Analisi numerica - Wavelets

Appunti ed esercizi svolti di Analisi numerica per l'esame della professoressa Manni. Gli argomenti riportati sono: Trasformata wavelet e sue proprietà, Analisi in Multirisoluzione con relative condizioni, algoritmi di decomposizione e ricostruzione di una funzione in L2, Costruzione di wavelets ortonormali, Funzioni spline cardinali e loro proprietà, Wavelets basate su funzioni splines, Esempi di wavelets come quella di Haar e Daubechies ed applicazioni. Sono presenti anche molte dimostrazioni di risultati importanti e alcuni compiti di esame svolti.

Esame Analisi numerica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Manni Carla

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

Publisher 19fra91

A.A. 2013-2014

99 pagine

1 download

Appunto

Vota 3,0 / 5 (2)

Scarica

Estratto del documento

Analisi Numerica

Trattamento dei segnali:

k e k g k ( x ) = g ( x )

g ∈ L 2 ( R )

Segnale: funzione in L 2 , rappresentazione continua
- approssimazione finita discreta
SCOPO: trovare delle rappresentazioni efficienti dei segnali. (oggetti in L 2 )
C k coefficienti: legati alle correlate di base del segnale, ne sappiamo derivare le costanti di
Problemi di tratt. segnali: codifica e compressione
- Per occupare poco spazio
- Durante gli scambi non devono comparire errori (NO NOISE), denoising, rendere la trasmiss. robusta
SPEC: algoritmo si codifica basato sulle WAVELETS
I coeff. della funzione "parlano, dicono tutto su di essa.
WAVELETS funzioni
WAVELETS di HAAR

SEGNALI

f(x) = Σ_k∈ℤ c_ke^ikx

- k aumenta la frequenza.

- Se conosciamo f possiamo trovare c_k?

c_k = 1/2π ∫₀^2π f(x)e^-imx dx = 1/2π ⟨f, e^-imx⟩

f(x) = Σ_k c_k e^ikx

1/2π ⟨f(x), e^imx⟩ = 1/2π ⟨Σ_k c_k e^ikx, e^imx⟩ =

= 1/2π Σ_k c_k ⟨e^ikx, e^imx⟩ = 1/2π Σ_k c_k ∫₀^2π e^ix(k-m)x dx =

= 1/2π Σ_k c_k ∫₀^2π e^ix(k-m)x dx

(BASE ORTONORMALE)

- 0 se k ≠ m

- 1 se k = m

⟨f⟩² = energia del segnale = Σ_k | c_k |²

EQ. DI BESSEL

⟨f g⟩ = Σ_k Σ_m c_k c̃_m ⟨e^ikx, e^imx⟩

- La rappresentazione è isometrica rispetto la grandezza degli oggetti.

- Gli elementi del sistema di Fourier sono ortonormali.

- Tutto si ricava da e^ikx.

2^o CASO ∃ℓ∈ℝ

(INTERVALLI NON HANNO LA STESSA AMPIEZZA)

SUPPONIAMO ℓ>>

<Ψ_H,j,5k,Ψ_H,ℓ,m>=

=∫₀^{mℓ/2^ℓ}Ψ_H,j,5k(x)Ψ_H,ℓ,m(x)dx=±ℓ²∫₀¹ψ_H,ℓ,m(ℓx)dx =0

→ quindi il sistema è ortonormale

OSSERVAZIONE

<Φ_H,0k,Φ_H,0m>=

=<Φ_H(x-k),Φ_H(x-m)> ≥ 0 ∀ k, m ∈ ℤ

• Se le basi sono tali che SUGLI SUPPORTI SONO DISGI

=∫= 0

u²⊥X₀

=2∫

2∫X=1

PROPRIETÀ

Φ_H,00(x)=

compressione

11840 - 1480 ----------- 8

questa rapp in termini di dettagli, è molto adatta alla manipolazione dei segnule

Con una coprussione del 50% la resista si energia xi sensase è dell 0,03%

PROP:

Sia \( f \) continua e limitata con le sue derivate fino all'ordine \( l \)

\(\int_{R} \hat{g}(w) (1+ \mid \! w \! \mid)^l \, dw < \infty\)

se \( g \) è a supporto compatto

REGOLARITÀ DI \(\hat{g}\) ?

