Analisi Matematica - Temi d'Esame svolti

.

y 3

2

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0

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x

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y 15

12.5

10

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x

- 1

1

ALCUNI ESERCIZI DI 060037-ANALISI MATEMATICA A, AA 2005-2006

ALESSANDRO ALIPPI, MAURO GARAVELLO,MARCO SQUASSINA

S . Si raccolgono alcuni esercizi di Analisi Matematica A, in parte svolti a lezione

OMMARIO

e in parte lasciati agli studenti, relativi ad un corso annuale tenuto durante l’anno acca-

demico 2005-2006, Facoltà VI, Leonardo, Politecnico di Milano.

I NDICE

1. Relazioni 1

2. Numeri complessi 3

3. Insiemi 5

4. Sup e Inf 7

5. Successioni 10

6. Funzioni 15

7. Limiti 16

8. Derivate 20

9. l’Hopital 23

10. Integrali I 25

11. Integrali II 27

12. Serie numeriche 29

1. R ELAZIONI

Parte A: Esercizi di BASE:

Sia l’insieme degli studenti di un liceo che studiano almeno una lingua

(1.1) Esercizio E

straniera. Definiamo la seguente relazione: significa che gli studenti e studiano almeno

xRy x y

una stessa lingua straniera. Di quali proprietà gode tale relazione?

Verificare che le seguenti relazioni sono di equivalenza.

(1.2) Esercizio

Essere nato lo stesso anno.

(1) Abitare nella stessa regione.

(2) Parallelismo tra rette.

(3)

Date: 10 settembre 2006. 1

2 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

\ {0}.

Si consideri l’insieme Definiamo la relazione: significa

(1.3) Esercizio xRy xy > 0.

Z

Verificare che è una relazione di equivalenza. ≥

Cosa cambia se si considera l’insieme e la relazione: significa

xRy xy 0?

Z

Si consideri l’insieme dei numeri interi e si definisca la seguente relazione:

(1.4) Esercizio Z

− R

significa è un multiplo di Verificare che è una relazione di equivalenza. Quante

xRy x y 6.

e quali sono le classi di equivalenza? \ {0},

Si consideri l’insieme dei numeri naturali privato dello cioè e si

(1.5) Esercizio 0, N

R

definisca la seguente relazione: significa è divisibile per Verificare che è una relazione

xRy x y.

d’ordine.

Parte B: Esercizi AVANZATI: 2

Consideriamo il sottoinsieme di cosı̀ definito:

(1.6) Esercizio E R

2

∈ ≥ ≤ ≤

E = (x, y) : x 0, 0 y x .

R

2 − − ∈

Su consideriamo la seguente relazione: significa Provare che

(a, b)R(c, d) (a c, b d) E.

R

R è una relazione d’ordine.

Parte C: Alcune SOLUZIONI:

(1.7) Soluzione esercizio (1.6). − − ∈

è vera, dato che

Proprietà riflessiva. (a, b)R(a, b) (a a, b b) = (0, 0) E.

Supponiamo che valgano e Questo

Proprietà antisimmetrica. (a, b)R(c, d) (c, d)R(a, b).

− − ∈ − − ∈

significa che e Per prima cosa si deduce che e quindi

(a c, b d) E (c a, d b) E. a = c

− ∈ − ∈

che e da cui segue che

(0, b d) E (0, d b) E, b = d.

Supponiamo che valgano e Vogliamo provare

Proprietà transitiva. (a, b)R(c, d) (c, d)R(e, f ).

che Si ha:

(a, b)R(e, f ). − − − ≥

a e = (a c) + (c e) 0

per le ipotesi. Inoltre − − − ≥

b f = (b d) + (d f ) 0

e − − − ≤ − − −

b f = (b d) + (d f ) (a c) + (c e) = a e.

− − ∈

Quindi e pertanto vale anche la proprietà transitiva.

(a e, b f ) E ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 3

2. N UMERI COMPLESSI

Parte A: Numeri complessi in forma algebrica:

Risolvere i seguenti prodotti di numeri complessi:

(2.8) Esercizio

• −

i(1 i)

• −

(1 + i)(1 i)

2

• −

(1 + i) (1 i)

• −

(2 3i)(2 + i)

Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi

(2.9) Esercizio

1

• 1−i

1−i

• 2

(1+i)

1+4i

• 2−3i

2−3i

• 2+i Sia un numero complesso avente parte immaginaria positiva. Dimostrare

z

(2.10) Esercizio

che: −

z 1

w = z +1

ha parte immaginaria positiva.

Considerare il seguente numero complesso:

(2.11) Esercizio −

z 1 + 4i

w = − −

z 3 i

• Determinare il luogo dei punti appartenenti al piano di Gauss per cui è reale.

z w

• Determinare il luogo dei punti appartenenti al piano di Gauss per cui è immaginario.

z w

• Rappresentare graficamente le due soluzioni.

