Analisi matematica 1- esercitazione

DISEQUAZIONI DI 1^O GRADO

es: 2x + 5 > 0 ⇔ x > -5

-x + 5 > 0 ⇔ x < 5 ⇒ x ≠ 5

+ x ≤ 2x + 5 - x ⇒ 3x < -x ⇒ -4x ≤ 0 ⇒ x ≤ 0

x/2 ≥ 3/3 + 5/2 ⇔ 3x/4 > 5/5

⇒ 2 / 3 - 5 < 0 ⇔ 6 > 1] - ⇔ 0 > 5 / 3 imp!

FUNZIONI

f : A → B ⇔ E

a = f(a)

f^-1(E) = CONTROIMMAGINE DI E : {a ∈ A | f(a) ∈ E}

f : R → IR

x → 3x + b

2x + b > 0 ⇔ x ∈ f^-1([0; +∞]) = x e i controimmagini di y positivi

2x + b = 0 ⇔ x ∈ f^-1({0}) = e a confrontoimm. di 0.

DISEQUAZIONI DI 2^O GRADO

ax² + bx + c > 0

Risolviamo la formula risolutiva:

ax² + bx + c = 0 ⇔ x² + b / a x + c / a = 0 ⇔ x² + b / a x + (b²) / a² = 0

Così ora ho:

y² = c / a = (b²) / 4a² = 0

⇒ y = (b² - 4ac) / 2a ⇒ y = x ± b / 2a

x + b / 2a = ± √(b² - 4ac) / 2a ⇒ x = -b ± √(b² - 4ac) / 2a

ax² + bx + c = 0 ⇐

a(x - x₁)(x - x₂)

con a > 0 le soluzioni sono del tipo:

• x ≥ x₁, e x ≤ x₂
• x ≤ x₁, e x ≤ x₂

x² - 9 > 0

x₁ = 3

x₂ = -3

x² ≥ 9 ⇒ x ≥ 3

x ≤ -3

f: IR → IR

x ↦ ax² + bx + c

con a > 0

(x - 3)(x + 3) ≤ 0 ⇒ x² ≤ 9 ⇒ -3 ≤ x ≤ 3

2 possib. x - 3 ≤ 0 e x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≤ 3 e x ≥ -3

x - 3 ≥ 0 e x + 3 ≤ 0

x ≤ -2 o x ≥ 3

1 - x² ≥ 0 a < 0

x² - 1 ≤ 0 ⇒ x² ≤ 1 ⇒ -1 ≤ x ≤ 1

x² - x - 6 ≥ 0

x = ^{1 ± √1 + 24} / ₂ = ^{1 ± 5} / ₂

x³ - 8x + 15 ≤ 0

x = ^{8 ± √64 - 60} / ₂ = ^{8 ± 2} / ₂ = ⁵ / ₃

DIVISIONE TRA POLINOMI

x³ + 3x² - x + 1

-x³ + 2x²

x + 2

x² - x - 3

(x + 2)(x² - x + 3) + 7

Le potenze del binomio di Newton...

(a+b)^m = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)... (a+b)

In volte

La soluzione sarà del tipo Σ C_k a^kb^m-k dobbiamo trovare c_k in quanti modi possibili posso prendere a k volte e b m-k volte? Posso prendere i miei primi, due e b miei altri, due anche a mese 1^o, b mese 2^o, a mese 3^o, e bin tutti gli altri, etc... ovvero esattamente

C_k = ( ^m⁄_k )

SUCCESSIONI PER RICORRENZA

c'è un modo x definire le successioni

• (a₀,a₁,a₂,a₃,...) una successioni è una funzione f: N → R
• a_n+1 = f(a_n)
• a₀ = 2

definizione x ricorrenza es. a_n+1 = 2ⁿ

CASO SEMPLICE:

a_n+1 = d a_n + β = FUNZIONE LINEARE (f(a) = da+β) questo tipo di successioni si risolvono sempre:

a₁ = d a₀ + β

a₂ = d a₁ + β = d (d a₀ + β) + β = d² a₀ + dβ + β = d² a₀ (dβ + 1) + β

a₃ = d a₂ + β = d (d² a₀ + dβ + β) + β = d³ a₀ (dβd² + dβ + 1) + β

d = 1

a₂ = 2 a₁ = 2 a₀ + 2 β

2_m = 2₀ + mβ

d ≠ 1

2_m = d^m 2₀ + (d^m-1 + d^m-2 + ... + d¹)β

SERIE GEOMETRICA

1 + d + ... + d^m = ½ 1-d^m+1 d-1

dimostrazione:

