Analisi Matematica - Temi d'Esame svolti

4 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Determinare la forma algebrica dei seguenti numeri complessi (pu ò essere

(2.13) Esercizio

utille passare prima alla forma esponenziale e poi ricovertire il risultato in forma algebrica):

√

1 + 3i 12

6 4

−

(a) (1 i) (b) (1 + i) (c) −

1 i

√ 5

Dimostrare che se allora è il coniugato di

(2.14) Esercizio z = 1/2 + 3i/2 z z.

Ricordando la definizione di radici n-esime di un numero complesso deter-

(2.15) Esercizio

minare:

• le radici seste dell’unità;

• −4;

le radici quarte di z =

• le radici quarte di z = i;

1−i

• le radici quinte di .

z = 1+i

Parte C: Equazioni nel campo dei numeri complessi:

Risolvere le seguenti equazioni:

(2.16) Esercizio

• 2iz + 1 = 0

• −

(2 + 3i)z 3 + 2i = 0

3

• − −2i

(z 1) =

2

• −

5z 4z + 1 = 0

4 2

• − −

z + (1 2i)z 2i

Risolvere la seguente equazione frazionaria:

(2.17) Esercizio 3

z + 1 1

=

3 −

z 1 i

Risolvere le seguenti equazioni o disequazioni e rappresentare graficamente la

(2.18) Esercizio

soluzione:

• |z − |z

1| = + 1|

• −

z cogn(z) = i 2

• ≤ |z|

z + cogn(z) ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 5

3. I NSIEMI

Parte A: Esercizi di BASE:

Semplificare le scritture usando le proprietà degli insiemi.

(3.19) Esercizio

∪ ∩ ∩

(1) [A (A B)] B;

∪ {[B ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

(2) A (A B)] [A (A B)]};

c

∩ ∩ ∪

(3) A B (B C );

{[(A ∩ ∩ ∩ ∅} ∩

(4) A) E] A;

c c c

∩ ∪ ∩ ∪ ∩

(5) (A B) (A B ) (A B ).

{1, {a}, {p,

Dati gli insiemi verificare che:

(3.20) Esercizio A = 2}, B = C = q, r},

× ∩ × ∩ ×

(1) A (B C) = (A B) (A C);

× ∪ × ∪ ×

(2) A (B C) = (A B) (A C);

× 6 ×

(3) A B = B A.

Parte B: Esercizi AVANZATI: ∈

Sia, per ogni

(3.21) Esercizio n N, 2

∈ ≤

A = x : x n .

R

n

Mostrare che [ A = R.

n

n≥1

∈

Sia, per ogni

(3.22) Esercizio n N,

1

∈ ≤ ≤ −

A = x : 0 x 1 .

R

n n

Calcolare 6

\ A .

n

n=3

∈

Sia, per ogni

(3.23) Esercizio n N,

1

1

2 2 2 ≤ ≤

∈ ≤ − y .

A = (x, y) : x + y 2,

R

n n n

Calcolare \ A .

n

n≥1

6 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

∈ ∈

Sia e sia, per ogni

(3.24) Esercizio α n

R, N, 1

n o

α ∈ |x − ≤

B = x : α| .

R

n n

Mostrare che \ [ [ \

α α α α

{α},

B = B = B , B = R.

n n 1 n

n≥1 n≥1 n≥1

α∈R

Parte C: Alcune SOLUZIONI:

(3.25) Soluzione esercizio (3.21).

Dimostriamo che

Primo passo. [ ⊆

A R.

n

n≥1

S

∈ ∈ ≥ ∈

Sia . Allora per qualche da cui si deduce che

x A x A n̄ 1, x R.

n n̄

n≥1 Dimostriamo che

Secondo passo. [

⊆ A .