Parte B: Numeri complessi in forma esponenziale e trigonometrica:

Trasformare in forma trigonometrica ed esponenziale i seguenti numeri com-

(2.12) Esercizio

plessi: √ √

• − 2 + 2i

• −

2 2i

√

• −1 + 3i

√ √

• 6 + 2i

4 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Determinare la forma algebrica dei seguenti numeri complessi (pu ò essere

(2.13) Esercizio

utille passare prima alla forma esponenziale e poi ricovertire il risultato in forma algebrica):

√

1 + 3i 12

6 4

−

(a) (1 i) (b) (1 + i) (c) −

1 i

√ 5

Dimostrare che se allora è il coniugato di

(2.14) Esercizio z = 1/2 + 3i/2 z z.

Ricordando la definizione di radici n-esime di un numero complesso deter-

(2.15) Esercizio

minare:

• le radici seste dell’unità;

• −4;

le radici quarte di z =

• le radici quarte di z = i;

1−i

• le radici quinte di .

z = 1+i

Parte C: Equazioni nel campo dei numeri complessi:

Risolvere le seguenti equazioni:

(2.16) Esercizio

• 2iz + 1 = 0

• −

(2 + 3i)z 3 + 2i = 0

3

• − −2i

(z 1) =

2

• −

5z 4z + 1 = 0

4 2

• − −

z + (1 2i)z 2i

Risolvere la seguente equazione frazionaria:

(2.17) Esercizio 3

z + 1 1

=

3 −

z 1 i

Risolvere le seguenti equazioni o disequazioni e rappresentare graficamente la

(2.18) Esercizio

soluzione:

• |z − |z

1| = + 1|

• −

z cogn(z) = i 2

• ≤ |z|

z + cogn(z) ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 5

3. I NSIEMI

Parte A: Esercizi di BASE:

Semplificare le scritture usando le proprietà degli insiemi.

(3.19) Esercizio

∪ ∩ ∩

(1) [A (A B)] B;

∪ {[B ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

(2) A (A B)] [A (A B)]};

c

∩ ∩ ∪

(3) A B (B C );

{[(A ∩ ∩ ∩ ∅} ∩

(4) A) E] A;

c c c

∩ ∪ ∩ ∪ ∩

(5) (A B) (A B ) (A B ).

{1, {a}, {p,

Dati gli insiemi verificare che:

(3.20) Esercizio A = 2}, B = C = q, r},

× ∩ × ∩ ×

(1) A (B C) = (A B) (A C);

× ∪ × ∪ ×

(2) A (B C) = (A B) (A C);

× 6 ×

(3) A B = B A.

Parte B: Esercizi AVANZATI: ∈

Sia, per ogni

(3.21) Esercizio n N, 2

∈ ≤

A = x : x n .

R

n

Mostrare che [ A = R.

n

n≥1

∈

Sia, per ogni

(3.22) Esercizio n N,

1

∈ ≤ ≤ −

A = x : 0 x 1 .

R

n n

Calcolare 6

\ A .

n

n=3

∈

Sia, per ogni

(3.23) Esercizio n N,

1

1

2 2 2 ≤ ≤

∈ ≤ − y .

A = (x, y) : x + y 2,

R

n n n

Calcolare \ A .

n

n≥1

6 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

∈ ∈

Sia e sia, per ogni

(3.24) Esercizio α n

R, N, 1

n o

α ∈ |x − ≤

B = x : α| .

R

n n

Mostrare che \ [ [ \

α α α α

{α},

B = B = B , B = R.

n n 1 n

n≥1 n≥1 n≥1

α∈R

Parte C: Alcune SOLUZIONI:

(3.25) Soluzione esercizio (3.21).

Dimostriamo che

Primo passo. [ ⊆

A R.

n

n≥1

S

∈ ∈ ≥ ∈

Sia . Allora per qualche da cui si deduce che

x A x A n̄ 1, x R.

n n̄

n≥1 Dimostriamo che

Secondo passo. [

⊆ A .

R n

n≥1

∈ ≥

Sia La proprietà di Archimede assicura che esiste un numero naturale tale che

x n̄ 1

R. 2 2

∈ ≤

Dato che si ha ; quindi . Pertanto

x < n̄. n̄ n̄ n̄ x < n̄

N, [

∈ ⊆

x A A .

n̄ n

n≥1 2 2 2

≤

La disequazione rappresenta un cerchio in

(3.26) Soluzione esercizio (3.23). x + y 2 R

√

centrato nell’origine e con raggio L’insieme è formato dai punti del cerchio con

(0, 0) 2. A n

−1/n

ordinata compresa tra e Consideriamo l’insieme

y 1/n. √ √

n o

2

∈ − ≤ ≤

B = (x, y) : 2 x 2, y = 0 .

R

⊆ ∈ ≥

Si vede facilmente che per ogni quindi

B A n n 1;

N,

n \

⊆

B A .

n

n≥1

T

∈

Sia ora . Se fosse allora la proprietà di Archimede ci assicura che esiste

(x, y) A y > 0,

n

n≥1

≥ tale che

n̄ 1 1 < n̄.

y

Quindi 1

y> n̄

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 7

T

6∈ 6∈

e pertanto e . Si ragiona allo stesso modo se fosse Pertanto

(x, y) A (x, y) A y < 0.

n̄ n √ √

n≥1 2 2

− ≤ ≤ ≤

l’unica possibilità è che Di conseguenza dato che Quindi

y = 0. 2 x 2, x + y 2.

∈

(x, y) B. 4. S I

UP E NF

Parte A: Esercizi di BASE:

Determinare estremo inferiore e superiore dei seguenti insiemi.