(1 + d₁ + ... + d^m)(1-d) = 1-½x ... + x^k + x^k+1 ... x³ + ... - d^m+1

d = ½

a_m = d^ma₀ + ½ d^m-1d-1 β

Devo dimostrare che qst è la formula giusta, intanto sappiamo che è unica (anche ogni termine è definito dal precedente!), vediamo se è così.

a_n+1 = d^m+1 a₀ + (d^m+2-1 d-1 β

a₂n + β = d ( _m 2_{0 + ( m-1}) m-1 β + m-1 β

succesi i calci o vedo che sono uguali

CASO DIFFICILE:

successioni di cui non sempre si trova la soluzione

(a_m+1 = √a_m

TRUCCHETTO CHE USO SEMPRE:

bisettrice

grafico di f

a₁ = f(a₀)

es:

\(\lim_{x \to 0} \sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = x + o(x)\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2}, \quad \frac{1 - \cos^2 x}{1 + \cos x} =\)

\(\frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{x^2}{1 + \cos x} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 1 - \cos x = \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)\)

\(\Rightarrow \quad \cos x = 1 - \frac{1}{2} x^2 + o(x^2)\)

es:

Verifichiamo se è vero

\(f(x) = x^{4/3} + o(x^{4/3}) \quad \Rightarrow \quad ORDINE \, \frac{3}{3} \, \text{rispetto a} \, x\)

f,g \(\Rightarrow\) R \(\rightarrow\) R

\(q = 0(f) \, \text{se} \, \lim_{x \to x_0} \frac{\Delta(x)}{f(x)} = 0\)

• f ~ o(g) \(\Rightarrow\) sono INFINITI allo STESSO ORDINE

Convessità

AC ⊂ R² si dice convesso se ∀ x, y ∈ A il segmento che congiunge x a y è interamente contenuto in A.

Dati f: R→R si dice convessa se ∀ x, y ∈ R si ha:

f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y) ∀ λ ∈ [0,1]

⇔ epi(f) = {(x,y) | y ≥ f(x)}

   ↑

EPIGRAFICO (i punti che stanno sopra il grafico)

f è convessa ⇔ x < t < y , f(t) ≤ f(x) + _{(f(y) - f(x))}/(y-x) (t-x)

f(t)-f(x) ≤ _(f(y)-f(x))/(y-x) (t-x)

f(t)-f(x) ≤ _f(y)-f(x)/_t-x ≤ _f(y)-f(x)/^y-x

qst coeff. angol.   < di qst

f convessa ∀ x _(f(y)-f(x))/^y-x crescente

Siccome è crescente è sempre _(f(y)-f(x))/^y-x

=

=

=

^π₀

^π₀

¹₂

¹₂

¹₂

¹_-1

¹_-1

¹_-1

1 - sinx

(cos²x - 3sinx + 3)cosx

(1 - sin²x)

(1 - sin²) cosx

dx = moltiplico e divido per cosx

(1 - sin²x - 3sinx + 3)cos²x

(1 - sin²x)

t = sinx

dt = cosx dx

½ ∫

∫ -1

dt + ∫

u² - 3t - t²

(1 - t² - 3t + 3)(1 - t²) dt =

(u - 3t - t²)(1 + t)

(t + 1)(t - 1)(t + u) dt = - ∫

∫¹_-1 =

(1 + t)(1 - t)(1 + t) dt =

A + B

(t + 1)(t - 1)

(t + 1)(t + u) + C

(t + 1)(t + u)(t + 2)

(t + 1)(t - 1)(t + u)

- A(4A + 4B - C = -1) B(3A + 5B = 0) C(A + B + C = 0)

C =

⇒20B + 4B

A = -5/3B

⇒B = -1/10 A = 1/6 C = -1/15

ma posso anche fare, metodo + veloce:

(1 + t)(

-1

(t - 1)(t + 1)

A - 1/(-2)3

et cetra 20 atte

Adesso si possono separati:

1/6 ∫

1/6 (eq 1 + t)

∫¹_-1/2

1/6 (eq 3/2 - eq 1/2)

1/6 eq 3

etc...