Riassunto esame Analisi Matematica I: Teoremi sull'Integrazione Definita, prof. Mazzi

3^a Integrali definiti

Definizione

Si dice trapezoide di f su [a,b], con f: [a,b] → ℝ una funzione, la regione del piano cartesiano Oxy delimitato dall'intervallo [a,b], dalle rette x=a e x=b e del grafico di f.

Si vuole T(f, a, b) ed il insieme è:

T(f; a, b) = { (x,y) ∈ ℝ² / a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f(t), o f(t) ≤ y ≤ 0 }

• Se f è una funzione affine, ovvero f(t) = αt + b, allora le figura è un trapezio.
• Se f > 0 l'area si trova di sopra delle x, se f < 0 il grafico si trova di sotto di x quindi esso osserva sopra.

3^a Integrali definiti

Definizione

Si dice trapezoide della f su [a, b], con f: [a, b] → ℝ

una funzione, la regione del piano cartesiano Oxy delimitata dell’intervallo [a, b], delle rette x = a e x = b e del grafico di f,

denotate T(f, a, b) ed in simboli è:

T(f, a, b) = {(x,y) ∈ ℝ² | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x), o f(x) ≤ y ≤ 0}

• se f è una funzione affine, ovvero f(t) = αx + b, allora la figura

è un trapezio

se f > 0 l’area si trova di sopra della x, se f < 0 il sopra

si trova di sotto di x quindi essa abbiamo semplicemente un

contributo positivo negativo. Il trapezoide possiamo associare un

è un trapezio

Se f > 0 l'area si trova al di sopra dell'asse x, se f con il postox trovate al di sotto di x, quindi essa dobbiamo separarmente unnumero positivo o negativo. Il trapezoide possiamo associare unnumero positivo o negativo a secondo che f sia maggiore o minore di zero.Quindi, se f cambia segno in [a,b] tale numero si ottiene, come espressione la somma algebraica la somme delle aree delle zone di sopra con segno +, e le zone al di sotto col segno (-).

Tale numero è l'integrale indefinito di f su [a,b], o ondaarea del trapezoide. Questo è un area effettiva solo nel caso che fpuntine.

Integrale di Riemann di una funzione a scala

Considerato un intervallo chiuso e limitato [a,b] e m+1 punti, non necessa- riamente equispaziati x₀, x₁, x_n-2, x_m ∈ [a,b] con a = x₀ < x₁ < ... < x_m = b,

Questi punti determinano una suddivisione oh l'intervallo [a,b] in m sottointervalli che impezzano ‹x_i-1, x_i› con i = 1 ... m.

Se uno o più di questi intervalli viene a sua volta suddiviso, mediante un numero finito di punti, onde ottenendo un intervallo o intervallo allora si ottiene ancora una suddivisione di I che viene detto raffinamento delle suddivisione iniziale.

Definizione di funzione a scala

Sii f : [a,b] → ℝ Diciamo che f è una funzione a scala se Ǝ O = x₀ < x₁ ...... x_n = b suddivisione di [a,b] /

Ǝ costante V (x_i-1, x_i) ∀ i = 1, ...., m

• Definizione di funzione a scalino.

Sia \( f: [0, b] \rightarrow \mathbb{R} \) Diciamo che \( f \) è una funzione a scalino se \(\exists \ \) \( 0 = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b \) suddivisione di \([0, b]\) / \( f \) è costante \(\forall\) \( (x_{i-1}, x_i) \forall \ i = 1, \ldots, n\).

• Osservazione: Il trapezoide di una funzione a scalino è l’unione di un numero finito di rettangoli aventi per base l’intervallo \((x_{i-1}, x_i) \forall \ i = 1, \ldots, n \) e per altezza il valore di \( f \) nel sottointervallo.

• Definizione: Sia \( f: [0, b] \rightarrow \mathbb{R} \). Diciamo che una suddivisione di \([0, b]\), con \( 0 = x_0 < x_1 < \ldots < x_m = b \) se \(\forall \ (x_{i-1}, x_i) \) con \( i = 1, \ldots, m \ f \) è costante.

Proposizione. Sia f: [a,b] → ℝ una funzione limitata.

Allora f è integrabile su [a,b] ↔ ∀ ε > 0 ∃ g ∈ H_f h ∈ H^f

\(\int_{[a,b]} (h-g) < ε\)

Dimostrazione.

=>

\(A = \left\{ \int_{[a,b]} f, \, g \in H_{f} \right\}\)

\(B = \left\{ \int_{[a,b]} h, \, h \in H^{f} \right\}\)

Se f è integrabile su [a,b], allora vuol dire che \(\bar{\int}_{[a,b]} f = \int_{[a,b]} f\), ovvero che \(\inf B = \sup A\).

Per definizione di estremo superiore ed estremo inferiore ∀ ε > 0 :

\(\int_{[a,b]} g > \sup A + \frac{\varepsilon}{2}\)

e \(\int_{[a,b]} h < \inf B + \frac{\varepsilon}{2}\) = \(\sup A + \frac{\varepsilon}{2}\) = \(\inf B = \sup A\) per ip.

Ora combino linearmente le due diseguazioni ...

\(\int_{[a,b]}h - \int_{[a,b]}g = \displaystyle\int_{c}^{b}h-g \text{inf} \sup A + \frac{\varepsilon}{2} \ge \sup h + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \ ... \)

\(\Leftrightarrow\) Vi è verso dimostriamo che se \(\int_{[a,b]}h - \int_{[a,b]}f