Analisi Matematica 2 e Complementi di Algebra Lineare - Temi d'Esame svolti

TEST 1

Ogni domanda può avere 0,1,2,3,4 risposte vere. Una risposta errata ad un quesito a risposte multiple invalida l’intero esercizio.

R 3

1.1- ALGEBRA DEI VETTORI DI α β α β

1a - Siano u = [0,1,1], v = [1,-1,2]: se [-3,5,-4] = u+ v allora e sono rispettivamente:

α=1 β=2 α=−1 β=3 α=2 β=3 α=2 β=−3

a) e b) e c) e d) e

2a – posto OA=u= [0,1,1], OB=v = [1,-1,2], e M il punto medio del segmento AB, sia OM=w:

= =[0,-1/2,1/2], =[1/2,0,1], =[1/2,0,2],

a) w [1/2,0,3/2] b) w c) w d) w

3a – Siano u = [0,1,1], v = [1,-1,2]: il prodotto u X v vale:

−2

a) b) [3,1,-1], c) 1 d) [0,-1,1],

∧v

4a – Siano u = [0,1,1], v = [1,-1,2]: il prodotto u vale:

−2

a) b) [3,1,-1], c) 1 d) [0,-1,1],

θ

5a – sia l’angolo tra u = [0,1,1] e v = [1,-1,2]: allora:

θ θ θ θ

2 / 2 2 / 2 < d) < cos <1

<1/2 b) 1/2 < cos < c) < cos

a) 0< cos 3 / 2 3 / 2

= [0,1,1] o di = [1,-1,2]

6a – indica, tra i seguenti vettori, i versori di u v

)

a [0, - 2 / 2 , 2 / 2 ], b) [0, , ],

6 / 6 6 / 6

2 / 2 , 2 / 2 ], d) [- , ,- ],

c) [0, 6 / 6 6 / 6 6 / 6 =

= [0,1,1], = [1,-1,2], [1,1,1] vale:

7a – il volume del parallelepipedo di cui tre spigoli sono u v w

) 0

a b) 1 c) 2 d) 3

= [0,1,1] che a = [1,-1,2]

8a – indica, tra i seguenti vettori, quelli ortogonali sia a u v

)

a [0,-1,1], b) [-3,-1,1], c) [1,-1,-1], d) [3, 1,-1],

= [-1,1,-2], = [0,1,1] , = [1,0,3] , = [3,0,-2]. Quali sono terne di vettori

9a – siano w w w w

1 2 3 4

linearmente dipendenti

)

a b) c) d)

w w w w w w w w w w w w

1, 2, 3 1, 2, 4 1, 3, 4 2, 3, 4

R 3 λ µ

, , tre vettori qualsiasi di , e sia = x , e = x , allora:

10a – siano a b c b c∧a c a∧b

) λ µ λ µ λ µ λ µ

a = - b) = -1/ c) = d) = 1/

TEST 2

Ogni domanda può avere 0,1,2,3,4 risposte vere. Una risposta errata ad un quesito a risposte multiple invalida l’intero esercizio.

1.2- APPLICAZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA

11b – indica, tra i seguenti vettori, quelli che rappresentano la direzione del piano

di equazione 3x-2y-3z-5=0

a) [3,-2,-5], b) [3,-3,-5], c) [-3,2,3], d) [6, -4,-6],

12b – indica, tra i seguenti vettori, quelli che rappresentano la direzione del piano che passa

per i punti A(1,2,1), B(2,3,1), C(6,2,4)

a) [3,-2,-5], b) [3,-3,-5], c) [-3,2,3], d) [6, -4,-6],

= + +

 x 1 s 5

t

 α

α = +



13b – dato il piano di equazione , indica, tra i seguenti piani, quelli paralleli ad

y 2 s

 = +

z 1 3

t

)

a –3x+2y+3z=0, b) 6x –4y–6z+5=0, c) 3x-2y-5z+7=0, d) 3x-3y-5z+3=0,

α α

14b – dato il piano di equazione –3x+2y+3z=0, indica, tra i seguenti piani, quelli ortogonali ad :

)

a 3x-2y+3z-7=0, b) 2x +6y–2z+5=0, c) 3x-2y-5z+7=0, d) 3x+3z+7=0,

15b – indica, tra i seguenti piani, quelli paralleli all’asse y.

