Analisi 1- parte 2

Teorema Unicità del limite

hps: ① f: A ⊆ ℝ → ℝ ② x₀ ∈ ℝ punto di accumulazione per A

th: Se lim_x→x₀ f(x) = l allora l è unico

Considerate una funzione f(x) con x₀ punto di accumulazione, se il limite per x → x₀ della funzione esiste (finito o infinito), allora il valore del limite è unico.

Dimostrazione:

Supponiamo per assurdo, che lim_x→x₀ f(x) = l₁ e lim_x→x₀ f(x) = l₂

Siano V₁ e V₂ intorni di l₁ e l₂ rispettivamente, tale che V₁ ∩ V₂ = ∅

V₁ = (l₁ - r, l₁ + r) V₂ = (l₂ - r, l₂ + r) r = _{|l₂ - l₁|} / 2

Poiché lim_x→x₀ f(x) = l₁

Allora in corrispondenza di V₁ esiste un intorno U₁ di x₀, ∀x ∈ U₁ ∩ A \ {x₀} ⇒ f(x) ∈ V₁

Poiché lim_x→x₀ f(x) = l₂

Allora in corrispondenza di V₂ esiste un intorno U₂ di x₀, ∀x ∈ U₂ ∩ A \ {x₀} ⇒ f(x) ∈ V₂

Sia Ŭ = U₁ ∩ U₂. Ŭ è ancora un intorno di x₀.

∀x ∈ Ŭ ∩ A \ {x₀}

• x ∈ U₁ ∩ A \ {x₀} ⇒ f(x) ∈ V₁
• x ∈ U₂ ∩ A \ {x₀} ⇒ f(x) ∈ V₂

Dunque, ∀x ∈ Ŭ ∩ A \ {x₀} ⇒ f(x) ∈ V₁ ∩ V₂

Assurdo perché V₁ ∩ V₂ = ∅

Teorema (Limitatezza locale)

• f: A ⊆ ℝ → ℝ
• x₀ ∈ ℝ punto di accumulazione per A
• ^lim_x→x0 f(x) = L ∈ ℝ

∃U intorno di x₀ ∃H>0:|f(x)|≤M ∀x∈U∩A

Considerate una funzione f(x) con x₀ punto di accumulazione; se esiste ed è finito il limite per x→x₀ della funzione, allora la funzione f(x) è limitata in un intorno di x₀.

Dimostrazione:

Per dimostrare il teorema, ricorriamo alla definizione di limite, e dato ε arbitrario, colla scelta di ε₁, scegliamo ε=1.

∃U intorno U di x₀: ∀x∈U∩A\{x₀} ⇒ |f(x) - L|< 1

Consideriamo ora la quantità |f(x)|:

|f(x)| = |f(x) - L + L|

• = |f(x) - L| + |L| < 1 + |L|

∀x∈U∩A\{x₀}

Se x₀∈A, allora definiamo M=max{|L| + 1, |f(x₀)|}

Da ciò segue che |f(x)| ≤ M ∀x∈U∩A

Teorema

hps:

• f, g: A R
• x₀ R punto di accumulazione per A
• f(x), g(x) lim f(x) = l₁, lim g(x) = l₂, l₁, l₂ R

t.s.:

1. lim (f(x) + g(x)) = l₁ + l₂
2. lim (f(x) - g(x)) = l₁ - l₂
3. se lim f(x) g(x) = y₀
4. se lim f(x) g(x) = l₁ l₂

Dimostrazione

Per semplicit consideriamo x R

1. Vogliamo mostrare che x 0 0 1 x A con 0 < |x - x₀| < x
2. Fissiamo 0.

Poich lim f(x) = l₁ x 0 x A con 0 < |x - x₀| < x 1

Poich lim g(x) = l₂ x 0 x A con 0 < |x - x₀| < x 2

Sia = min {,} allora x A con 0 < |x - x₀| < =

|f(x) - g(x) - (l₁ + l₂)| |f(x) - l₁| + |g(x) - l₂|

utilizzo la disuguaglianza triangolare

Allora x A con 0 < |x - x₀| < = > |f(x) - g(x) - (l₁ - l₂)| + = 2

il coefficiente di 2 non ha alcuna importanza dato che la scelta di 0 arbitraria

Teorema (dei due carabinieri)

hps:

1. f,g,h: A ∈ ↠ &R
2. x₀ punto di accumulazione per A
3. f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)   ∀x ∈ U ∩ (A\{x₀})   con U intorno di x₀
4. lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 h(x) = l ∈ ℝ

th:

lim_x→x0 g(x) = l

Dimostrazione

Consideriamo ∀ ε ℝ.

