Analisi Matematica - Temi d'Esame svolti

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1

ALCUNI ESERCIZI DI 060037-ANALISI MATEMATICA A, AA 2005-2006

ALESSANDRO ALIPPI, MAURO GARAVELLO,MARCO SQUASSINA

S . Si raccolgono alcuni esercizi di Analisi Matematica A, in parte svolti a lezione

OMMARIO

e in parte lasciati agli studenti, relativi ad un corso annuale tenuto durante l’anno acca-

demico 2005-2006, Facoltà VI, Leonardo, Politecnico di Milano.

I NDICE

1. Relazioni 1

2. Numeri complessi 3

3. Insiemi 5

4. Sup e Inf 7

5. Successioni 10

6. Funzioni 15

7. Limiti 16

8. Derivate 20

9. l’Hopital 23

10. Integrali I 25

11. Integrali II 27

12. Serie numeriche 29

1. R ELAZIONI

Parte A: Esercizi di BASE:

Sia l’insieme degli studenti di un liceo che studiano almeno una lingua

(1.1) Esercizio E

straniera. Definiamo la seguente relazione: significa che gli studenti e studiano almeno

xRy x y

una stessa lingua straniera. Di quali proprietà gode tale relazione?

Verificare che le seguenti relazioni sono di equivalenza.

(1.2) Esercizio

Essere nato lo stesso anno.

(1) Abitare nella stessa regione.

(2) Parallelismo tra rette.

(3)

Date: 10 settembre 2006. 1

2 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

\ {0}.

Si consideri l’insieme Definiamo la relazione: significa

(1.3) Esercizio xRy xy > 0.

Z

Verificare che è una relazione di equivalenza. ≥

Cosa cambia se si considera l’insieme e la relazione: significa

xRy xy 0?

Z

Si consideri l’insieme dei numeri interi e si definisca la seguente relazione:

(1.4) Esercizio Z

− R

significa è un multiplo di Verificare che è una relazione di equivalenza. Quante

xRy x y 6.

e quali sono le classi di equivalenza? \ {0},

Si consideri l’insieme dei numeri naturali privato dello cioè e si

(1.5) Esercizio 0, N

R

definisca la seguente relazione: significa è divisibile per Verificare che è una relazione

xRy x y.

d’ordine.

Parte B: Esercizi AVANZATI: 2

Consideriamo il sottoinsieme di cosı̀ definito:

(1.6) Esercizio E R

2

∈ ≥ ≤ ≤

E = (x, y) : x 0, 0 y x .

R

2 − − ∈

Su consideriamo la seguente relazione: significa Provare che

(a, b)R(c, d) (a c, b d) E.

R

R è una relazione d’ordine.

Parte C: Alcune SOLUZIONI:

(1.7) Soluzione esercizio (1.6). − − ∈

è vera, dato che

Proprietà riflessiva. (a, b)R(a, b) (a a, b b) = (0, 0) E.

Supponiamo che valgano e Questo

Proprietà antisimmetrica. (a, b)R(c, d) (c, d)R(a, b).

− − ∈ − − ∈

significa che e Per prima cosa si deduce che e quindi

(a c, b d) E (c a, d b) E. a = c

− ∈ − ∈

che e da cui segue che

(0, b d) E (0, d b) E, b = d.

Supponiamo che valgano e Vogliamo provare

Proprietà transitiva. (a, b)R(c, d) (c, d)R(e, f ).

che Si ha:

(a, b)R(e, f ). − − − ≥

a e = (a c) + (c e) 0

per le ipotesi. Inoltre − − − ≥

b f = (b d) + (d f ) 0

e − − − ≤ − − −

b f = (b d) + (d f ) (a c) + (c e) = a e.

− − ∈

Quindi e pertanto vale anche la proprietà transitiva.

(a e, b f ) E ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 3

2. N UMERI COMPLESSI

Parte A: Numeri complessi in forma algebrica:

Risolvere i seguenti prodotti di numeri complessi:

(2.8) Esercizio

• −

i(1 i)

• −

(1 + i)(1 i)

2

• −

(1 + i) (1 i)

• −

(2 3i)(2 + i)

Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi

(2.9) Esercizio

1

• 1−i

1−i

• 2

(1+i)

1+4i

• 2−3i

2−3i

• 2+i Sia un numero complesso avente parte immaginaria positiva. Dimostrare

z

(2.10) Esercizio

che: −

z 1

w = z +1

ha parte immaginaria positiva.

Considerare il seguente numero complesso:

(2.11) Esercizio −

z 1 + 4i

w = − −

z 3 i

• Determinare il luogo dei punti appartenenti al piano di Gauss per cui è reale.

z w

• Determinare il luogo dei punti appartenenti al piano di Gauss per cui è immaginario.

z w

• Rappresentare graficamente le due soluzioni.

Parte B: Numeri complessi in forma esponenziale e trigonometrica:

Trasformare in forma trigonometrica ed esponenziale i seguenti numeri com-

(2.12) Esercizio

plessi: √ √

• − 2 + 2i

• −

2 2i

√

• −1 + 3i

√ √

• 6 + 2i

4 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Determinare la forma algebrica dei seguenti numeri complessi (pu ò essere

(2.13) Esercizio

utille passare prima alla forma esponenziale e poi ricovertire il risultato in forma algebrica):

√

1 + 3i 12

6 4

−

(a) (1 i) (b) (1 + i) (c) −

1 i

√ 5

Dimostrare che se allora è il coniugato di

(2.14) Esercizio z = 1/2 + 3i/2 z z.

