Analisi matematica 2 - la trigonometria dei numeri complessi

Forma trigonometrica dei numeri complessi

Premessa

Sia O un angolo (letto in senso orario), e siano r₂ ed r₃ le 2 semirette uscenti da un punto O, che lo individua. L'angolo O può essere immaginato come la parte di piano descritta da una delle 2 semirette che ruotando intorno ad O, va a sovrapporsi all'altra. Le semirette da O si immaginano rette, come detta 1^a semiretta l'altra 2^a semiretta.

Assegnato l'angolo O, fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in maniera che l'intersezione dell'origine O del sistema coincida al punto di intersezione O delle semirette r₂ ed r₃ che individua l'angolo O, ed ogni perno entrando in numero di l'asse portato della ascisse x_i, coincida con la 1^a semiretta.

Forma trigonometrica e angoli

Sia Θ un angolo (letto in senso orario), e siano r̅ ₁ ed r̅ ₂ le 2 semirette uscenti da un punto O, che lo individuano. L'angolo Θ può essere immaginato come la parte di piano descritta da una delle 2 semirette che ruotando intorno ad O, va a sovrapporsi all'altra. Le semirette che lo si immaginino ruotare, viene detta 1^a semiretta, l'altra 2^a semiretta.

Assegnato l'angolo Θ, fissiamo un sistema di riferimento cartesiano, ortogonale in maniera che l'intersezione dell'origine O del sistema coincida col punto di intersezione O delle semirette r̅ ₁ ed r̅ ₂ che individua l'angolo Θ, ed o forma originaria in maniera che l'asse x̅ coincida con la 1^a semiretta, allora imponiamoci che il verso di esso imponga (regola come è reale) quello che per andarlo a sovrapporre alla seconda debba ruotare in senso antiorario (che non ruoti vene verso positivo della rotazione nel nostro sistema di riferimento).

Misura in radianti

Consideriamo entro la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, e siano P₀ e P rispettivamente i punti di intersezione tra la circonferenza e le semirette ed s. Si definisce misura in radianti di, e si indica con th, la misura dell'arco di circonferenza intercettato da P₀ e P. Tali misure sono state definite: Bo, la misura dell'angologiro 2 π (lunghezza dell'intera circonferenza), dell'angolo piatto π, dell'angolo retto e dell'angolo nullo (quando ≡s), cioè P₀:P) è 0.

Si definisce seno O (seno di un angolo) l'ordinata del punto P, (coseno di un angolo) l'ascissa del punto P, Le la misura dell'angolo nd, li da. Si definisce tg O (tangente di 0) il rapporto Se Ord ≠, 0 = 0, π= π. Si definisce tg.0 il rapporto. Osserviamo che la misura in radianti di un angolo θ è sempre un numero reale compreso tra 0 e 2π. Varia pertanto in qualunque numero reale compreso tra 0 e 2π, in dipendenza da quanto un angolo Θ tale che Θ_rad è ugual a questo numero reale, puntato tra 0 e 2π.

Angolo generalizzato

Dall'insiema di reale assieare un angolo ad un generica numero reale si introduce l'angolo generalizzato. Sia n ε N (compreso lo 0), θ ε 0 un angolo (inteso in senso diretto), si dica angolo generalizzato associato a θ ed n (ad il segno essingo la terna ( θ, ± , n ) egli per definizione, la misura in radianti di ( θ, ± , n) indicato con ( Θ, ± , n)_rad è notare il numero Θ_rad ± 2nπ Ovvero ( θ, ± , n) _rad = Θ_rad ± 2nπ rotto il raggio immaginario diretto l'angolo ( Θ, ± , n) xassotato dell'ase porto x vastia prime n giri completo (in senso andiano per il segno +, anuso per il segno -) depodile ne a delressia l'angolo Θ. Ad esempio l'angolo ( θ, +, 3) con Θ_rad = π/4 , est orre immaginare esaibat rota re -sassa diretto dell'ese x de compie 3 giri completi, poi arre sia l'angolo Θ di misura π/4. Fine peusosa.

Rappresentazione geometrica di un numero complesso

Il campo dei numeri complessi può essere messo in corrispondenza biunivoca col piano, associando ad ogni numero complesso a+ib il punto del piano P, rispetto ad un prefissato sistema di riferimento, cartesiano, detto la coordinata (a,b). Sia a+ib un numero complesso e sia P il punto del piano associato ad a+ib. Osserviamo che il modulo di a+ib rappresenta la distanza tra O e P. Sia θ l'angolo formato ad OP con positivo (senso antiorario) e sia φ l'angolo formato da O (percorso per P).

Chiamiamo argomento di a+ib uno qualunque degli angoli (θ + 2kπ), con k intero. Quindi un numero complesso non nullo ha infinite anomalie. Dalla geometria, se gr, il modulo di a+ib, e O una qualunque delle anomalie, si ha: a = g cos θ, b = g sen θ. Quindi a+ib = g cosθ + i sinθ = g (cosθ + i sinθ) forma trigonometrica di a+ib.

Il numero complesso z ≠ 0 si dirà retto in forma trigonometrica z è retto nella forma g (cosθ i sinθ ) dove g è il suo modulo e θ è un suo qualunque argomento. Riferitamente allo zero complesso, per convenzione, per estensione, un qualunque numero reale, sarà ma suo argomento. Quindi lo zero complesso, ha modulo zero ed argomento un qualunque numero reale. (L’insieme dell’argomento dello zero coincide con R) Lo zero può essere retto come0 = 0 (cosθ + i sinθ ) ← forma trigonometrica. dove θ è un suo qualunque argomento. Un numero complesso è nullo ↔ ha modulo 0.

Siano z₁ ≠ 0 , z₂ ≠ 0, con z_i = g_i (cos θ_i + i sin φ_i ), z₂ = g₂(cosθ₂ i sinθ₂) in forma trigonometrica. Verifichiamo che z₁ = z₂ ↔ g₁ = g₂ ed ∃ k ∈ Z: g₁-g₂ = 2k π.