(4.27) Esercizio 1

∈ .

(1) E = x : x = ,n N

n+1

n o

2

n +1 ∈ .

(2) E = x : x = ,n N

n+1

n−1

∈ .

(3) E = x : x = ,n N

n+1 1

n ∈ ≥ .

(4) , n n 1

E = x : x = 2 + (−1) + N,

n

n o

xy ∈]0, .

(5) E = : x, y 1[

x+y

Trovare l’estremo inferiore e superiore di

(4.28) Esercizio

2x ∈

: x [−1, 1] .

2

1 + x

Siano e due sottoinsiemi non vuoti di Provare che

(4.29) Esercizio A B R.

∪ {sup

sup(A B) = max A, sup B}

e ∪ {inf

inf(A B) = min A, inf B} .

Trovare l’estremo inferiore e superiore di

(4.30) Esercizio

1 =0 .

x > 0 : cos x

Calcolare gli estremi inferiore e superiore dei seguenti insiemi:

(4.31) Esercizio n−1

{x ∈ ≥

(1) A = : x = : n n 1}

N,

n

1

{x ∈ ≥

(2) B = : x = : n n 1}

N,

2

n

n−2

{x ∈ ≥

(3) C = : x = : n n 1}

N,

2

n

2n+3

{x ∈

(4) D = : x = : n N}

5

Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’insieme

(4.32) Esercizio A:

2 n

−

3n (−1) n ∈ ≥

A = a = , n n 1

N,

n 2

2n

e dimostrare che coincidono con il massimo e il minimo dell’insieme stesso.

8 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’insieme cosı̀ defini-

(4.33) Esercizio A

to: 2/n con n pari

{a |n ∈ ≥

A = n 1} con a =

N,

n n 1/(n + 1) con n dispari

Parte B: Esercizi AVANZATI:

Si consideri l’insieme

(4.34) Esercizio x x+1

−

E = 9 + 3 4 > 0 .

Determinare l’estremo inferiore e superiore. Dire se sono anche minimi e massimi.

⊆

Sia con Dire se le seguenti affermazioni sono vere, false o

(4.35) Esercizio A inf A = 5.

R

non sono deducibili dalle ipotesi.

∈

(1) 5 A.

6∈

(2) 5 A.

∈

(3) 6 A.

∀x ∈

(4) A, x > 5.

∀x ∈ ≥

(5) A, x 5.

∀x ∈ ≤

(6) A, x 5.

∃x ∈

(7) A : x > 4.

∃x ∈

(8) A : x > 5.

∃x ∈ ≥

(9) A : x 5.

esiste.

(10) max A esiste.

(11) min A {x ∈ −2 ≤

Sia Calcolare l’estremo superiore e l’estremo

(4.36) Esercizio I = : x < 3}.

R

inferiore dei seguenti insiemi:

{a ∈ − ∈

(1) A = : a = 2x y x, y I}

R

{b ∈ |x|y ∈

(2) B = : b = x, y I}

R 2

x

{c ∈ ∈ 6

(3) C = : c = 1 + x, y I y = 0}

R |y| 2

{x ∈

Mostrare che non ammette estremo inferiore e

(4.37) Esercizio A = : x < 2}

Q

superiore nell’ambito dei numeri razionali. Procedere per passi; come prima cosa mostrare che se

2

è l’estremo superiore esso è tale che non può essere nè maggiore nè minore di 2. Il passo

M M 2

successivo consiste nel mostrare che se allora è irrazionale.

M = 2 M

Sia dato l’insieme

(4.38) Esercizio A: n

7 3(−1) 4

− ∈ \ {0}

A = a = + , n N

n 2

5 5n 5n

determinare l’estremo superiore e inferiore.

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 9

Parte C: Alcune SOLUZIONI:

(4.39) Soluzione esercizio (4.27).

(1) inf E = 0, sup E = max E = 1.

(2) inf E = min E = 1, sup E = +∞.

−1,

(3) inf E = min E = sup E = 1. 7 .

(4) inf E = min E = 1, sup E = max E = 2

12 .

(5) inf E = 0, sup E = L’insieme può essere rappresentato nel seguente modo:

(4.40) Soluzione esercizio (4.31). A

1 1 2 3

− ∈ ≥

A = 1 : n n 1 quindi A = 0; ; ; ; ...

N,

n 2 3 4

Dato che: 1 1 ∀n ∈ \ {0}

> N

n n +1

è minimo quando è massimo quindi per Dunque

a 1/n n = 1. inf(A) = a = 0.

n 1

Per determinare il inizio ad osservare che:

sup(A) 1

− ∀n ∈ \ {0}.

a = 1 < 1 N

n n

Quindi 1 è un maggiorante, per mostrare che devo mostrare che è il minimo dei

sup(A) = 1

maggioranti. Dalla definizione devo quindi verificare che:

∀ ∃n̄ −

> 0 : 1 < a < 1 .

n̄

Determino i valori per cui: −

n 1

− ;

1 < n

1

svolgendo i conti ottengo . Quindi scegliendo un intero positivo maggiore di ho

n > n̄ 1/

dimostrato che sup(A) = 1. ∪

Scriviamo come unione di due insiemi

(4.41) Soluzione esercizio (4.38). A A = A A

1 2

con: {a |n − ∈ \ {0}} {a |n ∈ \ {0}}.