Ricordando la definizione di radici n-esime di un numero complesso deter-

(2.15) Esercizio

minare:

• le radici seste dell’unità;

• −4;

le radici quarte di z =

• le radici quarte di z = i;

1−i

• le radici quinte di .

z = 1+i

Parte C: Equazioni nel campo dei numeri complessi:

Risolvere le seguenti equazioni:

(2.16) Esercizio

• 2iz + 1 = 0

• −

(2 + 3i)z 3 + 2i = 0

3

• − −2i

(z 1) =

2

• −

5z 4z + 1 = 0

4 2

• − −

z + (1 2i)z 2i

Risolvere la seguente equazione frazionaria:

(2.17) Esercizio 3

z + 1 1

=

3 −

z 1 i

Risolvere le seguenti equazioni o disequazioni e rappresentare graficamente la

(2.18) Esercizio

soluzione:

• |z − |z

1| = + 1|

• −

z cogn(z) = i 2

• ≤ |z|

z + cogn(z) ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 5

3. I NSIEMI

Parte A: Esercizi di BASE:

Semplificare le scritture usando le proprietà degli insiemi.

(3.19) Esercizio

∪ ∩ ∩

(1) [A (A B)] B;

∪ {[B ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

(2) A (A B)] [A (A B)]};

c

∩ ∩ ∪

(3) A B (B C );

{[(A ∩ ∩ ∩ ∅} ∩

(4) A) E] A;

c c c

∩ ∪ ∩ ∪ ∩

(5) (A B) (A B ) (A B ).

{1, {a}, {p,

Dati gli insiemi verificare che:

(3.20) Esercizio A = 2}, B = C = q, r},

× ∩ × ∩ ×

(1) A (B C) = (A B) (A C);

× ∪ × ∪ ×

(2) A (B C) = (A B) (A C);

× 6 ×

(3) A B = B A.

Parte B: Esercizi AVANZATI: ∈

Sia, per ogni

(3.21) Esercizio n N, 2

∈ ≤

A = x : x n .

R

n

Mostrare che [ A = R.

n

n≥1

∈

Sia, per ogni

(3.22) Esercizio n N,

1

∈ ≤ ≤ −

A = x : 0 x 1 .

R

n n

Calcolare 6

\ A .

n

n=3

∈

Sia, per ogni

(3.23) Esercizio n N,

1

1

2 2 2 ≤ ≤

∈ ≤ − y .

A = (x, y) : x + y 2,

R

n n n

Calcolare \ A .

n

n≥1

6 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

∈ ∈

Sia e sia, per ogni

(3.24) Esercizio α n

R, N, 1

n o

α ∈ |x − ≤

B = x : α| .

R

n n

Mostrare che \ [ [ \

α α α α

{α},

B = B = B , B = R.

n n 1 n

n≥1 n≥1 n≥1

α∈R

Parte C: Alcune SOLUZIONI:

(3.25) Soluzione esercizio (3.21).

Dimostriamo che

Primo passo. [ ⊆

A R.

n

n≥1

S

∈ ∈ ≥ ∈

Sia . Allora per qualche da cui si deduce che

x A x A n̄ 1, x R.

n n̄

n≥1 Dimostriamo che

Secondo passo. [

⊆ A .

R n

n≥1

∈ ≥

Sia La proprietà di Archimede assicura che esiste un numero naturale tale che

x n̄ 1

R. 2 2

∈ ≤

Dato che si ha ; quindi . Pertanto

x < n̄. n̄ n̄ n̄ x < n̄

N, [

∈ ⊆

x A A .

n̄ n

n≥1 2 2 2

≤

La disequazione rappresenta un cerchio in

(3.26) Soluzione esercizio (3.23). x + y 2 R

√

centrato nell’origine e con raggio L’insieme è formato dai punti del cerchio con

(0, 0) 2. A n

−1/n

ordinata compresa tra e Consideriamo l’insieme

y 1/n. √ √

n o

2

∈ − ≤ ≤

B = (x, y) : 2 x 2, y = 0 .

R

⊆ ∈ ≥

Si vede facilmente che per ogni quindi

B A n n 1;

N,

n \

⊆

B A .

n

n≥1

T

∈

Sia ora . Se fosse allora la proprietà di Archimede ci assicura che esiste

(x, y) A y > 0,

n

n≥1

≥ tale che

n̄ 1 1 < n̄.

y

Quindi 1

y> n̄

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 7

T

6∈ 6∈

e pertanto e . Si ragiona allo stesso modo se fosse Pertanto

(x, y) A (x, y) A y < 0.

n̄ n √ √

n≥1 2 2

− ≤ ≤ ≤

l’unica possibilità è che Di conseguenza dato che Quindi

y = 0. 2 x 2, x + y 2.

∈

(x, y) B. 4. S I

UP E NF

Parte A: Esercizi di BASE:

Determinare estremo inferiore e superiore dei seguenti insiemi.

(4.27) Esercizio 1

∈ .

(1) E = x : x = ,n N

n+1

n o

2

n +1 ∈ .

(2) E = x : x = ,n N

n+1

n−1

∈ .

(3) E = x : x = ,n N

n+1 1

n ∈ ≥ .

(4) , n n 1

E = x : x = 2 + (−1) + N,

n

n o

xy ∈]0, .

(5) E = : x, y 1[

x+y

Trovare l’estremo inferiore e superiore di