R n

n≥1

∈ ≥

Sia La proprietà di Archimede assicura che esiste un numero naturale tale che

x n̄ 1

R. 2 2

∈ ≤

Dato che si ha ; quindi . Pertanto

x < n̄. n̄ n̄ n̄ x < n̄

N, [

∈ ⊆

x A A .

n̄ n

n≥1 2 2 2

≤

La disequazione rappresenta un cerchio in

(3.26) Soluzione esercizio (3.23). x + y 2 R

√

centrato nell’origine e con raggio L’insieme è formato dai punti del cerchio con

(0, 0) 2. A n

−1/n

ordinata compresa tra e Consideriamo l’insieme

y 1/n. √ √

n o

2

∈ − ≤ ≤

B = (x, y) : 2 x 2, y = 0 .

R

⊆ ∈ ≥

Si vede facilmente che per ogni quindi

B A n n 1;

N,

n \

⊆

B A .

n

n≥1

T

∈

Sia ora . Se fosse allora la proprietà di Archimede ci assicura che esiste

(x, y) A y > 0,

n

n≥1

≥ tale che

n̄ 1 1 < n̄.

y

Quindi 1

y> n̄

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 7

T

6∈ 6∈

e pertanto e . Si ragiona allo stesso modo se fosse Pertanto

(x, y) A (x, y) A y < 0.

n̄ n √ √

n≥1 2 2

− ≤ ≤ ≤

l’unica possibilità è che Di conseguenza dato che Quindi

y = 0. 2 x 2, x + y 2.

∈

(x, y) B. 4. S I

UP E NF

Parte A: Esercizi di BASE:

Determinare estremo inferiore e superiore dei seguenti insiemi.

(4.27) Esercizio 1

∈ .

(1) E = x : x = ,n N

n+1

n o

2

n +1 ∈ .

(2) E = x : x = ,n N

n+1

n−1

∈ .

(3) E = x : x = ,n N

n+1 1

n ∈ ≥ .

(4) , n n 1

E = x : x = 2 + (−1) + N,

n

n o

xy ∈]0, .

(5) E = : x, y 1[

x+y

Trovare l’estremo inferiore e superiore di

(4.28) Esercizio

2x ∈

: x [−1, 1] .

2

1 + x

Siano e due sottoinsiemi non vuoti di Provare che

(4.29) Esercizio A B R.

∪ {sup

sup(A B) = max A, sup B}

e ∪ {inf

inf(A B) = min A, inf B} .

Trovare l’estremo inferiore e superiore di

(4.30) Esercizio

1 =0 .

x > 0 : cos x

Calcolare gli estremi inferiore e superiore dei seguenti insiemi:

(4.31) Esercizio n−1

{x ∈ ≥

(1) A = : x = : n n 1}

N,

n

1

{x ∈ ≥

(2) B = : x = : n n 1}

N,

2

n

n−2

{x ∈ ≥

(3) C = : x = : n n 1}

N,

2

n

2n+3

{x ∈

(4) D = : x = : n N}

5

Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’insieme

(4.32) Esercizio A:

2 n

−

3n (−1) n ∈ ≥

A = a = , n n 1

N,

n 2

2n

e dimostrare che coincidono con il massimo e il minimo dell’insieme stesso.

8 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’insieme cosı̀ defini-

(4.33) Esercizio A

to: 2/n con n pari

{a |n ∈ ≥

A = n 1} con a =

N,

n n 1/(n + 1) con n dispari

Parte B: Esercizi AVANZATI:

Si consideri l’insieme

(4.34) Esercizio x x+1

−

E = 9 + 3 4 > 0 .

Determinare l’estremo inferiore e superiore. Dire se sono anche minimi e massimi.

⊆

Sia con Dire se le seguenti affermazioni sono vere, false o

(4.35) Esercizio A inf A = 5.

R

non sono deducibili dalle ipotesi.

∈

(1) 5 A.

6∈

(2) 5 A.

∈

(3) 6 A.

∀x ∈

(4) A, x > 5.

∀x ∈ ≥

(5) A, x 5.

∀x ∈ ≤

(6) A, x 5.

∃x ∈

(7) A : x > 4.

∃x ∈

(8) A : x > 5.

∃x ∈ ≥

(9) A : x 5.

esiste.

(10) max A esiste.

(11) min A {x ∈ −2 ≤

Sia Calcolare l’estremo superiore e l’estremo

(4.36) Esercizio I = : x < 3}.