A = = 2k 1; k A = = 2k; k

N N

1 n 2 n 4

3 decresce al crescere di

Osservo che ammette come minimo zero, dato che la quantità +

A 1 2

5n 5n

Inoltre dato che il generico elemento di è

n. A 1

7 3 4 7

− − ∀k ∈ \ {0}

a = < , N

2k−1 2

− −

5 5(2k 1) 5(2k 1) 5

ammette come maggiorante che risulta coincidere con il minore dei maggioranti quindi

A 7/5

1 (la dimostrazione di questo fatto è simile all’esercizio precedente). Per quanto

sup(A ) = 7/5

1

riguarda osservo che i primi due elementi sono e e inoltre:

A a = 3/2 a = 3/2

2 2 4

7 3 4 7 3 7 3 3

− ∀k

a = + < + < + = > 2

2k 2

5 5(2k) 5(2k) 5 10k 5 30 2

10 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

quindi il mentre l’estremo inferiore è sicuramente maggiore di zero. Conclu-

sup(A ) = 3/2

2

diamo l’esercizio constatando che mentre il

inf(A) = inf(A ) = 0 sup(A) = sup(A ) =

1 2

3/2. 5. S UCCESSIONI

Parte A: Esercizi di BASE:

Verificare mediante la definizione di limite i seguenti limiti di successioni:

(5.42) Esercizio

2n+1

(1) = 2;

lim n+1

n→+∞ 1 (con

(2) lim = 0 α > 0);

α

n

n→+∞ α (con

(3) lim n = 0 α > 0);

n→+∞ 2

sin n

(4) lim = 0;

n

n→+∞ 2 32

3n +5 ;

(5) =

lim 2

2n +3

n→+∞ 5n−2

(6) lim = 0.

2

n +5n−2

n→+∞ Siano dati due polinomi Determinare, mediante opportuni

(5.43) Esercizio P (n), Q(n).

passaggi algebrici, il seguente limite: P (n)

lim .

Q(n)

n→+∞

Utilizzare i risultati precedenti e le proprietà riguardanti le operazioni con i

(5.44) Esercizio

limiti per calcolare i seguenti limiti:

√ 2 n

n +n 2

2 − n + 1), lim log , lim ,

lim ln(n 1/3 n+1

2

2n +1

n→+∞ n→+∞

n→+∞ 3 2

2 −n

2n 2

√ n 3

12 2 3 ln n−ln n

2 , lim , lim

lim ,

−

3n n 2 2 2

−1 ln n+ln n

n

n→+∞ n→+∞

n→+∞ 3 2 √

q

q

−1 −2 1 1

n +2n n n n

− −

lim , lim n 1 + 1 , lim 2 + 3 ,

−2 −4

3n +n n n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

3

n +5n−1 nπ+3 1

, lim sin , lim sin sin .

lim e 3 2 −27

3n +5n 2n+2 n

n→+∞ n→+∞

n→+∞ ∼

Utilizzando il simbolo di uguaglianza asintotica determinare i risultati dei

(5.45) Esercizio

seguenti limiti:

2 1

1

− 1

+ n

√ n

−

3n log n + (−1) + log(1 + e )

log n n

n n

lim , lim , lim .

1 1 3

n 2

− − −

2 n + 10 sin n n log n + 1

n→+∞ n→+∞ n→+∞

n log n

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 11

Parte B: Esercizi AVANZATI:

∀α, ∀A

Dimostrare parametri reali, che il limite delle seguenti

(5.46) Esercizio β > 0, > 1

successioni vale zero:

α

n ;

(1) a =

n n

A

n

A ;

(2) b =

n n!

n! ;

(3) c =

n n

n β

log n

(4) d = .

n α

n Utilizzare i limiti notevoli per risolvere i seguenti limiti:

(5.47) Esercizio n

1

− ;

(1) lim 1 2n

n→+∞ √ n

1

− ;

(2) lim 1 n

n→+∞ 2

n

1

− ;

(3) lim 1 n

n→+∞ n

n+1 ;

(4) lim n+3

n→+∞ n 2

3 1

2 .

(5) lim 1 + n sin

n n

n→+∞ Discutere per ogni la convergenza delle seguenti successioni:

(5.48) Esercizio α > 0,

2

n

1

e +

−1

α −1 α

n

a = , b = (n + 1) + e n .

log n

n n

2

n

e ∈ ≥

(Successione di Fibonacci). Sia Per ogni si

(5.49) Esercizio a = a = 1. n n 1,

N,

1 2

definisce induttivamente a = a + a .

n+2 n+1 n

Trovare i primi elementi della successione cosı̀ definita. Provare che

lim a = +∞.

n

n→+∞

∈ ≥

Per ogni si ponga

n n 1,

N, a n+1

b = ,

n a n

e si calcoli lim b .

n

n→+∞

∈

Sia e si consideri la successione definita da

(5.50) Esercizio x (0, π)

0 x = x + sin x .

k+1 k k

Provare che:

∈ ∈

per ogni

(1) x (0, π) k N;

k è crescente.

