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2a APPELLO 2016
Ω = { x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≤ 4 } { 0 ≤ z ≤ 3 }
∫ ∫ ∫ 3x(2 + 9 - 6z) + z dx dy dz
- 5
- 5/2
- 15/4
- 5/3
3x∫03 (xζ2 + 27xz - 9xz + z) dz = ∫03 [xζ3 + 27xz - 9xz + z] dz
= ∫03 [27x + 81x - 81x + z] dz = ∫03 [27x + z] dz
Domino D:
- x ≥ 0
- y ≥ 0
y ≤ 1 - 3x → (0, 1), (1/3, 0)
∫01/3 ∫01-2x [27x + z] dy dx = 1/3 ∫01/3 [27x(1 - 3x) + z (1 - 3x)]
= ∫01/3 [27x - 8x2 + zζ - 27xz] dx
= ∫01/3 [27x - 81x3/3 + z/2 − 27x] dx
= [(27x2/2 − 81x3/3 + z/2 − 27x2/4)]01/3
= [(27x2/2 − 81/3 + z/2) (1 - 1/3)] − (27/9, 1/9)
= (6 - 4 + 6 - 3)/4 = (12 - 7)/4 = 5/4
2) La serie ∑ mk / 7m m=0
converg se 8 sob
- x < 4
- x > 1
- |x| < 7
- |x| > 7
entriamo radice
7x-1 = 7x • 7-1 = 7x-1 - o 9m conv. se |9|k<1
7x-1 < 1 per x < 1
71 > 1 per x > 1
3) Sia ∑ la porz. di sup. di eq. z = 16 - x2 - y2 che giace sopra al piano z=0, con vers. normale n che forma un triangolo ottuso con l'asse z.
Sia F(x,y,z) = (y, -x/2, d(z2 + z2)
= u(z2 + z1 - 2e2)
Allora ∑ ntF · m dω
- -16π
- 16π
- 6π
- -6π
z < 0 0 = 16 - x2 - y2 o x2 + y2 = 16 R = 9
σ(x,y,z) = (x,y,16-x2-y2)
σx = (1,0,-2x) m = (2x,2y,1)
σy = (0,1,-2y)
∫ ∫ ntF = (4y,0,-1)
∫ ∫2π0 ∫2π0 (4y, 0, -1) · (2x, 2y, 1) = ∫ ∫2π0 8xy - 1 = ∫2π0 8ρcosρsinρ - ρ
8[ ∫0 2π ρ ] = [- 7πρ2 ]g0 = -16π → CAMBIO SEGNO
= + 16π
2)
La serie ∑m=3∞ (m+3)2 sin (m q/3) log (1 - 2/m)
- diverge a +∞
- diverge post.
- Converge neg.
- diverge -∞
limm➝∞ -81 conv α
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