)

a 2y+3z-7=0, b) 2x +6y+5=0, c) 3x-2y-5z=0, d) 3x+3z+7=0,

16b – indica, tra i seguenti piani, quelli paralleli al piano xz

)

a 2y-7=0, b) 6y+5=0, c) -5z+2=0, d) 3x+3z+7=0,

17b – indica, tra i seguenti piani, quelli che passano per l’origine

)

a 3x-2y+3z-7=0, b) 2x +6y–2z+5=0, c) 3x-2y-5z+7=0, d) 3x+2y-3z=0,

18b – indica, tra i seguenti piani, quelli paralleli al piano 2x +6y–2z+5=0 e passanti per (1,2,3)

)

a x+3y-z-4=0, b) 2x +6y–2z-5=0, c) 3x-2y-5z+7=0, d) 3x+3y-3z=0,

19b – quale è la distanza del punto (-1,1,2) dal piano x-2y-2z+8=0.

) −1

a b) 2/3 c) 1/3 d) 2/5

20b – quale è la distanza tra i piani x-2y-2z+8=0 e x-2y-2z+16=0.

)

a 8/3 b) 8 c) 4/3 d) 1/3

21b – quale è il coseno del minore degli angoli formati tra i piani x+2y-2z+8=0 e 4x-z+1=0.

)

a 4/3 b) 1 c) 2/3 d) 1/3

= + = − +

 

x 1 s x 1 4

t

  = −

= +

 

22b – quale è il coseno del minore degli angoli formati tra le rette y 2 2 s y 2

  = −

= −

z 1 2 s z 5 3

t

)

a 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 4/3

= +

 x 1 s

 = +



23b – quale è il seno del minore degli angoli tra la retta e il piano e 8x-6z+1=0

y 2 2 s

 = −

z 1 2 s

)

a 2/3 b) 4/3 c) 2 d) 8/3

24b – indica, tra i seguenti piani, quelli che appartengono al fascio di piani generato

da x+2y-2z+8=0 e da 4x-3z+1=0

)

a 3x-2y+3z-7=0, b) 5x -6y–22=0, c) 3x-2y-5z+7=0, d) 3x-2y-z-7=0,

25b – quale piano del fascio generato da x+2y-2z+8=0 e 4x-3z+1=0 passa per (1,-1, 3)

)

a 8x -8y–11z+17=0, b) 8x +8y–11z+33=0, c) 8x-8y-11z+27=0, d) 8x+8y-11z+23=0,

26b – indica, tra le seguenti rette, quelle che passano per il punto (1,1,-1) e sono parallele

al piano 4x-z+1=0 = =

= + = +

   

x s x s

1

x s x 1 s

   

) = + = + = − + = − +

   

a b) c) d)

y s y s

1 2

y s y 1 2 s 2 2 2 3

   

= − − = − − = − = −

z s z s

1 2

z s z 1 4 s 3 2 3 4

27b – quali rette passano per (1,1,-1) e sono perpendicolari al piano x+2y-2z+8=0 .

{ {

− − = − + =

2 x y 1 0 x 2 y 1 0

)

a b) 2x-2=y-1=-z-1 c) d) 2x-2=y-1=-z-2

+ = + =

y z 0 y z 0

28b – quali delle seguenti rette sono incidenti alla retta 2x-2=y-1=-z-2

= =

= + = +

   

x s x s

1

x s x 1 s

   

) = − +

= + = + = − +

   

a b) c) d)

y s y s

1 2

y s y 1 2 s

2 3 2 3

   

= −

= − − = −

= − −

z s z s

1 2

z s z 1 4 s

3 2 3 4

=

= +

  x t

x 1 s

 

= + = − +

 

e

29b – quale è la distanza tra le rette y t

y 1 2 s 2 3

  = −

= − − z t

z 1 2 s 3 2

)

a b) c) d) 4

5 /5 2 5 / 5 3 5 / 5 5 / 5

= +

 x 1 s

 = +



30b – quale è la distanza del punto (0,-2,3) dalla retta y 1 2 s

 = − −

z 1 2 s

)

a 1 b) 3/2 c) 2 d) 5/2

TEST 3

Ogni domanda può avere 0,1,2,3,4 risposte vere. Una risposta errata ad un quesito a risposte multiple invalida l’intero esercizio.