(2) (x )

k k

12 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

→

Infine calcolare il limite di per

(x ) k +∞.

k

Data la successione definita da

(5.51) Esercizio (x )

k

1 2

x = a, x = max ,x

0 k+1 k

4

∈ →

dire se esiste, al variare di il limite di per

a (x ) k +∞.

R, k

Si consideri l’equazione

(5.52) Esercizio x

k

x = cos .

k

Provare che esiste un’unica soluzione .

(1) x k

Provare che rimane limitata.

(2) (x )

k →

Calcolare il limite di per

(3) (x ) k +∞.

k

Si consideri la successione definita da

(5.53) Esercizio x k ,

x = λ, x =

1 k+1 1 + x k

≥ →

con Calcolare il limite di per

λ 0. (x ) k +∞.

k

Sia Si studi la successione definita da

(5.54) Esercizio λ > 0. 2

x = 0, x = λ, x = x + x .

0 1 k+1 k k−1

Sia Si studi la successione definita da

(5.55) Esercizio λ > 0. x = λ, x = log(1 + x ).

1 k+1 k

Parte C: Alcune SOLUZIONI:

(5.56) Soluzione esercizio (5.42). 2n+1

∀ε ∃n ∈ ∀n −

Limite 1: Devo mostrare che tale che

> 0, > n =⇒ 2 < ε.

N

0 0 n+1

Fissiamo e determiniamo quale condizione deve soddisfare in modo tale che sia

ε > 0, n

soddsfatta la disuguaglianza: 2n + 1 − 2 < ε.

n +1

Svolgiamo i conti: − − 1

2n + 1 2n 2 quindi

<ε < ε.

n +1 n +1

1

−

Quindi basta scegliere .

n = 1

0 ε

Limite 4: ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 13

∀ε ∃n ∈ ∀n ≥

Devo mostrare che tale che vale

> 0, n

N

0 0

2

sin (n) < ε.

n

Fissiamo Si ha:

ε > 0. 2

sin (n) 1

≤ .

n n

1

≥

Basta pertanto prendere .

n 0 ε Supponiamo in un primo momento che sia un numero

(5.57) Soluzione esercizio (5.46). α

intero e supponiamo: √

2α A = 1 + h.

Tenendo conto della disuguaglianza di Bernoulli possiamo affermare che:

√

2α n n ≥

( A) = (1 + h) 1 + nh > nh.

n 2α

Quindi dato che ottengo:

A > (nh) α

α n

n −→ →

< 0 se n +∞.

n 2α 2α

A n h

∈

Infine se basta osservare che:

α R, [α] α [α]+1

≤ ≤

n n n ,

quindi per il teorema dei due carabinieri si ha la tesi. ≥

I termini della successione per sono dati dalla

(5.58) Soluzione esercizio (5.49). a n 3

n

somma dei due precedenti. Quindi i primi termini sono: · · ·

a = a = 1, a = 2, a = 3, a = 5, a = 8,

1 2 3 4 5 6

≥

Inoltre, se si ha dalla definizione

n 2, ≥

a = a + a a ,

n+1 n n−1 n

dato che ciascun termine è positivo. Quindi la successione è monotona crescente e pertanto esiste

→ ≥ ∈

il limite per Si può facilmente dimostrare per induzione che per ogni

n +∞. a n n N

n

≥

con il che permette di concludere che

n 5, lim a = +∞.

n

n→+∞

Il limite precedente si può dimostrare anche nel modo seguente. Supponiamo per assurdo che

lim a = a

n

n→+∞

∈ ≥

con e Passando al limite in

a a 0.

R a = a + a ,

n+1 n n−1

si ottiene che cioè che da cui si deduce che il che ovviamente è falso,

a = a + a, a = 2a, a = 0,

dato che la successione è strettamente crescente e tutti i termini sono positivi.

14 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Consideriamo ora a n+1

b = .

n a n

≥ ∈

Si noti che per ogni dato che il numeratore è più grande del denominatore. Inoltre,

b 1 n N,

n

∈ ≥

per ogni si ha:

n n 2,

N, a a + a a 1

n+1 n n−1 n−1

b = = =1+ =1+ ,

n a a a b

n n n n−1

≤

che implica che Supponiamo per un momento che

b 2.

n lim b n

n→+∞

∈

esista e sia uguale a Allora e passando al limite nell’uguaglianza

b. b [1, 2] 1 ,

b = 1 +

n b n−1

si deduce che soddisfa

b 2 − −

b b 1 = 0.

Pertanto l’unica possibilità è che √

1+ 5

b = .

2

Resta pertanto da dimostrare che lim b n

n→+∞

≥

esiste. Si ha la seguente uguaglianza per ogni n 3:

1 1 b n .

b = 1 + =1+ = 1+

n+2 1

b b + 1

1 +

n+1 n

b

n

≥

Studiamo quando accade che , cioè quando

b b

n+2 n b n ≥

1+ b .

n

b + 1

n

Si vede facilmente che questo è vero se √

1+ 5

≤ .

b n 2

I primi termini della successione sono dati da

b n 3 5 8 · · ·

b = 1, b = 2, b = , b = , b = ,

1 2 3 4 5

2 3 5 √

1+ 5

Si noti che i primi termini della successione con dispari sono più piccoli di . Inoltre

b n

n 2

√ √

5 5

1+ 1+

∈ \ {0},

si dimostra che, per ogni se allora e viceversa. Pertan-

n b < b >

N n n+1

2 2 √

1+ 5

to la successione dei con dispari è monotona crescente e quindi tende a . Invece la

b n

n 2

√

1+ 5

successione dei con pari è monotona decrescente e quindi tende a .

b n

n 2

Consideriamo vari casi.

