Analisi Matematica - teoremi

Sia si avrà che

lim ≠ 0

Se calcoliamo il ci accorgiamo che non è però rispettata la condizione necessaria per

→+∞ +∞

∑

la convergenza di una seria, e di conseguenza diverge.

=0

Corollario

+∞ ∗

∑ ∃ lim √ lim √ = , ∈ ℝ

Sia una serie a termini positivi, allora se e con si ha che

=0 →+∞ →+∞

 +∞

∑

< 1,

Se allora converge

=0

 +∞

∑

> 1,

Se allora diverge

=0

 = 1,

Se allora il corollario non è in grado di decretare il tipo di serie, e si demanda all’uso di un

altro metodo.

Serie a termini di segni alterni +∞

∑ (−1) ≥ 0 →

Una serie a termini di segni alterni è una serie del tipo , con definitivamente per

=0

+∞ ≤ 0 → +∞

oppure definitivamente per

Criterio di Leibniz

Enunciato

+∞

∑ (−1) lim = 0 ≤

Sia una serie a termini di segni alterni, allora se e se

+1

=0 →+∞

+∞

∑ (−1)

→ +∞

definitivamente per si ha che la serie converge semplicemente.

=0 | |

≤ ≤ − ≤

Inoltre sia la somma della serie, allora si ha che e che

2−1 2 +1

Dimostrazione

+∞

∑ (−1) ≥ 0 → +∞,

Data , sia definitivamente per allora

=0

=

0 0

= − ⇒ ≤

1 0 1 1 0

= − + ⇒ ≤ ≥

2 0 1 2 2 0 2 1

= − + − ⇒ ≤ ≥

3 0 1 2 3 3 2 3 1

= − + − + ⇒ ≤ ≥

4 0 1 2 3 4 4 2 4 3

= − + − + − ⇒ ≤ ≥

5 0 1 2 3 4 5 5 4 5 3

Sia ha quindi che le successione delle somme parziali di incide dispari formano una successione

2−1

crescente, mentre le successione delle somme parziali di incide pari formano una successione

2

≤ ≤ ≤ ≤ ⋯ ≤ ≤ ≤

decrescente. Inoltre , da cui si ha che

2−1 2 1 3 5 4 2 0

)

∃ = sup( lim = s

La successione è crescente e limitata, per cui tale che

2−1 2−1 2−1

→+∞

)

∃ = ( lim =

La successione è decrescente e limitata, per cui tale che

2 2 2

→+∞

2

(−1)

− = lim ( − ) = lim (∑ −

Proviamo ora a sottrarre i due limiti 2 2−1

=0

→+∞ →+∞

2−1

∑ (−1) ( )

) = lim − + − + ⋯ − + − ( − + − + ⋯ − ) =

0 1 2 3 2−1 2 0 1 2 3 2−1

=0 →+∞

lim = 0

2

→+∞ lim = = ,

Quindi si ha che e sono uguali da cui ma questo è un numero finito, quindi la serie

→+∞

.

converge e la sua somma è proprio

,

Poiché la successione è decrescente e è crescente ed entrambe tendono ad possiamo

2 2−1

≤ ≤

concludere che 2−1 2

Infine osserviamo che

 | | | | | |

− ≤ | − |, − = − ≤

ma e quindi

2−1 2 2−1 2 2−1 2 2−1 2

 | | | | | | | |

− | ≤ | − |, − = − | = − − ≤

ma e e quindi

2 2 2+1 2 2+1 2+1 2 2 2

2+1 | |

− ≤

Quindi si può affermare che +1

Formula di Moivre

Enunciato

||(cos() | | || )

= + sin()) ∈ ℂ, = arg( = ∗ arg() =

Sia allora si ha che e da cui

|| (cos( ∗ ) + sin( ∗ ))

Dimostrazione per induzione

1 1

||

= 1): = ∗ (cos(1 ∗ ) + (1 ∗ ))

Base ( −1 −1

||

− 1: = (cos(( − 1) ∗ ) +

Per ipotesi di induzione supponiamo vera la formula per

sin(( − 1) ∗ ))