2.1 – SPAZZI VETTORIALI E APPLICAZIONI LINEARI

3

R

31c – quali dei seguenti sottoinsiemi di sono sottospazi vettoriali:

a) {(x ,x ,x )| x +x =1 } b) {(x ,x ,x )| x -x =-1} c) {(x ,x ,x )| 2x -x =0} d) {(x ,x ,x )| x +x =0}

1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2

{ }

32c – se v v …, v è una famiglia di vettori di V linearmente dipendenti, allora:

1, 2, r

a) almeno un vettore della famiglia si esprime come combinazione lineare degli altri

b) ognuno dei vettori della famiglia si esprime come combinazione lineare degli altri

{ }

c) per ogni vettore w di V w, v v …, v è una famiglia di vettori linearmente dipendenti

1, 2, r

{ }

v …, v è una famiglia di vettori linearmente dipendenti

d) anche 2, r

{ }

33c – se v v …, v è una famiglia di vettori di V linearmente indipendenti, allora:

1, 2, r

a) almeno un vettore della famiglia si esprime come combinazione lineare degli altri

b) nessun vettore della famiglia può esprimersi come combinazione lineare degli altri

{ }

c) per ogni vettore w di V w, v v …, v è una famiglia di vettori linearmente indipendenti

1, 2, r

{ }

d) anche v …, v è una famiglia di vettori linearmente indipendenti

2, r n

R

{ }

34c – sia v v …, v , v una famiglia di n+1 vettori di , allora:

1, 2, n n+1 n

R

a) costituiscono un famiglia di generatori di

b) esistono n vettori della famiglia linearmente indipendenti

c) almeno un vettore della famiglia si esprime come combinazione lineare degli altri

n

R

d) costituiscono una base di

35c – quali dei seguenti insiemi di polinomi reali in una variabile sono uno spazio vettoriale di

dimensione finita:

a) l’insieme di tutti i polinomi reali in una variabile

b) l’insieme dei polinomi reali in una variabile di grado minore di 5

c) l’insieme dei polinomi reali in una variabile di grado pari minore di 5

d) l’insieme dei polinomi reali in una variabile di grado 5

36c – quali dei seguenti insiemi di funzioni reali di una variabile reale non sono uno spazio

vettoriale:

a) le funzioni per le quali f(0)=1

b) le funzioni per le quali f(-1)=f(1)

c) le funzioni per le quali f(1)=0

d) le funzioni per le quali f(0)+f(3)=0

GEOMETRIA

Cognome: Nome: Anno di corso:

Ing. edile R. Betti / A. Di Libero Matricola:

• Più risposte possono essere corrette. Indicarle con una croce. • Per annullare una risposta ritenuta errata

racchiuderla in un cerchio. Limitarsi a una correzione per domanda. m n

1. Indicare le proprietà vere, in relazione a un’applicazione lineare f : R → R : dim Im f = n;

a

dim Ker f = 0; f è iniettiva se e solo se dim Im f = m; f è suriettiva se e solo se

b c d

dim Ker f = n − dim Im f .

2. Nello spazio, le due rette r ed s di equazioni rispettive

r : x = y = z

s : x + y = z − 1=0

ortogonali

risultano: incidenti; sghembe; parallele;

a b c d

3. Quante soluzioni ha il seguente sistema lineare:

 x + y + z =1



 2x + z =1



 2y + z = −1

1

∞ ; due; nessuna;

a una sola.

b c d

3

4. In R sono assegnati i vettori v = (1, 0, 1), v = (2, 1, 1) e v = (−1, −2, 1). Allora, i vettori v , v e v :

1 2 3 1 2 3

formano una base di un sottospazio di dimensione 2; sono generatori di un sottospazio di dimensione 2;

a b

3 3

formano una base di R ; sono generatori di R .

c d

5. Nello spazio, dati i punti A(1, 1, 0), B(0, −1, 1), C(1, 0, −1), qual è il volume del parallelepipedo di spigoli OA, OB

ed OC, essendo O l’origine del riferimento? 0; 1/3; 2;

a 1.

b c d

6. Sia P lo spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ 4 nella indeterminata x, e sia U = {p(x) ∈ P | p(0) + p(1) −

4 4

2p(2) = 0}. Allora, il sottoinsieme U : è un sottospazio vettoriale di P e dim U = 3; è un sottospazio

a b

4

vettoriale di P , ma non ha dimensione finita; non è un sottospazio vettoriale di P ; è un sottospazio

c d

4 4

vettoriale di P e dim U = 4.

