Riassunto esame Analisi Matematica I: Teoremi sull'Integrazione Definita, prof. Mazzi

3^a Integrale indefiniti

Definizione

Sia il trapezoide fondi _[0,b] con f: [0,b] ² una funzione, la regione del piano cartesiano Oxy delimitato dall'intervallo [0,b], delle rette x = a e x = b e del profilo di f, è olnvolte T (f, 0,b) ed in omebole e:

• T (f ; 0,b) = {(x,g) ∈ IR ², 0⧸⧸⨹⩥ x⦸⧸⩥⨹⧸⦸⨹⩰b, 0⧸⨹⩥⧸⩥ ⧸⩥⧸⧸⩥⧸⨥⧸⧸⩥⧸⫸⧸⫩⧸⪰⧸⩥⧸⺰ 0⧸⨭⧸⩥⩭⧸⩥⩥⧸⩛⧸⩥⧸⺥⧸⧸⧭⧭⧥⧭⧪}
• Se f è una funzione affine, ovvero f(t) = ⧸⨭⩰⩥⺣a+b, ⺦⧸⧪ f⩥ura ⧸⺥
• Se f⧸⧸⫩⺰^...⧸⩭⧸⺭ ⧭tro⧸⺛⧸⧬⺰⧸⧭ ⺩⧭⺥⧭ ⺢⧾ ⺩⺥⧸⯠⧯⧸ ⧭ se⧯⧯ ⧯ ⧭ quant⧸⧸⺱⧸⧸⧪ se ⧯⧭⺰⧩⺆⺥⩜⯠⩥⭥⧭⺭⧫⧭⩭⯠ ⧭⺥

e un trapezio

Se f > 0 l' area si trova di sopra delle x, se f con il posto

a trovare al di sotto di x, quindi esso possiamo sopprimere un

conte intero positivo o negativo. Il trapezoide possono essere un

numero positivo o negativo a seconda che f sia maggiore o minore di zero.

Quindi, se f cambio segno in [a,b] tale numero si ancora AT

oltre come espressione la somma delle aree delle zone al di sopra

con segno + e le zone al di sotto col segno (-).

Tale numero è l'integrale indefinito di f su [a,b], o conto

area del trapezoide. Questo è un area effetiva o solo nel caso di f

positive.

Ora combino linearmente le due diseguag anze

∫[a,b]h - ∫[a,b]g = ∫[c,b]h-g infsupA + ε/2 supB+ ε/2 = ε C.D.D.

0 / supA + ε < infB, ouero, infB -oupA > ε. Se connde de

Se combino linearmente le due diseguazionaton

∫[a,b]h- ∫[a,b]g ≥ infB-supA >ε, aoi va contro una delle potest sequival. [a,b]b els

la tesi decode C.D.D.

Definizione

Sia f : [a, b] → ℝ una funzione integrabile. Si chiama media integrale di f su [a,b] il numero reale

_m(f; a, b) = ∫_a^b f(x)dx / (b - a) da cui m(f; b,a) = ∫_a^b f(x)dx / _b-_a

Tale numero esprime la costante di una f costante che abbia lo stesso integrale di una f su [a, b]. Se h : [a, b] → ℝ e costante su [a, b] ovvero h(x) ≡ C ∀ x ∈ [a, b], allora ∫_a^b h(x)dx = C(b - a) = ∫_a^b f(x)dx = = C = ∫_a^b f(x)dx / _b - _a

Teorema della media integrale

Data f : [a, b] → ℝ integrabile, allora:

1. inf_[a,b] f ≤ m(f; a, b) ≤ sup_[a,b] f

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia I ⊆ ℝ un intervallo e f: I -> ℝ una funzione continua in x₀ ∈ I. Allora la funzione integrale F di f su I associata a x₀ è derivabile e si ha F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I. In particolare F è una primitiva di f su I.

Dimostrazione

Prendo x₀ + x₁ ∈ I con F(x) = ∫_x₀^x f(t)dt.