−1 1

= ∗

Calcoliamo ora −1 1 −1 1

∗ = (|| (cos(( − 1) ∗ ) + sin(( − 1) ∗ ))) ∗ (|| ∗

Per ipotesi di induzione si ha che

||

(cos(1 ∗ ) + (1 ∗ ))) = (cos( ∗ ) + sin( ∗ ))

Corollario di Moivre

Enunciato | |

1 1 1 1

) )

, ∈ ℂ\{0} = arg ( ) = arg( − arg( + 2, =

| |

Siano allora si ha che e che e quindi

1 2 1 2

| |

2 2 2 2

| |

1 ) ))

(cos( − + sin( −

1 2 1 2

| |

2

Dimostrazione

1 = ∈ ℂ = ∗ , | | = | | ∗ ||

Sia allora ma per il precedente postulato abbiamo che e che

1 2 1 2

2 | |

1

) ) || ) )

arg( = arg( + arg(), = arg() = arg( − arg( + 2

da cui si ricava che e che

1 2 1 2

| |

2

Radici di numeri complessi

∈ ℂ, ∈ ℂ = ⇒ = √ ∈ ℕ, > 1

Dato cerchiamo tale che , con

= 0 ⇒ = 0 ⇒ = 0

Caso 1: ≠ 0 ⇒

Caso 2: ho soluzioni.

||(cos() ||(cos()

= + sin()) = arg() = + sin()) =

Sappiamo che con e che con

|| (cos() || (cos()

arg(), = + sin()) = , + sin()) =

allora e quindi da cui

||(cos() + sin())

|| √||

=

|| ||

= ⇒{

{

Ora impostiamo il sistema +2

= + 2 =

+2 +2

√||

= (cos ( )+ sin ( )) 0 ≤ < .

Si ha quindi che con

√|| √||

= (cos ( + 2) + sin ( + 2)) = (cos ( ) + sin ( )) =

Infatti 0

Osservazioni

-esime ∈ ℂ

Le radice si un numero complesso sono i vertici di un poligono regolare di lati inscritto

√||

nella circonferenza di raggio e centro nell’origine.

Illustrazioni

Teorema sulle successioni monotone

Enunciato

 ∃ lim lim = sup ( )

Sia una successione monotone crescente, allora e si ha che

n→+∞ n→+∞

 ∃ lim lim = inf ( ).

Sia una successione monotone decrescente, allora e si ha che

n→+∞ n→+∞

Da questi due punti si ricava che è convergente se e solo se è limitata.

Dimostrazione



Sia una successione monotone crescente

o )

sup( = ∈ ℝ

Supponiamo che

> 0, − ∃ ∈ ℕ > − .

Sia allora non è un maggiorante di , quindi tale che

∀ > − < ≤ ≤ < + ,

Dato che è crescente si ha che ma questa non è

lim = = sup ( ).

altro che la definizione del limite

→+∞

o )

sup( = +∞

Supponiamo che

∀ ∈ ℝ ∃ ∈ ℕ > .

Sia ha che tale che

∀ > ≥ > ,

Dato che è crescente si ha che ma questa non è altro che la

lim = +∞ = sup ( ).

definizione del limite

→+∞



Sia una successione monotone decrescente

o )

inf( = ∈ ℝ

Supponiamo che

> 0, + ∃ ∈ ℕ < + .

Sia allora non è un minorante di , quindi tale che

∀ < − < ≤ ≤ < + ,

Dato che è decrescente si ha che ma questa non

lim = = inf ( ).

è altro che la definizione del limite

→+∞

o )

inf( = −∞

Supponiamo che

∀ ∈ ℝ ∃ ∈ ℕ < .

Sia ha che tale che

∀ < ≤ < ,

Dato che è decrescente si ha che ma questa non è altro che la

).

lim = −∞ = (

definizione del limite

→+∞

Asintoti

Asintoti orizzontali

: → ℝ (, +∞) (−∞, ),

Sia tale che contenga un intervallo del tipo e/o del tipo e che quindi sia

lim () = , ∈ ℝ, =

illimitato a destra e/o a sinistra, allora se con si ha che la retta orizzontale è

→±∞

().

asintoto orizzontale di

Osservazione

 → +∞, → +∞.

Se esiste l’asintoto orizzontale per non può esistere asintoto obliquo per

 → −∞, → −∞.

Se esiste l’asintoto orizzontale per non può esistere asintot