Analisi numerica - Wavelets

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Appunti ed esercizi svolti di Analisi numerica per l'esame della professoressa Manni. Gli argomenti riportati sono: Trasformata wavelet e sue proprietà, Analisi in Multirisoluzione con …

Esame Analisi numerica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Manni Carla

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2013-2014

99 pagine

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Analisi Numerica

Trattamento dei segnale:
- ∑_k e_kg_k(x) = ĝ(x)
- g ∈ L²(R)

Segnale = funzione in L², rappresentazione continua
- approssimazione finita discreta
Scopo = trovare delle rappresentazioni efficenti dei segnali (= oggetti in L²)
C_k coefficienti: legati alle correlazioni frazioni dei segnale, de sappiano derivarne le coefficienti dei
Problemi di tratt segnali: codifica e compressione
- per occupare poco spazio
- durante gli scambi non devono comparse error,
  - (NO NOISE), Denoising, rendere la trasm. robusta
Spe.: algoritmo di codifica basato sulle wavelets
I coeff. della funzione "parlano, dicono tutto su di essa
Wavelets funzioni
Wavelets di HAAR

Analisi Numerica

Trattamento dei segnali:
∑ e_k g_k(x) = g(x)

g ∈ L²(R)
Segnale = funzione in L², rappresentazione continua
- approssimazione finita discreta
Scopo = trovare delle rappresentazioni efficienti dei segnali (oggetti in L²)
C_k coefficienti: legati alle correlazioni locali del segnale, da sappiamo derivano le proprietà del segnale
Problemi di trasf segnali: codifica e compressione
- Per occupare poco spazio
- Durante gli scambi non devono comporare errori (no noise), denoising, rendere la trasmissione robusta
Spec.: algoritmo si copia basato sulle wavelets
I coeff. della funzione "parlano", dicono tutto su di essa
Wavelets funzioni
Wavelets di Haar

SEGNALI

f(x) = ∑_k∈Z c_k e^ikx

k aumenta la frequenza.
Se conosciamo f possiamo trovare c_k?

c_k = (1/2π) ∫₀^2π f(x) e^-imx dx = (1/2π) ⟨f, e^imx⟩

f(x) = ∑_k c_k e^ikx

(1/2π) ⟨f(x), e^imx⟩ = (1/2π) ⟨ ∑_k c_k e^ikx, e^imx⟩ =

= (1/2π) ∑_k c_k ⟨e^ikx, e^imx⟩ =

= (1/2π) ∑_k c_k ∫₀^2π e^i(k-m)x dx

(BASE ORTONORMALE)

= (1/2π) ∑_k c_k ⟨0 se k≠m⟩ ⟨1 se k=m⟩

|f|² = energia del segnale = ∑_k |c_k|² EQ. DI BESSEL

⟨f g⟩ = ∑_k c_k c_m^- ⟨e^ikx, e^imx⟩

La rappresentazione è isoelettrica mediante le grandezze degli oggetti.
Gli elementi del sistema di Fourier sono ortonormali rispetto il wave da e^ikx.
(Trattine )

PROBLEMI: la rappresentazione va bene in un intervallo limitato

in \( l^{2}(R) \) ci sono problemi con seni e coseni
\( C_{k} = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)e^{-ikx}dx \)
\((\sup f = \) la somma dell'insieme su cui la funzione è diversa da zero\()

Fourier non dà informazioni locali a colpo d'occhio

DEFINIZIONE: WAVELET ORTONORMALE

\( \psi \in l^{2} (R) \) è detta wavelet ortonormale sse

\( \psi_{jk}(x) = 2^{\frac{j}{2}} \cdot \psi (2^{j} x - k)\)

Posto:

\( f(x) = \sum_{k,j\in K}c_{jk} \psi_{jk}(x) \)
\( < \psi_{jk}, \psi_{lm} > = \delta_{j,l} \delta_{k,m} \) (ortonormalità)

Allora \(\forall f \in l^{2}(R)\)

Nota Fourier: \( f = \) combinazione di seni

Wavelet: \( \Psi = \) con due operazioni

Sist. ortogonale | Sist. ortonormale

Ψ abbia supp in [a,b]

Ψ(2^jx - k)

j,k ∈ ℤ

a ≤ 2^jx - k ≤ b

^{a + k}/_2^j ≤ x ≤ ^{b + k}/_2^j

2^j dilata o contrae il supporto

lo trasla

||Ψ(2⁰ - x)||₂² = ∫_R |Ψ(2^jx - k)|² dx = ¹/_2^j ∫_R |Ψ(z)|² dz = ¹/_2^j ||Ψ||²

x = ^{z + k}/_2^j dx = ¹/_2^j dz

I SIGNIFICATO DEI COEFFICIENTI

supΨ ∈ (a,b)

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