Analisi (Parte 2 di 2)

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Lanzarone Ettore

Università Politecnico di Milano

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Programma del corso (trattato negli appunti):

1 - Insiemi Numerici
Richiami sui numeri naturali, interi, razionali. Il principio di induzione. Coefficiente binomiale, formula di Newton per la potenza n-sima di un binomio(*). Numeri reali. Ordinamento e completezza. Potenze con esponente reale, logaritmi.
Numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale di un numero complesso. Rappresentazione nel piano di Gauss. Operazioni sui numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso(*). Teorema fondamentale dell’Algebra.

2 - Funzioni reali di una variabile reale

2.1 Generalità
Funzione; dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Successione.
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione composta, funzione inversa.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche.
Funzioni elementari.

2.2 Limiti
Definizione di limite di successione. Unicità del limite(*). Teorema della permanenza del segno. Limitatezza di una successione convergente(*). Teorema del confronto(*).
Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Esistenza del limite per successioni monotone(*). Il numero e.
Limiti notevoli (* dimostrazione di lim n ®¥ (sin 1/n)/(1/n)=1).
Successioni infinite, infinitesime e loro confronto: uso dei simboli di “asintotico” e di “o piccolo”.
Limiti di funzioni: definizione per successioni e definizione topologica. Teoremi di unicità del limite e del confronto. Algebra dei limiti, limite di funzione composta.

2.3 Continuità
Definizione, continuità in un punto, in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione.
Discontinuità delle funzione monotone.
Funzioni continue su intervalli: teoremi di Weierstrass, degli zeri (*) e dei valori intermedi. Asintoti. Continuità di funzione inversa.

2.4 Calcolo differenziale
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Derivabilità e continuità. Regole di derivazione. Derivata di funzione composta. Classificazione dei punti di non derivabilità. Massimi e minimi locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat (*), teorema di Lagrange (*). Conseguenze del teorema di Lagrange (*). Teorema di De L’Hospital. Formula di Taylor con resto secondo Peano(*) e con resto secondo Lagrange. Concavità e convessità. Applicazione della formula di Taylor al riconoscimento dei punti di massimo e minimo locale. Derivabilità di funzione inversa. Studio del grafico di una funzione. Primitiva, integrale indefinito.

2.5 Calcolo integrale
Integrale definito. Teorema della media. Funzione integrale. I (*) e II (*) teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Calcolo di aree piane.

2.6 Integrali generalizzati
Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato o definite su un intervallo illimitato. Criteri di integrabilità. Integrabilità assoluta e integrabilità semplice. Cenni allo studio delle funzioni integrali.

3– Serie

3.1 Serie numeriche
Definizione di serie e prime proprietà. Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica. Serie a termini non negativi: criterio del confronto(*) (e del confronto asintotico), del rapporto, della radice(*). Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta(*). Criterio di Leibnitz per le serie a termini di segno alterno.

N.B. Dei teoremi segnati con (*) è richiesta la dimostrazione.

…continua

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