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Teoremi sui limiti
Teorema di permanenza del segno: se il limite di una funzione è positivo (negativo) allora la funzione è definitivamente positiva (negativa).
DIMOSTRAZIONE (I caso):
Se il limite di f(x) tende a L > 0, allora:
Per ogni H (che non dipende solo da f) e per ogni x > H, f(x) > 0 (definizione metrica).
In altre parole, esiste un intorno U(+∞) tale che per ogni x appartenente a U(+∞), f(x) > 0 (definizione topologica).
Fissato L/2ε, esiste un H(ε) tale che per ogni x > H, L - L/2 < f(x) < L + L/2, cioè L/2 < f(x) < 3L/2.
Quindi, per ogni x > H, la funzione è maggiore di L/2 e quindi è positiva. Pertanto, f(x) è positiva per ogni x > H. Q.E.D.
Per il caso II, se il limite di f(x) tende a L ≥ 0, allora:
Per ogni x diverso da x0 e per ogni intorno (x - δ, x + δ), f(x) > 0 (definizione metrica).
In altre parole, esiste un δ > 0 tale che per ogni x diverso da x0, f(x) > 0 (definizione topologica).
Quindi, per ogni x appartenente a un intorno U(x0), f(x) > 0. Q.E.D.
))/xU(+) e 0ofissato = L/2, per Ip xx e x - < x < x + L-L/2<f(x)<L+L/2 ()/ 0 0 0pertanto xx e x - < x < x + f(x) è positiva c.v.d. 0 0 0xx L-L/2<f(x)<L+L/2U(x ))/xU(+) e 0opertanto xx f(x) è positiva c.v.d.xU(+) e 0 U(+)
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