Analisi matematica Uno

Name: Analisi matematica Uno
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Author: Anselo00

Revisionato il 31/05/2026

di Anselo00

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Appunti rielaborati presi durante le lezioni del prof. Di Cristo, mi hanno permesso di sostenere con successo l'esame dell'anno 2019/2020 basati su appunti personali del publisher presi alle …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. Di Cristo Michele

Università Politecnico di Milano

A.A. 2019-2020

108 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Massimo/Minimo

A insieme numeri reali

A ∈ PMax

x ∀ x ∈ A

A ∉ P

A = [3, 2]

condizione

∀ x ∈ A x ≥ m

L ∈ ℝ maggioranti di A

∀ x ∈ A, x ≤ L

l ∈ ℝ minoranti di A

∀ x ∈ A, x ≥ l

L ∈ A ammette max

x̄ = inf maggioranti

A = [3, 2] x̄ = 2

L = 2, l = 3, L = 3 x̄ = inf

A = {x ∈ ℝ : x < 0}

A non ammette max l = 5 minimali

x̄ = inf maggioranti

Estremi

Sup Inf

Massimo / Minimo

A insieme numeri reali

M insieme numeri u

A = [a₁, a₂]

Condizioni:

L ∈ R maggiorati di A

∀ x ∈ A, x ≤ L

l ∈ R minorati di A

∀ x ∈ A, x ≥ l

L = 2

l = 1,5

A = {x ∈ R : x ≥ 0}

A limite superiore se

è un maggiorante

A limite inferiore

se è un minorante

A limite se limite superiore e inferiore

sott

L = R

∀ ∈ A

l ≤ a ≤ L

estremo superiore

A numero ₰

superiore limitato

∈ R estremo superiore x ⊆ A

z < € il minimo dei maggioranti

ugualmente limite

è definito se z è un ∀ t min maggiorati z t

m = sup A ∈

∀ ∈ A
∀ ∈ A, z ∈ A

1 = 2 il più piccolo dei maggioranti

∀ = superiore _A

₂ = 8

₰ ≥ A

Estremo Inferiore

A inf limit

m = inf A = m

m = il massimo dei minori

m = inf A

A m 0

Ǝ e A:

a < m + ε

{z . 3}

max ≤ min subset max A

se esiste max coincide con valore sup

se max A

⇒ sup A = max A

se inf min A

⇒ inf A = min A

A = {n . n = 1, 2, 3, ... }

sup

max = 1

inf

a n = se A

sup

a a A = 0

A = {1 . -1} subset z: m = 1, 2, 3

{-1, . 1}

m obl

m fin.

inf n A

inf A = -1

NUMERI COMPLESSI

Esistono equazioni del tipo x² = -1. Queste non hanno soluzioni tra i numeri reali e si introduce il concetto di NUMERI COMPLESSI, il cui insieme è indicato con il simbolo C.

I numeri reali vengono indicati come coordinate (a, 0). Denominiamo a e b le coppie di numeri reali (a, b) e su questa definizione definiamo le operazioni di SOMMA e PRODOTTO nel seguente modo:

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)
(a₁, b₁) • (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

es.: SOMMA

(1, 2) + (2, 3) = (3, 5)

PRODOTTO

(4, y) • (2, 3) = (4x - y, yf)

In questo modo, si vogliono le stesse proprietà delle operazioni sui numeri reali, si chiamano questi nuovi OGGETTI A 2 COMPONENTI numeri complessi.

Si nota che i numeri del tipo (a, 0) ne sommano, si ricalca la somma dei numeri di tipo analogo e il prodotto si ricalca sui numeri di questa forma, sono numeri dello stesso tipo quando a e con la 2^a coordinata nulla.

Possiamo allora IDENTIFICARE i numeri del tipo (a, 0) con i vecchi numeri reali e possiamo scriverli semplicemente al posto che (a, 0).

Il numero complesso (0,1) gode di questa importante proprietà:

(0,1) · (0,1) = (−1, 0) = −1

Alla luce delle due associazioni precedenti è b + b = e + b

e prende il nome di PARTE REALE del numero complesso

b prende il nome di PARTE IMMAGINARIA

POSSIAMO RAPPRESENTARE LE COORDINATE NEL PIANO DI GAUSS

==>

i=(0,1)

NUMERI COMPLESSI:

OPERAZIONE IN FORMA CARTESIANA

GENERIC N° COMPLESSO → Z

Z = a + bi

PIANO DI GAUSS

a = _Re (Z) è DETTO PARTE REALE
b = _Im (Z) è DETTO PARTE IMMAGINARIA
i è DETTA UNITÀ IMMAGINARIA, i² = -1

SOMMA

SIANO Z₁ = a + bi E Z₂ = c + di

DUE NUM. COMPLESSI

ALLORA

Z₁ + Z₂ = (a + c) + (b + d) i

Z₁ = 3 + 2i Z₂ = 1 - 3i

→ Z₁ + Z₂ = 3+1 + (2-3) i = 4 - i

Nel piano di Gauss si trovano con la regola del parallelogramma, come la somma di 2 vettori.

SOTTRAZIONE

SIANO Z₁ = a + bi

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