4

7. Calcolare la distanza, in valore assoluto, del punto A(1, −1, 2) dalla retta r di equazioni x + y = z − 1 = 0, e

indicare le proprietà vere. Distanza.................... r giace sul piano di equazione x + y − z + 1 = 0; r

a b

passa per il punto B(0, 1, 0); r è perpedicolare all’asse delle z; r è parallela all’asse delle z.

c d

8. Date le matrici A = (a ) e B = (b ), sia C = A · B. Indicare le proprietà vere: (A B) = AB ;

a

ik ik T T T

P P

(A + B) = A + B ; c = a b ; c = a b .

b c d

T T T ij ij jk jk ji ik

k i

9. Determinare l’equazione del piano passante per i punti A(1, 0, 1), B(−1, 1, 0), C(0, 1, 1) e indicare le proprietà vere.

Equazione del piano:.......................................: il piano è parallelo alla retta di equazioni 2x = y − z = 3;

a + y + z = 0;

il piano è perpendicolare al piano di equazioni

b il piano contiene il punto D(1, 1, 1);

c il

d

x

piano contiene la retta di equazioni x = z − y = 3.

4

10. Per quali valori di h i seguenti vettori di R : u = (1, h, 0, 0), u = (0, 1, 1, 1), u = (1, 0, 1, 0) sono linearmente

1 2 3

dipendenti? solo per h = 0;

a per nessun valore di h;

b per ogni valore di h;

c solo per h = −1.

d

GEOMETRIA

Cognome: Nome: Anno di corso:

Ing. edile R. Betti / A. Di Libero Matricola:

• Più risposte possono essere corrette. Indicarle con una croce. • Per annullare una risposta ritenuta errata

racchiuderla in un cerchio. Limitarsi a una correzione per domanda. m n

1. Indicare le proprietà vere, in relazione a un’applicazione lineare f : R → R : dim Im f = n;

a

dim Ker f = 0; f è iniettiva se e solo se dim Im f = m; f è suriettiva se e solo se

b c d

dim Ker f = n − dim Im f .

2. Nello spazio, le due rette r ed s di equazioni rispettive

r : x = y = z

s : x + y = z − 1=0

ortogonali

risultano: incidenti; sghembe; parallele;

a b c d

3. Quante soluzioni ha il seguente sistema lineare:

 x + y + z =1



 2x + z =1



 2y + z = −1

1

∞ ; due; nessuna;

a una sola.

b c d

3

4. In R sono assegnati i vettori v = (1, 0, 1), v = (2, 1, 1) e v = (−1, −2, 1). Allora, i vettori v , v e v :

1 2 3 1 2 3

formano una base di un sottospazio di dimensione 2; sono generatori di un sottospazio di dimensione 2;

a b

3 3

formano una base di R ; sono generatori di R .

c d

5. Nello spazio, dati i punti A(1, 1, 0), B(0, −1, 1), C(1, 0, −1), qual è il volume del parallelepipedo di spigoli OA, OB

ed OC, essendo O l’origine del riferimento? 0; 1/3; 2;

a 1.

b c d

6. Sia P lo spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ 4 nella indeterminata x, e sia U = {p(x) ∈ P | p(0) + p(1) −

4 4

2p(2) = 0}. Allora, il sottoinsieme U : è un sottospazio vettoriale di P e dim U = 3; è un sottospazio

a b

4

vettoriale di P , ma non ha dimensione finita; non è un sottospazio vettoriale di P ; è un sottospazio

c d

4 4

vettoriale di P e dim U = 4.