(5.59) Soluzione esercizio (5.51).

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 15

12 12 14

− ≤ ≤ ∈ ≥

. In questo caso si vede facilmente che per ogni

(1) a x = n n 1.

N,

n

12 1 1

−1 − . Da un certo indice in poi, tutti gli sono uguali a .

(2) < a < 1, < a < k̄ x k

2 4

−1. ∈ ≥

Risulta che per ogni

(3) a = 1, a = x = 1 n n 1.

N,

n

−1. Provare che

(4) a > 1, a < n

2

x = a

n

∈ \ {0}.

per ogni Quindi si conclude che il limite della successione è uguale a

n +∞.

N 6. F UNZIONI

Parte A: Esercizi di BASE:

Tracciare il grafico delle seguenti funzioni

(6.60) Esercizio √

2 −

(1) f (x) = 2 arctan 1 + x x + arctan x;

3 ;

(2) f (x) = xe ln x −x

x

− − ;

(3) f (x) = (x 1)e (x + 1)e

x se

e , x < 0,

(4) f (x) = 2

−x ≥

se

+ 1, x 0;

√

2

2x ;

(5) f (x) = arcsin √ 4 2

−2x

2 x +2

1

x−2 ;

(6) f (x) = arctan 2

x+2

3x 52

−|x+2| − −

e ;

(7) f (x) = 4

x+2

2 −1

x .

(8) f (x) = ln|x|

Parte B: Esercizi AVANZATI:

Data la funzione

(6.61) Esercizio

p

x − |x|

f (x) = arctan ln e ,

determinare il campo di esistenza di ;

(1) f

studiare il grafico delle funzioni

(2) p

x |x|

−

g(x) = e

e

p

x − |x|

h(x) = ln e ;

trovare i punti di massimo e minimo locale;

(3) disegnare il grafico di ;

(4) f +

→

qual è l’ordine di infinitesimo di per ?

(5) f x 0

16 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Si consideri la funzione

(6.62) Esercizio 2 −

2x 2x + 1

f (x) = .

2

(x + 1)

Tracciare il grafico di .

(1) f

Scrivere le equazioni delle rette tangenti al grafico di nei punti di ascissa e

(2) f A x = 0 B

di ascissa x = 4.

Determinare le coordinate del punto di intersezione delle due tangenti e calcolare l’area

(3) C

del triangolo trovato.

Indicati con e le ascisse dei punti di intersezione del grafico di con la retta

(4) x x f y = h,

1 2

calcolare 1 1

x + x , x x , + .

1 2 1 2 x + 1 x + 1

1 2

Una generica retta uscente dal punto interseca il grafico di in due punti e .

(5) r A f P P

1 2

Trovare l’equazione del luogo geometrico descritto dal punto medio del segmento

P P P

1 2

al variare di e disegnare tale curva.

r 7. L IMITI

Parte A: Esercizi di BASE:

Utilizzare la definizione per dimostrare i risultati dei seguenti limiti:

(7.63) Esercizio

(1) lim x = a;

x→a

(2) lim k = k;

x→a 2

(3) lim x = 4;

x→2 1

(4) = 0;

lim x

x→+∞ 2

(5) lim = +∞.

2

(x−1)

x→1 Calcolare i seguenti limiti:

(7.64) Esercizio

2 2 −9

x−1 x 2

x +3x−4 ·

lim [5]; lim [2]; lim [3/5];

√ 2 2 −4x+3

x−1 x +1 x

x−1

x→1 x→1 x→3

3 2 3 2

−3x −3x

x x +4x x +4x

lim [1]; lim [−4]; lim [0];

5 5

−x −x

[x] x x

x→+∞ x→0 x→+∞

√ 2 x

sin(x) x +sin(e )

x+3 x

lim [0]; lim [−3/5]; lim [−∞];

√ √ 2x

2x−5 x

x+ 3x

x→+∞ x→0 x→−∞

√ √ x

1−cos(x) (1+e )

−

x + 1 x) [0]; lim [1/2]; lim

lim ( [no].

2

(sin(x)) sin(x)

x→0 x→0

x→+∞ ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 17

Utilizzare i limiti notevoli per risolvere i seguenti limiti:

(7.65) Esercizio 2 −1

x

2 sin(x−1) 1−cos(x+1) 3(x−1)

−1

e

· ·

lim [3/2];

[2]; lim 2

2 −1

x x−1 x+1 −1

x −1

e

x→1 x→−1 x x −2

−3

x x log(3/2)

x(2 )

−2

7 [ ];

lim [log(7/2)]; lim

√ 2 1−cos(3x) 9

sin(sin(sin x))

x→0 x→0 p

sin x−1 |

lim [0]; lim log(cos x)| [0];

x−π/2 x→0

x→π/2 log(1+2x)

log(ex+e)−cos x [1]; lim [2];

lim sin x sin x

x→0

x→0 √ 2

sin( (1+x )−1)

sin(x)−sin(a)

lim [cos(a)]; lim [0].

x−a x

x→a x→0 +

→

Determinare l’ordine di infinitesimo per , rispetto all’infinitesimo

(7.66) Esercizio x 1

−

campione delle seguenti funzioni:

(x 1), −

(1) f (x) = log(2 x);

3 −

(2) g(x) = log(x)(x 3x + 2). √ √ p

3 2 −

Sia data la funzione Deter-

(7.67) Esercizio g(x) = λ x + 2x + (1 λ) tan( x) sin(x).

