Analisi matematica 2: temi d'esame e quiz svolti e commentati - prof Serra

Name: Analisi matematica 2: temi d'esame e quiz svolti e commentati - prof Serra
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Author: martycodro

Revisionato il 09/06/2026

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Temi d'esame e quiz svolti e commentati dal 2013 fino al secondo appello di febbraio 2017, esame analisi matematica 2 del corso di ingegneria biomedica presso il Politecnico di Torino, …

Esame Analisi matematica e geometria

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Serra Enrico

Università Politecnico di Torino

A.A. 2016-2017

50 pagine

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2^a appello 2016

Domanda 1

Ω = {x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3}

∬_Ω 3x(z² + 9 - 6z) + z dx dy dz

55/215/45/4

∬₀³ 3x z² + 27x - 18xz + z dz = ∫₀³ [x z³ + 27xz - 9x z² + z²/2] = ∫₀³ 27x + 81x - 81x + 9/2 = ∫₀³ 27x + 9/2

Dominio D

x ≥ 0

y ≥ 0

y ≤ 1 - 3x → (0,2),(1/3,0)

∫₀^1/3 ∫₀^1-3x 27x + 9/2 dy dx = ∫₀^1/3 [27xy + 9/2 y]₀^1-3x = ∫₀^1/3 27x(1-3x) + 9/2 (1-3x) = ∫₀^1/3 27x - 81x² + 9/2 - 27x = [27x²/2 - 81x³/3 + 9/2 x - 27x²/4]₀^1/3

[(27/2)(1/9) - 81/3 (1/27) + 9/2 (1/3) - 27/4 (1/9)] = 6 - 4 + 6 - 3/4 = 12 - 9/4 = 5/4

2^a Appello 2016

Ω = {x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3}

∫Ω 3x(z² + 9 - 6z) + z dx dy dz

55/215/45/4 ∫₀³ ∫₀ 3x z² + 27x - 18xz + z 0 | z = ∫₀³ [ xz³ + 27xz - 9xz² + z²]₀= ∫₀³ 27x + 81x - 81x + 9/2 = ∫₀³ 27x + 9/2

Dominio D

x ≥ 0

y ≥ 0

y ≤ 1 - 3x → (0,2), (1/3,0)

∫₀^1/3 ∫₀^1-2x 27x + 9/2 dy dx = ∫₀^1/3 [ 27xy + 9/2 y ]^1-3x₀ = 1/3 ∫₀^1/3 27x(1-3x) + 9/2 (1-3x) = ∫₀^1/3 27x - 81x² + 9/2 y - 27x/2 dx = [ 27x²/2 - 81x³/3 + 9x/2 - 27x²/4 ]^1/3₀

(27/2 ₁/³) - 81/3 (₁/³) + (9/2 * ₁/³) - (27/4 ₁/⁹) = 6 - 4 + 6 - 3/₄ = 12 - 7/4 = ₅/⁴2

La serie

Σ^∞_m=0 ⁷⁄_{m^x(m⁴ + 7^m)} converge se e solo se x ≤ 7x |x| ≤ 1⁄7 |x| Criterio radice ^x-17 = ⁷⁄₇ = 7^-1 7 = 7^x-1> 1 per x > 1

Converge se |9|k|3 Sia Σ la porzione di superficie di equazione z=16-x²-y² che giace sopra al piano z=0, con versore normale n che forma un con l'asse z.

Sia F(x,y,z) = (y,-4y², d(e^z-1)²) e = u(e²_z + a - 2e²) Allora _∫ Σ ∫ Σ m do

-16π
16π
6π
-4π

z ≥ 0 0 = 16-x²-y² x² + y² = 16 R = 4

σ(x,y,z) = (x,y,16-x²-y²)

σx=(1,0,-2x) m=(2x,2y,1) σy=(0,1,-2y)

_∮_4π^z=0 hotF = (4y,0,-1) _∮^2π (4y,0,-1)(2x,2y,1)

=_∮⁴^2π (8xy - 1) = _∮⁴^2π 8ρcosθ - ρ= _∮-2π8 = [ -7p²]⁰_{₌^⁴ ₀} = -16π CAMBIO SEGNO+ 16π

Ω = { (x,y,z):x ≤ 0, y ≥ 0 x² + y² + z² ≤ 16, z ≥ √(x² + y²) }

F(x,y,z) = (zy, z/4, x²y/2) Il flusso di F uscente vale

- 16π (2 - √2)
16π (2 - √2)
4π (2 - √2)
2π (2 - √2)

divF = 3/4 x ≤ 0 y ≥ 0

Coordinate sferiche

x = ρ sinφ cosθ

y = ρ sinφ sinθ

z = ρ cosφ det = ρ² sinφ

ρ ∈ [0, 4] θ ∈ [0, π/2] φ ∈ [0, π/2]

= ∫₀⁴ ∫₀^π/2 ∫₀^π/2 3/4 ρ² sinφ = ∫₀⁴ ρ² [ ∫₀^π/2 ∫₀^π/2 3/4 cosφ ] dθ dφ = ∫₀⁴ ρ² [ 3/4 [ π√2/2 + 1] ] = ∫₀⁴ ρ² [ 3/4 π ^3/2√2 ] = -π/2 3ρ/4 [ ρ√2/2 ]+ 8/2 π/2 = -3π/4 = -π = -8π√2 + 8π = 4π(2 - √2)

La successione di funzioni

f_n: [0,+∞) → ℝ definita da f_n(x) = ³/_n ( log (e^3nx + 5) )

Conv. unif. in [0,+∞)
Conv. punti in " " ma non unif.
Conv. uni

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