Analisi II

Introduzione alle Funzioni Vettoriali

E ⊂ R^m

g: E → R^p

m,p ∈ N

m=1

• p ≥ 1

g è una funzione in una variabile ma i valori vettoriali e serie in cinetica

t → (x(t), y(t), z(t))

m=2

• p = 2

Funzioni di due variabili a maggior esame servono per il volume della terra proiettato e la temperatura in una data latitudine e longitudine

(E, L) → Γ(E, L)

θ (T, P) → V(T, P) = k_T I_P

m=4

• p = 3

funzioni per descrivere il movimento di un fluido

(t, x, y, z) → (v₁(t, x, y, z), v₂(t, x, y, z), v₃(t, x, y, z))

m = p

funzioni per trasformazioni di coordinate in geometria

R^m = R_x x R_y = Σ_{x = (x1,...,xm | xi∈ R}

• i = 1,...,m

P ∈ R^m → P = (x₁,...,x_m)

(R^m, +, .) è spazio lineare dotato di + e .

+ : R^m x R^m → R^m

(u, v) ↦ u+v = (u₁+v₁,...,u_m+v_m)

.: R x R^m → R^m

(λ, u) ↦ λu = (λu₁,...,λu_m)

Costruendo una topologia su R^m

1.1 |R² → R

si ottiene norma in R^m

• 1) ||x|| ≥ 0 ∀ x∈R^m
• 2) ||x|| = 0 ⇔ x = 0_m
• 3) ||tx|| = |t| ||x|| ∀ x∈R ∀ x∈R^m
• 4) ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀ x,y∈R^m

m = 1

1.1 |R → R

x ↦ |x| = x x > 0

x ↦ |-x| x < 0

il nucleo verifica le proprietà prima è considerato norma in R

m ≥ 2 possono definire diverse norme

||.||₂ : R^m → R

x ↦ ||x||₂ = √ Σ x_i²

||.||_∞ : R^m → R

x ↦ ||x||_∞ = max |x_i|

• i ∈ E..m

||.||₁ : R^m → R

x ↦ ||x||₁ = Σ |x_i|

norma euclidea = norma infinito

R^m è detto spazio normato in quanto spazio vettoriale reale dotato di norma

Considerando la norma euclidea

x ∈ ℝ^m r > 0

Sia B(x̄, r) = {x ∈ ℝ^m ||x - x̄||₂ < r}

Boccia (o palla) aperta

Def

E ⊂ ℝ^m

x̄ ∈ E

x̄ si dice punto interno di E ⇔ ∃ p > 0 : B(x̄, p) ⊂ E

Oss

E ⊂ ℝ²

∅

B((0,0), r) = { (x₁, x₂) ∈ ℝ² : x₁² + x₂² < r² }

Norma euclidea

x̄ = (0,0)

x₁² + x₂² < r ⇔ √x₁² + x₂² < r

Quindi i punti che costituiscono la boccia sono quelli che soddisfano x₁² + x₂² < r²

⇐ E moltipla

⇒ E moltipla

Non il bordo sicuramente

Se x̄ ≠ (0,0) avrò una boccia traslata

Def

A ⊂ ℝ^m

A si dice aperto ⇔ ∀ x ∈ A si ha che x è punto interno ad A

No Sì

Oss

ℝ^m spazio euclideo, sia T una famiglia o insiemi

∅ ℝ^m ∈ T

∩ # {punto aperto e T}

T è una topologia

∪ # {punto di estremità e T}

Oss

Visto che deriva dalle bocce, queste si definiscono "intorni base"

E ⊂ ℝⁿ

B((0,0), r) = { (x₁, x₂) ∈ ℝ² : max {x₁, |x₂| } < r }

B((0,0), r) = { (x₁, x₂) ∈ ℝ² : |x₁| + |x₂| < r }

Boccia a forma di rombo (= quadrato ruotato)

Sebbene ogni norma definisca una forma diversa di boccia, sono equivalenti poiché generano la stessa topologia

PROP

Ø ≠ E ⊆ ℝ

∃t_o ∈ E_t s.t. ∃ ı: E → ℝ^m

e = (e₁, ..., e_m) ∈ ℝ^m

lim ĩ(t) = e ⇔ ∀ i ∈ [1, m]

t→t_o

lim ĩ_i(t) = e_i

t→t_o

1. lim &xhigh;(t) - e = 0 ⇒ lim &xhigh;(t) - e⋮ = 0

   t→t_o (per def.)

   ⋮x(t) - e⋮₂ = &average;[⋮x_i(t) - e_i⋮₂] →

   s.t. k ∈ [1, m] :

   ∄⋮x(t) - e⋮ = &average;[⋮x_i(t) - e_i]²] >

   0 ≤ ⋮x(t) - e⋮∗ = N&angel;[⋮x(t) - e⋮ ∗ ⋮x-i(t) -e⋮₂] → lim

   t→t_o ⋮x(t) - e⋮ = 0 → lim

   t→t_o ⋮x_i(t) - e⋮= r ∀i ∈ [1, m]

2. ⋮x(t) - e⋮ = &average;[⋮x_i(t) - e_i∗²∗⋮x_i(t) - e⋮

   lim y(t) = e_i : t → lim x(t) - e = 0 :

   t→t_o (per t.sopra,.di;

   t → tconvershostname=consultations of limit) ¬⇓

   ∗ ⋮x_i(t) - e⋮⋮ = 0 : t →

   tconvershostname=consumption-limits) 0:

   t = t_o ∗

OSS

• ANCHE PER LE FUNZIONI VETTORIALI VALLONO I TEOREMI SUI LIMITI

• 1) lim &xhigh;(t) = e ∈ ℝ^m

  t→t_o (TEO. D'UNICITA DEL LIMITE)

• 2) ∃ lim &xhigh;(t) = e ∈ ℝ^m &angv; t = t_o ∀ x-t ∈ &gradient;width-out =d²; &pear; ⋮x^{-sub;∗(t)⋮&of;&angl;, &long;-}

  t=-t