4

7. Calcolare la distanza, in valore assoluto, del punto A(1, −1, 2) dalla retta r di equazioni x + y = z − 1 = 0, e

1

indicare le proprietà vere. Distanza.................... r giace sul piano di equazione x + y − z + 1 = 0; r

a b

passa per il punto B(0, 1, 0); r è perpedicolare all’asse delle z; r è parallela all’asse delle z.

c d

8. Date le matrici A = (a ) e B = (b ), sia C = A · B. Indicare le proprietà vere: (A B) = AB ;

a

ik ik T T T

P P

(A + B) = A + B ; c = a b ; c = a b .

b c d

T T T ij ij jk jk ji ik

k i

9. Determinare l’equazione del piano passante per i punti A(1, 0, 1), B(−1, 1, 0), C(0, 1, 1) e indicare le proprietà vere.

x+y-z=0

Equazione del piano:.......................................: il piano è parallelo alla retta di equazioni 2x = y − z = 3;

a + y + z = 0;

il piano è perpendicolare al piano di equazioni

b il piano contiene il punto D(1, 1, 1);

c il

d

x

piano contiene la retta di equazioni x = z − y = 3.

4

10. Per quali valori di h i seguenti vettori di R : u = (1, h, 0, 0), u = (0, 1, 1, 1), u = (1, 0, 1, 0) sono linearmente

1 2 3

dipendenti? solo per h = 0;

a per nessun valore di h;

b per ogni valore di h;

c solo per h = −1.

d

GEOMETRIA

Cognome: Nome: Anno di corso:

Ing. edile R. Betti / A. Di Libero Matricola:

• Più risposte possono essere corrette. Indicarle con una croce. • Per annullare una risposta ritenuta errata

racchiuderla in un cerchio. Limitarsi a una correzione per domanda.

1. Sia P lo spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ 4 nella indeterminata x, e sia U = {p(x) ∈ P | p(0) +

4 4

p(1) − 2p(2) = 1}. Allora, il sottoinsieme U : è un sottospazio vettoriale di P , ma non ha dimensione

a 4

finita; non è un sottospazio vettoriale di P ; è un sottospazio vettoriale di P e dim U = 4; è un

b c d

4 4

sottospazio vettoriale di P e dim U = 3.

4

2. Quante soluzioni ha il seguente sistema lineare:  x + y + z =1



 2x + z =1



 2y + z = 1

1

due; nessuna; una sola;

a ∞ .

b c d

3. Calcolare la distanza, in valore assoluto, del punto A(2, −1, 1) dalla retta r di equazioni x + y = z − 1 = 0, e

indicare le proprietà vere. Distanza.................... r passa per il punto B(0, 1, 0); r è perpedicolare

a b

all’asse delle z; r è parallela all’asse delle z; r giace sul piano di equazione x + y − z + 1 = 0.

c d

4. Determinare l’equazione del piano passante per i punti A(1, 1, 0), B(0, −1, −1), C(1, 0, −1) e indicare le proprietà

vere. Equazione del piano:.......................................: il piano è perpendicolare al piano di equazioni y+z = 0;

a

il piano contiene il punto D(1, 1, 1); il piano contiene la retta di equazioni x = z − y = 3; il piano è

b c d

parallelo alla retta di equazioni x = z − y = 3. m n

5. Indicare le proprietà vere, in relazione a un’applicazione lineare f : R → R : dim Ker f = 0; f è

a b

iniettiva se e solo se dim Im f = m; f è suriettiva se e solo se dim Ker f = n−dim Im f ; dim Im f = n.

c d

6. Date le matrici A = (a ) e B = (b ), sia C = A · B. Indicare le proprietà vere: (A + B) = A + B ;

a

ik ik T T T

P P

c = a b ; c = a b ; (A B) = AB .

b c d

ij jk

ik kj ji ik T T T

j i

3

7. In R sono assegnati i vettori v = (1, 0, 1), v = (2, 1, 1) e v = (−1, −2, 1). Allora, i vettori v , v e v :

1 2 3 1 2 3

3 3

sono generatori di un sottospazio di dimensione 2; formano una base di R ; sono generatori di R ;

a b c

formano una base di un sottospazio di dimensione 2.

d

8. Nello spazio, le due rette r ed s di equazioni rispettive

r : x = y = z

s : x + y − 1= z =1

risultano: sghembe; parallele; perpendicolari;

a incidenti.

b c d

4

9. Per quali valori di h i seguenti vettori di R : u = (1, h, 0, 0), u = (0, 1, 1, 1), u = (1, 0, 1, 1) sono linearmente

1 2 3

dipendenti? p