Vogliamo mostrare che ∀ ε > 0   ∃ V₀ di x₀ | ∀x ∈ V₀ ∩ A \ {x₀} ⇒ l - ε < g(x) < l + ε

Fissiamo ε > 0

Poiché lim_x→x0 f(x) = l ⇒ ∃ U₁ intorno di x₀ | ∀x ∈ U₁ ∩ A \{x₀} ⇒ l - ε < f(x) < l + ε

Poiché lim_x→x0 h(x) = l ⇒ ∃ U₂ intorno di x₀ | ∀x ∈ U₂ ∩ A \{x₀} ⇒ l - ε < h(x) < l + ε

Sia U = U₁ ∩ U₂. U ∈ un intorno di x₀.

∀x ∈ U ∩ A \{x₀} l - ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < l + ε ⇒ l - ε < g(x) < l + ε

Teorema di Fermat

hps:

1. f: A ⊆ R → R
2. x₀ punto interno ad A
3. x₀ estremo relativo
4. f derivabile in x₀

th: f'(x₀) = 0

Sia f: A ⊆ R → R e sia x₀ punto interno ad A. Se inoltre x₀ è un punto di estremo relativo (massimo o minimo relativo) e f è derivabile in x₀, allora la derivata nel punto x₀ è zero.

Dimostrazione:

Supponiamo che x₀ sia un punto di massimo.

Allora ∃ δ > 0 | f(x₀) = f(x) ∀ x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ)

Considero ora il rapporto incrementale

f(x) - f(x₀) x - x₀ con f(x) - f(x₀) ≤ 0 ∀ x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ)

Ne segue allora che:

• - con x < x₀ < x₀ + δ ⟹ f(x) - f(x₀) ≤ 0
• - con x₀ - δ < x < x₀ ⟹ f(x) - f(x₀) ≥ 0

f è derivabile in x₀, perciò: 1 |_{x → x0 -} f(x) - f(x₀) x - x₀ |_{x → x0 +} f(x) - f(x₀) x - x₀ ⟹ 0

Allora f'(x₀) ≤ 0 ∧ f'(x₀) ≥ 0 ⟹ f'(x₀) = 0

Proposizione:

Ip: ₁ f: (a, b) → ℝ derivabile

th: f è monotona crescente ⟺ f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b)

f è monotona decrescente ⟺ f'(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b)

Sia f una funzione da (a, b) in ℝ derivabile.

f è monotona crescente se e solo se la derivata prima è ≥ 0 su tutto il dominio

e quindi è monotona decrescente se la derivata prima è ≤ 0 su

tutto il dominio.

Dimostrazione:

Dimostriamo che f è monotona crescente ⟺ f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b).

• (⇒) Sia x₀ ∈ (a, b). Consideriamo il rapporto incrementale di f in x₀.
• Se x > x₀ allora ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} ≥ 0 e ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} ≥ 0.

Dato che il rapporto incrementale è ≥ 0 allora, per il teorema della

permanenza del segno, anche lim_x→x0 ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x0} ≥ 0 che per definizione

rappresenta la derivata. Dalla arbitrarietà di x₀ ⇒ f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b).

• (⇐) Siano x₁, x₂ ∈ (a, b) con x₁ < x₂, vogliamo mostrare che f(x₁) ≤ f(x₂).
• Prendiamo f: [x₁, x₂] → ℝ
• x ↦ f(x)

Valgano le ipotesi del teorema di Lagrange ⇒ ∃ c ∈ (x₁, x₂) t.c. f'(c) = ^{f(x₂) - f(x₁)}/_x2-x1.

Per ipotesi f'(c) ≥ 0 ⇒ ^{f(x₂) - f(x₁)}/_{x2 - x1} ≥ 0

Dato che x₂ - x₁ > 0 ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) perciò f è monotona crescente.