Analisi matematica - teoremi sul limite

T EOREMI SUI LIMITI

T EOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO

D : se il lim di una funzione è positivo (negativo) allora la funzione è

EFINIZIONE

definitivamente positiva (negativa).

DIMOSTRAZIONE (I caso):



lim f ( x ) L

Ip: ; con L > 0;

 

x

Ts: H (che non dipende solo da f)/ x>H f(x)>0. (def. metrica)

  

f(x)>0 (def. topologica)

U(+)/xU(+)



fissato L/2

=

per Ip H() / L-L/2<f(x)<L+L/2 cioè L/2<f(x)<3L/2

  x>H

ho eliminato 3L/2 perché mi basta sapere che la funzione è maggiore L/2 e che quindi

è positiva.

Pertanto f(x) è positiva c.v.d.

x>H

per Ip L-L/2<f(x)<L+L/2 cioè L/2<f(x)<3L/2.

 U(+)/xU(+)

Pertanto f(x)>0 c.v.d.

xU(+) H U(+)

II caso: 

lim f ( x ) L

Ip: ; con L>o;



x x

o

Ts: (che dipende solo da f)/ xx e x - < x < x + f(x)>0; (def. metrica)

   0 0 0

xx f(x)>0 (def. topologica)

U(x ))/xU(+) e

 0

o

fissato = L/2, per Ip

 xx e x - < x < x + L-L/2<f(x)<L+L/2

  ()/ 0 0 0

pertanto xx e x - < x < x + f(x) è positiva c.v.d.

 0 0 0

xx L-L/2<f(x)<L+L/2

U(x ))/xU(+) e

 0

o

pertanto xx f(x) è positiva c.v.d.

xU(+) e

 0 U(+)