∈

minare per quali valori di si ha

λ R g(x)

lim = 0.

x

+

x→0

Parte B: Esercizi AVANZATI:

18 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Calcolare, se esistono i seguenti limiti o i limiti destro e sinistro:

(7.68) Esercizio |5−2x|−|x−2|

x

lim [−1/2]; lim [−1/4];

|x−1|−|x+1| |x−5|−|3x−7|

x→0 x→3 √

1/3 −4 3+x−2

x [3];

[16]; lim

lim √

3

1/2 −8

x 7+x−2

x→1

x→64

x sin(x) −1/x

lim [0]; lim 2 [no];

|x|

x→0 x→0 √ √

3 4

2 −

1+x 1−2x

· −

lim [x] (x [x]) [no]; lim [1/2];

2

x+x

x→4 x→0 x

sin(x−1) −1

x

[no]; lim [−1/2];

lim |x−1| 1−x−log(x)

x→1

x→1 √

√

p x

2 4 − |x|

lim x x + 1 + x 2 [0]; lim [no];

sin(1/x)

x→+∞ +

x→0 a )

(

log 1+

1/x −

|x| x [a/a b];

lim [no]; lim a/x b/x

−e

e

x→0 x→+∞

1 1

lim [+∞];

(sin x) [+∞]; lim (tan x)

cos(x)−1 π−x

+ +

x→0 x→π x

p 1 2

3 2

− −

3

lim (x x ) x [−1/3]; lim 1 + 2 sin [e ];

x

x→+∞ x→+∞

1−cos(1−cos x) sin x−log(cos x)

lim [1/8]; lim [1];

4

x x sin x

x→0 x→0

√

√ x

2

1+x sin x− cos 2x x +3

[6]; lim [1].

lim 2 2

tan (x/2) x +2

x→+∞

x→0 Dimostrare che il seguente limite:

(7.69) Esercizio x 2

lim cos(x )

x + 1

x→+∞

{a },{b } →

non esiste, determinando due successioni tali che

+∞

n n

6

lim f (a ) = lim f (b ).

n n

n→+∞ n→+∞

Determinare una funzione reale con le seguenti caratteristiche:

(7.70) Esercizio f (x)

\ {−1};

dominio

(1) R −1

la retta come suo unico asintoto verticale;

(2) x =

la retta come suo unico asintoto orizzontale;

(3) y = 0

interseca l’asse delle ordinate in

(4) (0; 1).

Mostrare che con le usuali tecniche non è possibile determinare il seguente

(7.71) Esercizio

limite: −

sin x x

lim 2

log(1 + x )

x→0

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 19

Discutere al variare di il risultato del seguente limite:

(7.72) Esercizio a 3 a

− −

x x log x

√

lim .

2a

x + x

x→+∞

Scrivere una funzione reale che abbia le seguenti caratteristiche:

(7.73) Esercizio f (x)

\ {1};

Ha come dominio

(1) R −1);

interseca l’asse delle ordinate in

(2) (0;

→ ∞;

è un infinitesimo per

(3) x

non interseca l’asse delle

(4) x;

→

è un infinito per

(5) x 1;

è negativa per positiva per

(6) x < 1, x > 1.

Dire se esistono soluzioni delle seguenti equazioni:

(7.74) Esercizio

(1) ln x + x = 0;

x

(2) e = x + 3;

2

(3) tan x = x + 1;

6 − nell’intervallo

(4) x + x 3 = 0 [0, 2].

Studiare la continuità delle seguenti funzioni:

(7.75) Esercizio

2 ≤

se

x , x 3,

(1) f (x) = se

2x, x > 3;

1 ;

(2) f (x) = 1

1−x

1+e

| cos(x)| .

(3) f (x) = cos(x)

Qual è l’unica risposta esatta?

(7.76) Esercizio

→

Sia funzione continua tale che e Allora:

f : f (0) = 0 lim f (x) = +∞.

R R x→+∞

−3;

assume il valore

(1) f −2

assume tutti i valori compresi tra e

(2) f 2;

assume il valore

(3) f 1; −∞

assume tutti i valori compresi tra e

(4) f 0.

Calcolare

(7.77) Esercizio n

lim sup sin(n) cos(n), lim inf 2(−1) sin(n),

n→+∞

n→+∞ + →

Si consideri la funzione

(7.78) Esercizio f : R R

√ x.

f (x) = ∞)?

