Questo porta ad una equazione che non ha soluzioni nell’insieme

dei numeri razionali.

Dimostrazione

Si supponga che esiste una soluzione x uguale al rapporto tra due numeri primi

fra loro (con nessun fattore in comune):

m ∈

∃x = Q

n 2

Questa è l’ipotesi da dimostrare falsa, e possiamo dedurre che se x = 2, allora:

2

m =2

2

n

che può essere riscritta nel seguente modo:

2 2

m = 2n

Il numero sulla destra dell’uguale è sicuramente positivo, dato che qualsiasi

numero sia n, verrà moltiplicato per due rendendo m positivo. Quindi si può

∈

dire che m = 2k dove k ossia k è un qualsiasi numero in Si può quindi

N, N.

sostituire di nuovo e dire che: 2 2 2

2n = m = 4k

e di conseguenza ottenere: 2 2

n = 2k

2

Qualsiasi numero k sia, n sarà pari anch’esso e quindi anche n deve essere pari.

Questa è una contraddizione, l’assurdo che si cercava, dato che sia m che n sono

6 CHAPTER 1. TEOREMI PRIMO PARZIALE

risultati pari, il che significa che hanno sicuramente almeno un fattore in co-

mune, e di conseguenza m, n non possono essere primi, contraddicendo l’ipotesi

iniziale. Di conseguenza serve l’insieme dei numeri reali per poter risolvere

questo problema.

1.3 Prima formula di De Moivre

Dato un numero complesso z = ρ (cos θ + i sin θ), una potenza di z può essere

trovata con la seguente formula:

n n

z = ρ (cos (nθ) + i sin (nθ))

Dimostrazione

Dati due numeri complessi, z e z tali che:

1 2

z = ρ (cos θ + i sin θ )

1 1 1 1

z = ρ (cos θ + i sin θ )

2 2 2 2

Se si svolge il prodotto, si ottiene:

−

z z = ρ ρ [cos θ cos θ sin θ sin θ + i (sin θ cos θ + cos θ sin θ )]

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Semplificando, si ottiene che:

z z = ρ ρ [cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ )]

1 2 1 2 1 2 1 2

Iterando per n numeri complessi uguali fra loro e moltiplicati, si otterrà quindi

che:

z z z z . . . = ρ ρ ρ ρ . . . [cos (θ + θ + θ + θ + . . . ) + i sin (θ + θ + θ + θ + . . . )]

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

ovvero: n n

z = ρ [cos (nθ) + i sin (nθ)]

1.4 Seconda formula di De Moivre n ≥

Dato un numero complesso w = ρ (cos θ + i sin θ), l’equazione z = w con n

∈ ∈

1 ha esattamente n distinte soluzioni z , z , z , . . . , z date da:

N C

0 1 2 n−1

z = ρ (cos θ + i sin θ )

k k k k

dove: 1



ρ = ρ n

k

 θ + 2kπ −

θ = per k = 0, 1, 2, . . . , n 1

 k n

Le radici n-esime di w sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto

1

nella circonferenza di raggio ρ e centro l’origine.

n

1.5. TEOREMA DELL’ESISTENZA DEI PUNTI DI ACCUMULAZIONE 7

Dimostrazione

Si verifica con la prima formula di De Moivre. Sia z = σ (cos α + i sin α) la

n

rappresentazione trigonometrica di una radice dell’equazione z = w, dove σ =

|z| e α = Arg(z), si ha che: n

[σ (cos α + i sin α)] = ρ (cos θ + i sin θ)

quindi espandendo la parentesi usando la prima formula di De Moivre:

n

σ (cos(nα) + i sin(nα)) = ρ (cos θ + i sin θ)

Da questa uguaglianza si può intuire che: 1

n

σ = ρ =⇒ σ = ρ n

come affermato dal teorema. Inoltre, si ha che:

nα = θ + 2kπ

con l’aggiunta del 2kπ per non perdere soluzioni, poichè ogni due pi greco i

coseni e i seni si ripetono, si ha quindi che:

θ + 2kπ −

α = per k = 0, 1, 2, . . . , n 1

n

dove k è limitato, poichè se non lo fosse, i risultati si ripeterebbero all’infinito.

Si ha quindi che: z = ρ (cos θ + i sin θ )

k k k k

1.5 Teorema dell’esistenza dei punti di accumu-

lazione 0 6 ∅.

Se un insieme E è infinito e limitato, allora E =

Dimostrazione

Essendo E limitato, ragionando per dicotomia, si può scrivere che:

∈

E [a , b ]

0 0

e si può stabilire un punto c come punto medio, ovvero:

a + b

0 0

c = 2

Si divide quindi l’intervallo in due intervalli più piccoli:

[a , c] [c, b ]

0 0

8 CHAPTER 1. TEOREMI PRIMO PARZIALE

Si sceglie la metà d’intervallo tra i due con infiniti punti di E e la si chiama

[a , b ]. Iterando questo processo si ottiene:

1 1 ⊂ ⊂ · · · ⊂

[a , b ] [a , b ] [a , b ]

k+1 k+1 k k 0 0

dove in ogni semi-intervallo ci sono sempre infiniti punti di E, quindi si può dire

che: ∃ lim a = lim b =: x

k k o

k→+∞ k→+∞

poichè a è crescente e limitata e b è decrescente e inferiormente limitata. Si

k k

può dire inoltre che: ∀ ≥ ∃ ∈ ∩ \ {x }

k 0 x [a , b ] E

k k k o

che significa che esiste sempre un punto nell’intervallo diverso da x per qualsiasi

0

k. Questo valore x è tale che:

k ≤ ≤ ∀ ≥

a x b k 0

k k k

e per la proprietà del confronto dei limiti, si ha che:

≤ ≤

lim a lim x lim b

k k k

k→+∞ k→+∞ k→+∞

ma sia a sia b hanno il limite che tende a x , come stabilito prima, quindi:

k k 0

lim x = x

k 0

k→+∞ 0 6

quindi x è punto di accumulazione di E e quindi E = 0.

0

1.6 Unicità del limite

→

Se una funzione f : ammette limite l := lim f (x) in un punto di

D R 1 x→x

0

0

∈

accumulazione x del dominio, allora il limite è unico.

D

0

Se ∃ ∩ ∃

lim f (x) = l lim f (x) = l =⇒ l = l

1 2 1 2

x→x x→x

0 0

Dimostrazione

Supponiamo che la funzione ammetta anche un valore l come limite in x .

2 0

Dalla definizione si ha che:

∀ ∃ ∈ \ {x }, ∈ − |l −

> 0 δ > 0 / x x (x δ , x + &