R

inferiore dei seguenti insiemi:

{a ∈ − ∈

(1) A = : a = 2x y x, y I}

R

{b ∈ |x|y ∈

(2) B = : b = x, y I}

R 2

x

{c ∈ ∈ 6

(3) C = : c = 1 + x, y I y = 0}

R |y| 2

{x ∈

Mostrare che non ammette estremo inferiore e

(4.37) Esercizio A = : x < 2}

Q

superiore nell’ambito dei numeri razionali. Procedere per passi; come prima cosa mostrare che se

2

è l’estremo superiore esso è tale che non può essere nè maggiore nè minore di 2. Il passo

M M 2

successivo consiste nel mostrare che se allora è irrazionale.

M = 2 M

Sia dato l’insieme

(4.38) Esercizio A: n

7 3(−1) 4

− ∈ \ {0}

A = a = + , n N

n 2

5 5n 5n

determinare l’estremo superiore e inferiore.

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA A 9

Parte C: Alcune SOLUZIONI:

(4.39) Soluzione esercizio (4.27).

(1) inf E = 0, sup E = max E = 1.

(2) inf E = min E = 1, sup E = +∞.

−1,

(3) inf E = min E = sup E = 1. 7 .

(4) inf E = min E = 1, sup E = max E = 2

12 .

(5) inf E = 0, sup E = L’insieme può essere rappresentato nel seguente modo:

(4.40) Soluzione esercizio (4.31). A

1 1 2 3

− ∈ ≥

A = 1 : n n 1 quindi A = 0; ; ; ; ...

N,

n 2 3 4

Dato che: 1 1 ∀n ∈ \ {0}

> N

n n +1

è minimo quando è massimo quindi per Dunque

a 1/n n = 1. inf(A) = a = 0.

n 1

Per determinare il inizio ad osservare che:

sup(A) 1

− ∀n ∈ \ {0}.

a = 1 < 1 N

n n

Quindi 1 è un maggiorante, per mostrare che devo mostrare che è il minimo dei

sup(A) = 1

maggioranti. Dalla definizione devo quindi verificare che:

∀ ∃n̄ −

> 0 : 1 < a < 1 .

n̄

Determino i valori per cui: −

n 1

− ;

1 < n

1

svolgendo i conti ottengo . Quindi scegliendo un intero positivo maggiore di ho

n > n̄ 1/

dimostrato che sup(A) = 1. ∪

Scriviamo come unione di due insiemi

(4.41) Soluzione esercizio (4.38). A A = A A

1 2

con: {a |n − ∈ \ {0}} {a |n ∈ \ {0}}.

A = = 2k 1; k A = = 2k; k

N N

1 n 2 n 4

3 decresce al crescere di

Osservo che ammette come minimo zero, dato che la quantità +

A 1 2

5n 5n

Inoltre dato che il generico elemento di è

n. A 1

7 3 4 7

− − ∀k ∈ \ {0}

a = < , N

2k−1 2

− −

5 5(2k 1) 5(2k 1) 5

ammette come maggiorante che risulta coincidere con il minore dei maggioranti quindi

A 7/5

1 (la dimostrazione di questo fatto è simile all’esercizio precedente). Per quanto

sup(A ) = 7/5

1

riguarda osservo che i primi due elementi sono e e inoltre:

A a = 3/2 a = 3/2

2 2 4

7 3 4 7 3 7 3 3

− ∀k

a = + < + < + = > 2

2k 2

5 5(2k) 5(2k) 5 10k 5 30 2

10 A. ALIPPI, M. GARAVELLO, M. SQUASSINA

quindi il mentre l’estremo inferiore è sicuramente maggiore di zero. Conclu-

sup(A ) = 3/2

2

diamo l’esercizio constatando che mentre il

inf(A) = inf(A ) = 0 sup(A) = sup(A ) =

1 2

3/2. 5. S UCCESSIONI

Parte A: Esercizi di BASE:

Verificare mediante la definizione di limite i seguenti limiti di successioni:

(5.42) Esercizio

2n+1

(1) = 2;

lim n+1

n→+∞ 1 (