Su è uniformemente continua? è Lipschitziana? è derivabile? e su e su

[0, 1]f (0, 1)? [1,

20 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Si determini il numero delle soluzioni dell’equazione

(7.79) Esercizio 2 2 2

−

x (1 x ) = α,

∈

al variare di a seconda del valore di

α [2, 4, 6, 3, 0] α.

R.

Parte C: Alcune SOLUZIONI: Applicare il teorema di esistenza degli zeri negli intervalli:

(7.80) Soluzione esercizio (7.74).

13

(1) , 2];

[

(2) [0, 3];

49π

(3) [0, ];

100

(4) [0, 2]. 8. D ERIVATE

Parte A: Esercizi di BASE:

Determinare le derivate delle seguenti funzioni applicando le regole di derivazione:

(8.81) Esercizio 3 −2x 1

x

7 2

− , f (x) = ,

f (x) = 10x 3x + 1, f (x) = q

2

x +1 sin(x)

√

q 1−x

2

(x−1)

3

f (x) = x, f (x) = ln , f (x) = e ,

1+x

2

x +x+1

x x x

f (x) = 2 , f (x) = x , f (x) = arctan(x + 3 ),

ln x x

2 sin x e

f (x) = ln(ln x), f (x) = (x + 2) , f (x) = e ,

x 2 2

1+e 2

f (x) = , f (x) = sin x sin(x ), f (x) = sin (cos 3x),

x

1−e sin x

f (x) = ln(tan x), f (x) = log (log (log (x))), f (x) = 2 ,

3 2 5

x

1 1 cos x

f (x) = x , f (x) = 1 + , f (x) = (sin x) .

ln x x

Sia la funzione cosı̀ definita:

(8.82) Esercizio f (x) − 6

(1 cos x) sin(1/x) x = 0

f (x) = 0 x =0

Stabilire se la funzione è continua in

(1) x = 0;

stabilire se la funzione è derivabile in

(2) x = 0;

stabilire se la funzione deriata è continua nell’insieme dei numeri reali.

(3) Verifica se le seguenti funzioni, nell’intervallo chiuso a fianco indicato, sod-

(8.83) Esercizio

disfano le ipotesi del Teorema di Lagrange e, in caso affermativo, calcolare le ascisse dei punti che

verificano il suddetto teorema:

3

−

(1) y = x x [−2; 1];

2

(2) y = x [3; 4];

2 −x−4

x ;

(3) y = [−1; 0]

x−1 −

(4) y = x|2x 1| [0; 2];

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 21

Determinare gli insiemi in cui le seguenti funzioni sono crescenti o decrescen-

(8.84) Esercizio

ti: 2 − ;

(1) y = x 5x + 6

3 2 − ;

(2) y = x + 3x 9x + 2

3x+1 ;

(3) y = √

x+1

√ −

(4) y = x 2 x + 2;

Scrivere l’equazione cartesiana della retta tangente al grafico della curva

(8.85) Esercizio y =

nel punto

f (x) (x ; f (x )):

0 0 ;

(1) f (x) = cos x, x = π/3

0 π/3 ;

(2) f (x) = sin(log x), x = e

0

3

|x|) −1;

,

(3) f (x) = (x log x =

0

−|x| −1;

,

(4) f (x) = e x =

0

Determinare per ciascuna delle seguenti funzioni i punti di massimo o minimo

(8.86) Esercizio

relativo: 3 2

− − ∈

per ;

(1) f (x) = x 3x + 3x 4 x [0; 2]

∈

per ;

(2) f (x) = 3x + 1/x, x (0; 3]

2/3 − ∈

per

(3) f (x) = x (x 5), x [0; 4];

2

x ∈

, per

(4) x [−4; 3].

f (x) = √ 2

x +1

Parte B: Esercizi AVANZATI:

Utilizzando i teoremi sulle derivate dimostrare che:

(8.87) Esercizio

1 π/2 x > 0

arctan x + arctan = −π/2 x < 0

x

Utilizzare il teorema di Lagrange per dimostrare la seguente disuguaglianza:

(8.88) Esercizio x ≥

e x + 1.

Stabilire per quali valori di la seguente funzione è continua e derivabile in

(8.89) Esercizio a

x = 0: a 6

(sin(|x| ) arctan(1/x) x = 0

f (x) = 0 x =0

0 0 6

Calcolare la in base alla definizione. Calcolare poi per e

(8.90) Esercizio f (0) f (x) x = 0,

stabilire se la derivata prima è continua in x = 0.

2

x sin(1/x) x> 0

f (x) = ≤

0 x 0

Insieme di autovalutazioni, esercitazioni, temi d'esame e test interamente risolti durante il corso di Analisi Matematica 1 della facoltà di Ingegneria e Tecniche per l'Edilizia.
Contiene integrazioni e soluzioni per i seguenti argomenti:

- Numeri.
- Funzioni.
- Numeri complessi.
- Potenze e logaritmi.
- Limiti. (di successioni, notevoli, di funzioni, generali, etc)
- Sviluppi asintotici.
- Derivate prime e seconde (funzioni elementari, funzioni composte, funzioni inverse e funzioni complesse)
- Studio di funzione.
- Sviluppi di Taylor.
- Espansioni in serie.
- Integrali. (immediati, impropri, metodi di risoluzione, etc)
- Calcolo numerico approssimato.
- Serie armonica.