\(\Rightarrow\) date \( f \), lo zavorrate = relaz. di decadimento della trasforma

(più elevata) - (\(\Rightarrow\) + veloce)

COROLLARIO

\(\Rightarrow\) se \( g \in \text{SUPP. COMPATTO} \Rightarrow \hat{g} \in C^\infty\)

EX:

\(f(x) = e^{x^2} f_{\omega}(x)\)

\(\left \| \hat{g} \right \|_{\left[\frac {-\pi}{2 \pi}\right]} = \left \| \hat{g_1} \hat{g_2} \right \|^2 = \langle \hat{g_1}, \hat{g_2} \rangle = 2 \pi \langle g_1 , g_2 \rangle \)

PROP:

se \( f \ne 0 \) e a supporto compatto

\(\Rightarrow\) \(\hat{g}\ \text{non può essere nulla su un intervallo}\)

ESEMPIO:

\(G_{\tau}(t)\)

\(\hat{G_{\tau(w)}} = \int_{R} G_{\tau}(t)e^{-iwt} dt = e^{-iw\bar{z}}\)

\(\Rightarrow g(x)=e^{-x^2}\)

\(\hat{g}(x) = \sqrt{\pi} e^{\frac {-w^2}{4}}\)

g(x)

Σ m 1 2π ∫ π −π g(w) e ^iw(cm+x) dw = Σ g(m) 1 2π ∫ π −π e^iw(mx) dw =

Σ g(m) 1 2π ∫ π −π ew(x-m) dw = |Σ f(m) sum π(x-m)

π(x-m) se f è a bande limitate

g(x) = Σ f(m) sum π(x-m)

se g(w) = 0 se |w| >c

g(x) = Σ f(m) sum (Ωx-m) Ωx -mf

NOTA: Un segnale a bande limitate si pub ricostruire

con delle funzioni di supporto (sinc) con dei

valori campionati, purchke la SPAΩ_x minore di

tanto pi grande è la bande tanto piu fitti devon

essere i campioni:

funzione di supporto (sempre la stessa)

valore del campionamento

TRASFORMATA WAVELET

Sia Ψ ∈ L²(R) t.c. ∫_-∞^∞ |Ψ̂(ω)|² dω < ∞

si definisce (W_Ψ f )(a,b) = ∫_R f(t) 1 / √|a| Ψ( t-b / a) dt =

= < Ψ_a,b , f > = < f , 1 / √|a| Ψ (t-b / a)> dove a,b ∈ R

osservazioni

|Ψ_a,b |₂ = 1

| 1 / √a Ψ((• - b) / a)|₂² = 1 / |a| ∫_-∞^∞ Ψ( t-b / a )Ψ( t-b / a ) dt =

= 1 / |a| ∫_-∞^∞ Ψ(z) Ψ(z) dz = dove z = ( t-b / a )

a dz = dt

= ∫_R Ψ(z) Ψ(z) dz = 1

• Se Ψ ∈ L¹(R) continua e limitata

Ψ̂(0)=0 = ∫Ψ(x) dx

∫x Ψ(x)dx=0 "WAVELET"

( W_Ψ g )(a,b) = < g , 1 / √|a| Ψ (• - b / a)> =

t* = ∫_R t* g_λ(t) dt ∫t g( t-b / a ) dt= at* +b

H_k = a H

se pensiamo come h Ψ( t-b / a ) sarà

= [ a* t* + b e a * [a* t* + b - a s_λ, a t* + b a s_g]]

Anteprima

Vedrai una selezione di 21 pagine su 99