Eseguo il rapporto incrementale F(x₁) = F(x) - 1 / x₁ - x₀ ∫_x0^x1 f(t)dt

Perché f è continua per il teorema delle medie integrale ∃ z compreso tra x₀ e x₁ non assolutamente in questo ordine;

• ∫ (f(z₁) - ∫[x,x₁],
• x₁ - x = m (f₁, x₀, xu)
• Considero x - xξx < x₁
• Per x ≤ x₁ impart con per x ≤ x, quindi f(z(x)) - D[(x₁], quindi
• lim F(x₁)-F(x₁) = f(z(x)) allora
• ∫ F derivabile lim +1 per limit Def x,

Osservazione.

La tes otteniamo affermare integral definite.

definito definito difference, values assimilare reduction integration oppure denominato punto continuous finely continuous ... definite integration definite.

3.4 Calcolo di integrali definiti.

Nel caso del calcolo integrale di funzioni più range... per estrazione

Teorema (formula di integrazione degli)

siano f, g:

Ora dimos tro che

Se

• x = a + t ⇒ _dx =
• x = 0 ⇒ _dx = 0
• x=a+T ⇒ _dx = T

dite =dx

Criteri di convergenza

Proposizione: Siano dati

\[ f,g: [a, +\infty[ \loc \text{calmente integrabili su } [a, +\infty[ \]

\[\lambda \in \mathbb{R}\]

(1) Se le due funzioni integrali \[ \int_{a}^{+\infty} f(x)dx \] e \[ \int_{a}^{+\infty} g(x)dx \] convergono, allora la loro funzione somma converge e si ha

\[\int_{a}^{+\infty} (f+g)(x)dx = \int_{a}^{+\infty} f(x)dx + \int_{a}^{+\infty} g(x)dx \]

(2) Se \[ \int_{a}^{+\infty} f(x)dx \] converge, allora anche l'integrale improprio di \[ \int_{a}^{+\infty} (\lambda f)(x) dx\] converge e si ha che

\[ \int_{a}^{+\infty} (\lambda f)(x) dx = \lambda \int_{a}^{+\infty} f(x) dx \]

Teorema del criterio di convergenza assoluta:

Ora dimostro che se _E^∞f(x)dx converge, allora anche _E^∞f⁺(x)dx deve convergere. Se per assurdo _E^∞f⁺(x)dx divergesse allora per una delle conseguenze del T.d.C si avrebbe che anche _E^∞f⁺(x)dx=-∞, ma ciò va contro l’ipotesi. Innàlzio ciò che dedusamo detto punto implica che ₀f⁺(x)dx=-∞

Ora dimostro che se _E^∞f⁺(x)dx diverge, allora anche _E^∞W(x)dx diverge. Se per assurdo _E^∞f⁺(x)dx convergesse obsurale converge per il raaggionamento precedente che anche _Ef⁺(x)dx, caso assurdo

Q.E.D.

1)

Si consideri I &neq; 0. Se ∫_a⁺ ρ(u) dx converge, allora anche i due

integrali impropri ∫_a⁺ (l-ε) ρ(u) dx e ∫_a⁺ (l+ε) ρ(u) dx

convergono e, per

il criterio del confronto, il T.d.C.Q. si ha che ∫_a⁺ f(x) dx converge

(l−ε)ρ(u) ≤ f(x) ≤ (l+ε)ρ(u)

Se I > 0 , allora ∫_a⁺ (l- (|I|/2 ))ρ(u) dx diverge positivamente, quando anche

f(x) diverge positivamente

Se I < 0 , allora ∫_a⁺ ( (l+ |I|/2 ))ρ(u) dx diverge

Teorema

Tra f:[a,+∞[

una funzione loc.int tale che

Le

    ∐ x ≥ b ≥ a/   

    f(x) ≤  

In particolar

                                  f([=)dx≤l       

    _{lim x→∞} l(c,x)

Lemma

Siano f:(a,b] → ℝ una funzione localmente integrale   su (a,b] e lim_{x → a⁺}F(x)   allora l'integrale improprio_a^b   e' propio, non puo essere indefinito

Teorema del criterio del confronto

Siano f, g:(a,b] → ℝ due funzioni integrali localmente in (a,b] allora

1. se l'integrale di g(x) converge converge ancne l'integrale di f(x) e lim_{x → a⁺}F(x) = 0