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Analisi Numerica
Trattamento dei segnali:
k e k g k ( x ) = g ( x )
g ∈ L 2 ( R )
Segnale: funzione in L 2 , rappresentazione continua
- approssimazione finita discreta
- SCOPO: trovare delle rappresentazioni efficienti dei segnali. (oggetti in L 2 )
- C k coefficienti: legati alle correlate di base del segnale, ne sappiamo derivare le costanti di
- Problemi di tratt. segnali: codifica e compressione
- Per occupare poco spazio
- Durante gli scambi non devono comparire errori (NO NOISE), denoising, rendere la trasmiss. robusta
- SPEC: algoritmo si codifica basato sulle WAVELETS
- I coeff. della funzione "parlano, dicono tutto su di essa.
- WAVELETS funzioni
- WAVELETS di HAAR
SEGNALI
f(x) = Σk∈ℤ ckeikx
- k aumenta la frequenza.
- Se conosciamo f possiamo trovare ck?
ck = 1/2π ∫02π f(x)e-imx dx = 1/2π ⟨f, e-imx⟩
f(x) = Σk ck eikx
1/2π ⟨f(x), eimx⟩ = 1/2π ⟨Σk ck eikx, eimx⟩ =
= 1/2π Σk ck ⟨eikx, eimx⟩ = 1/2π Σk ck ∫02π eix(k-m)x dx =
= 1/2π Σk ck ∫02π eix(k-m)x dx
(BASE ORTONORMALE)- 0 se k ≠ m
- 1 se k = m
⟨f⟩2 = energia del segnale = Σk | ck |2
EQ. DI BESSEL
⟨f g⟩ = Σk Σm ck c̃m ⟨eikx, eimx⟩
- La rappresentazione è isometrica rispetto la grandezza degli oggetti.
- Gli elementi del sistema di Fourier sono ortonormali.
- Tutto si ricava da eikx.
2o CASO ∃ℓ∈ℝ
(INTERVALLI NON HANNO LA STESSA AMPIEZZA)
SUPPONIAMO ℓ>>
<ΨH,j,5k,ΨH,ℓ,m>=
=∫0mℓ/2ℓΨH,j,5k(x)ΨH,ℓ,m(x)dx=±ℓ²∫01ψH,ℓ,m(ℓx)dx =0
→ quindi il sistema è ortonormale
OSSERVAZIONE
<ΦH,0k,ΦH,0m>=
=<ΦH(x-k),ΦH(x-m)> ≥ 0 ∀ k, m ∈ ℤ
• Se le basi sono tali che SUGLI SUPPORTI SONO DISGI
=∫= 0
2
u2⊥X0
6
=2∫
2∫X=1
PROPRIETÀ
ΦH,00(x)=
compressione11840 - 1480 ----------- 8
- questa rapp in termini di dettagli, è molto adatta alla manipolazione dei segnule
Con una coprussione del 50% la resista si energia xi sensase è dell 0,03%
PROP:
Sia \( f \) continua e limitata con le sue derivate fino all'ordine \( l \)
\(\int_{R} \hat{g}(w) (1+ \mid \! w \! \mid)^l \, dw < \infty\)
se \( g \) è a supporto compatto
REGOLARITÀ DI \(\hat{g}\) ?
\(\Rightarrow\) date \( f \), lo zavorrate = relaz. di decadimento della trasforma
(più elevata) - (\(\Rightarrow\) + veloce)
COROLLARIO
\(\Rightarrow\) se \( g \in \text{SUPP. COMPATTO} \Rightarrow \hat{g} \in C^\infty\)
EX:
\(f(x) = e^{x^2} f_{\omega}(x)\)
\(\left \| \hat{g} \right \|_{\left[\frac {-\pi}{2 \pi}\right]} = \left \| \hat{g_1} \hat{g_2} \right \|^2 = \langle \hat{g_1}, \hat{g_2} \rangle = 2 \pi \langle g_1 , g_2 \rangle \)
PROP:
se \( f \ne 0 \) e a supporto compatto
\(\Rightarrow\) \(\hat{g}\ \text{non può essere nulla su un intervallo}\)
ESEMPIO:
\(G_{\tau}(t)\)
\(\hat{G_{\tau(w)}} = \int_{R} G_{\tau}(t)e^{-iwt} dt = e^{-iw\bar{z}}\)
\(\Rightarrow g(x)=e^{-x^2}\)
\(\hat{g}(x) = \sqrt{\pi} e^{\frac {-w^2}{4}}\)
g(x)
Σ m 1 2π ∫ π −π g(w) e iw(cm+x) dw = Σ g(m) 1 2π ∫ π −π eiw(mx) dw =
Σ g(m) 1 2π ∫ π −π ew(x-m) dw = |Σ f(m) sum π(x-m)
π(x-m) se f è a bande limitate
g(x) = Σ f(m) sum π(x-m)
se g(w) = 0 se |w| >c
g(x) = Σ f(m) sum (Ωx-m) Ωx -mf
NOTA: Un segnale a bande limitate si pub ricostruire
con delle funzioni di supporto (sinc) con dei
valori campionati, purchke la SPAΩx minore di
tanto pi grande è la bande tanto piu fitti devon
essere i campioni:
funzione di supporto (sempre la stessa)
valore del campionamento
TRASFORMATA WAVELET
Sia Ψ ∈ L2(R) t.c. ∫-∞∞ |Ψ̂(ω)|2 dω < ∞
si definisce (WΨ f )(a,b) = ∫R f(t) 1 / √|a| Ψ( t-b / a) dt =
= < Ψa,b , f > = < f , 1 / √|a| Ψ (t-b / a)> dove a,b ∈ R
osservazioni
|Ψa,b |2 = 1
| 1 / √a Ψ((• - b) / a)|22 = 1 / |a| ∫-∞∞ Ψ( t-b / a )Ψ( t-b / a ) dt =
= 1 / |a| ∫-∞∞ Ψ(z) Ψ(z) dz = dove z = ( t-b / a )
a dz = dt
= ∫R Ψ(z) Ψ(z) dz = 1
• Se Ψ ∈ L1(R) continua e limitata
Ψ̂(0)=0 = ∫Ψ(x) dx
∫x Ψ(x)dx=0 "WAVELET"
( WΨ g )(a,b) = < g , 1 / √|a| Ψ (• - b / a)> =
t* = ∫R t* gλ(t) dt ∫t g( t-b / a ) dt= at* +b
Hk = a H
se pensiamo come h Ψ( t-b / a ) sarà
= [ a* t* + b e a * [a* t* + b - a sλ, a t* + b a sg]]
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