Esercizi analisi II
Integrali di linea di 1 specie
Calcolare ∫γ ƒ ds dove ƒ(x,y) = 9x2 + 4y2.
γ parametrizzata da r(t) = (cos t, sen t), con t ∈ [0,π/2]
Calcolare ƒ(r(t)) (la funzione è uscire a ƒ).
ƒ(r(t)) = 9 (cos t)2 + 4 (sen t)2 = 9 cos2t + 4 sen2t
Calcolare ∫γ ƒ ds = ∫ab ƒ(r(t)) ||r'(t)|| dt
r(t) = ( cos t ) ||r'(t)|| = √[ (-sen t)2 + (cos t)2 ] = 1
∫γ ƒ ds = ∫0π/2 (9 cos2 t - 4 sen2 t) 1 dt = ∫0π/2 9 dt - ∫0π/2 cos2 t + 4 sen2 t dt
∫0π/2 9 dt = ∫0π/2 cos2 t - 4 ∫0π/2 sen2 t dt
∫cos2 t dt = ∫1 + cos 2t2 dt = ∫12 dt + ∫12 cos 2t dt
= 12 t + 14 ∫cos 2t ