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Estremi Sup Inf
Massimo/Minimo
A min = insieme nullo
x ∀x ∈ A → x ≤ m
- A ∈ z
- m ∈ z
- π z
A = [1,2]
Condizione
m ∈ A
L ∈ ℝ maggiori di A
- ∀ x ∈ A, x ≤ L
- l ∈ ℝ minimal di A
- l ∈ A, x ≥ l
∀ l ∈ A, x ≥ x
- ∀ A annota max M
- Se M è massimo
A = [1,2] x = 2
l = 2 1_3 - x
A - [1,2] 2 ∉ A
A = {x ∈ ℝ : x > 0}
A max m, min m
l = -5 minimal l
A limite supern
su ammette un maggiorante
A limite inferiore
n ammette un minoreante
A
a limite o limite superiore e inferomatto cat
I L L E R
⊂
∀ ε ∈ A
l ≤ ε ε ∈ l
INSIEME LIMITATO
ESTREMO SUPERIORE
A numeri.
superamelo limite
l ∈ R estremo superiore ti A
na *€ il minimo dei maggioranli
magando limite
Puplioladed z u z lt tu un maggiorato Z e il minimo oliv maggiorati Z=sup A
A (L, 2)]
l = eux L = 3 Lε, 2 5
☐
il più piccoli di maggiorato z ε sup A
1) ⊂ ⊃ ∀ a ∈ A
2) ∀ ε > ε, ze ∈ A z, e > Π e
NUMERI COMPLESSI: OPERAZIONE IN FORMA CARTESIANA
GENERICO NUMERO COMPLESSO → Z
Z = a + bi
a = Re (Z) È DETTO PARTE REALEb = Im (Z) È DETTO PARTE IMMAGINARIAi È DETTA UNITÀ IMMAGINARIA, i2 = -1
SOMMA:
SIANO Z1 = a + bi E Z2 = c + di DUE NUMERI COMPLESSI
ALLORA Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d)i
es. Z1 = 3 + 2i Z2 = 1 - 3i ⇒ Z1 + Z2 = 3 + 1 + (2 - 3)i = 4 - i
Nel piano di Gauss si fa come la somma di 2 vettori.
SOTTRAZIONE:
SIANO Z1 = a + bi E Z2 = c + di DUE NUMERI COMPLESSI
ALLORA Z1 - Z2 = (a - c) + (b - d)i
es. Z1 = 1 + 3i Z2 = 5i ⇒ (1 - 0) + (3 - 5)i = 1 + ii - 2i
Il SIMMETRICO
Radici e Potenze di Numeri Complessi
(a + ib)m
Moltiplicare l'argomento per m
Elevare il Modulo alla m
- Converto in forma esponenziale
- Elevo alla 5o
- Torno in forma cartesiana
Formula di De Moivre
zm = ρm [cos(mθ) + i sin(mθ)]
(1+i)5 = (√2)5 ei(5π/4)
= 4√2 ei(-π)
Funzione pari
f(x) = f(-x)
Simmetria rispetto asse y
Funzione dispari
f(-x) = -f(x)
Simmetrico rispetto all'origine
Funzioni monotone
x₁ < x₂ ➔ f(x₁) ≤ f(x₂)
Crescente
x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
Strettamente crescente
f(x) = 1/x
(0, +∞)
x₁ < x₂ ➔ |f(x₁)| > |f(x₂)|
Decrescente
x₁ < x₂ ⟹ |f(x₁)| > |f(x₂)|
Strettamente decrescente
Teorema di unicità del limite
Enunciato
Il limite f(x) si regola a L e L' è unico.
Ipotesi:
- limx→x0 f(x) = L
per assurdo
- lim f(x)≠L' con L'≠L
- ∃ ε' per forza L'>L
Pensiamo un ϵ pari/uguale L-L/2
lim f(x) = L
- ∀ ε ∈ ℝ ∃ I(x0), ∀ x ∈ I(x0) con x≠x0, troviamo |f(x)|L'-ε
confronto l'intervallo I uguale lim interno
- I(υ) ∩ I(x0) allora otteniamo contemporaneamente le seguenti:
- |f(x)|-L| 0
arc cos f(1/x) + arc cos f x = π/2
Se x < 0
arc cos f(x) + arc cos f x = -π/2
DISCONTINUITÀ
1º SPECIE
se lim x → x0- f(x) = l, lim x → x0+ f(x) = l
→ si limita hanno come ... numero finito ... diverge tale da l
[l - l = il salto]
2º SPECIE
se almeno uno dei limiti ±∞ oppure non esiste
3º SPECIE
1) esiste ed è finito il limite di f(x), per x → x0, ovvero lim x → x0 f(x) = l
2) f non è definito in x0, oppure, se lo è, si trova f(x) ≠ l
ENTRAMBE DEVONO VERIFICARSI
ESEMPI
limx→0
(1 - cos x) / x2
- 1 - cos(x) ≈ 1 - (1 - x2/2) = x2/2
- sin(3x) ≈ 3x
- (2x) / sin(8x) = 2 / 3
1 - cos f ≈ 1/2 f2
t = 2x
- limx→0 (x - 2) / x3
- 4x + 5 ln(x2 + 1)
x3 è trascurabile rispetto min(2x)
ln(1 + x) ≈ x
ln(1 + x2) è trascurabile risp. ln x
limx→0 (x2 - 6x) / 4x = (2/8)x - 1/3
ATTENZIONE
l≠l
f(x) n px; f(x) = t
È SBAGLIATO SCRIVERE
limx→x0 C[f(x) + g(x)] = limx→x0 C[f1(x) + g1(y)]
ESEMPIO
- b√(x) - √(2 + 1)
- g(n) = √(2x) - 1
limx→∞|x|*p(n) = 1
limx→∞ a(x) limx→∞ [√x − g(b)] = 0
Teorema
Ogni successione convergente è limitata
non vale il viceversa
Dim
∀ ε>0 ⇒ ∀ ε>0 ∃ N1 : |an-a|0: |an|<M ∀ 0∈ ℕ
|an|=|an-a+a| ≤|an-a|+|a| ⇒ dis. triangolare
|an−a|+|a| ≤ |a|+|a|
∀ m≥ N1
chiamiamo |a|+1= K1
|an| ≤ K1
∀ m≥ M1⇒ ∀ n∈ ℕ
(NFMTE)
Allora quel paragrafo lo vediamo sul termine tra due elementi a1, a2, a3... avvolti
ma mancano i primi N1 termini
Per bion cosi bisogna prendere M pio grandi
Max {a0, a1, ..., an-1} = K2
|am| ≤ K2, ∀ m≤0 ,... ,N1-1
⇒ |an| ≤ K ∀ n∈ ℕ
dove K=Max {k1, k2}
cosi la successione è limitata
alla teorema si dimostrato
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