Analisi matematica 1

La velocità di caduta di un corpo in presenza di forze di attrito

Nel vuoto la velocità crescerebbe indefinitamente con l'altezza, in presenza di forze di attrito la velocità cresce fino ad un valore limite, che corrisponde alla velocità che il corpo acquisirebbe cadendo in assenza di forze di attrito dall'altezza h.

La velocità di caduta in presenza di forze resistenti (a) e la velocità di caduta libera (b) sono in funzione dell'altezza h.

L'area del cerchio può essere calcolata considerando un cerchio di raggio r e dividendolo in n parti uguali.

La superficie del triangolino segnato in rosso sarà S=2s: πr^2.

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Appunti delle lezioni di Analisi Matematica I, Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura

Prof. Franco Ciocci

sin(²α) = sin(²α) + cos(²α)

L'area del poligono di n lati inscritto nel cerchio e disegnato in figura sarà nS. Aumentando il numero di suddivisioni n, il poligono approssimerà sempre più il cerchio.

Per calcolare l'area del cerchio consideriamo un numero di suddivisioni n che tende a infinito:

πr² = lim_n→∞ nπsin(^π/n)² = lim_n→∞ nπr²sin(^π/n)²

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Esempio:
lim_x→1 (x²+1)/(x-1)

La sostituzione diretta del valore x=-1 dà luogo ad una forma indeterminata del tipo 0/0. Razionalizziamo il numeratore:

(x²+1)/(x-1) = ((x+1)(x-1))/(x-1) = (x+1)

lim_x→1 (x+1) = 2

lim_x→1 (x² + x + 1) = -1

Semplificando e sostituendo il valore x=-1 otteniamo:

lim_x→-1 (2x² + x + 1) = 1

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Teorema della permanenza del segno

Sia A un sottoinsieme di R contenente due intervalli aperti [a,c] e [c,b], dove c può anche non appartenere ad A.

Se f : R→R è una funzione continua in un intorno di c, allora:

1. Se L>0, esiste un intorno di c in cui f(x)>0 per ogni x diverso da c.
2. Se L<0, esiste un intorno di c in cui f(x)<0 per ogni x diverso da c.

Dimostrazione:

Sia ε>0. Per definizione di limite, esiste δ>0 tale che se 0<|x-c|<δ, allora |f(x)-L|<ε.

1. Supponiamo L>0. Allora possiamo scegliere δ in modo che f(x)>0 per ogni x diverso da c nell'intervallo (c-δ, c+δ).
2. Supponiamo L<0. Allora possiamo scegliere δ in modo che f(x)<0 per ogni x diverso da c nell'intervallo (c-δ, c+δ).

carabinieri per dimostrare che ancheg ( x ) Lne applicare il teorema ponte per concludere la dimostrazione. 13Università degli Studi “La Sapienza” di Roma Facoltà di Ingegneria – A.A. 2010-2011Appunti delle lezioni di Analisi Matematica I, Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura Prof. Franco Ciocci

TEOREMA dell’ unicità del limite

Una funzione y= f(x) non può avere due limiti diversi per x tendente ad c.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che esistano due limiti diversi di f(x) per x chetende ad c: l diverso da l , allora per la definizione di limite avremo:

1 2              0 0 tale che x 0 x c f x l1 2

             0 0 tale che x 0 x c f x l2 2

sommando si ha:           f x l f x l1 2 2

Per le note proprietà del modulo possiamo anche scrivere       f x

l l f x¹ 2Utilizzando la disuguaglianza triangolare possiamo scrivere                   f x l l f x f x l f x l l l¹ 2¹ 2² 1²da qui l’asserto. 14Università degli Studi “La Sapienza” di Roma Facoltà di Ingegneria – A.A. 2010-2011Appunti delle lezioni di Analisi Matematica I, Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura Prof. Franco CiocciLimiti di funzioni compostelim f ( g ( x )) f ( g ( x ))ox xoRichiamiamo anzitutto la definizione di funzione composta:     g : X R R , f : Y R R e g X YSiano  f g : X RalloraIn altri termini sia g una funzione definita in un intervallo [a,b] e sia [c,d] la suaimmagine e sia f definita su [c,d] la cui immagine va in R , allora ha senso definire la  H x f ( g ( x ))funzione .supponiamo che: 1) g ( x ) t per x xo o 2) lim f (t ) lt t o 3) g ( x ) t definitiva mente per x xo o

disuguaglianza triangolare si ha: ^ε⁄₂ + ^ε⁄₂ ≤ ^{f(x) + g(x)}⁄₂ < f(x) + g(x)

Da cui segue l'asserto. Analogamente posso dimostrare per il caso della sottrazione.

TEOREMA

Se esistono, finiti, i limiti:

lim f(x) = l, lim g(x) = m, l,m ∈ R

Allora esiste, finito, il limite della funzione prodotto ed è:

lim f(x) * g(x) = lim f(x) * lim g(x) = l * m

Ovviamente se vale il teorema vale anche:

lim k * f(x) = k * lim f(x) = k * m, k ∈ R

Dimostrazione

f(x) * g(x) - l * m = (f(x) - l) * g(x) + l * (g(x) - m)

|f(x) * g(x) - l * m| = |(f(x) - l) * g(x) + l * (g(x) - m)|

≤ |f(x) - l| * |g(x)| + |l| * |g(x) - m|

≤ ^ε⁄₂ * |g(x)| + |l| * ^ε⁄₂

17Università degli Studi "La Sapienza" di Roma Facoltà di Ingegneria - A.A. 2010-2011 Appunti delle lezioni di