T EOREMI SUI LIMITI
T EOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO
D : se il lim di una funzione è positivo (negativo) allora la funzione è
EFINIZIONE
definitivamente positiva (negativa).
DIMOSTRAZIONE (I caso):
lim f ( x ) L
Ip: ; con L > 0;
x
Ts: H (che non dipende solo da f)/ x>H f(x)>0. (def. metrica)
f(x)>0 (def. topologica)
U(+)/xU(+)
fissato L/2
=
per Ip H() / L-L/2<f(x)<L+L/2 cioè L/2<f(x)<3L/2
x>H
ho eliminato 3L/2 perché mi basta sapere che la funzione è maggiore L/2 e che quindi
è positiva.
Pertanto f(x) è positiva c.v.d.
x>H
per Ip L-L/2<f(x)<L+L/2 cioè L/2<f(x)<3L/2.
U(+)/xU(+)
Pertanto f(x)>0 c.v.d.
xU(+) H U(+)
II caso:
lim f ( x ) L
Ip: ; con L>o;
x x
o
Ts: (che dipende solo da f)/ xx e x - < x < x + f(x)>0; (def. metrica)
0 0 0
xx f(x)>0 (def. topologica)
U(x ))/xU(+) e
0
o
fissato = L/2, per Ip
xx e x - < x < x + L-L/2<f(x)<L+L/2
()/ 0 0 0
pertanto xx e x - < x < x + f(x) è positiva c.v.d.
0 0 0
xx L-L/2<f(x)<L+L/2
U(x ))/xU(+) e
0
o
pertanto xx f(x) è positiva c.v.d.
xU(+) e
0 U(+)
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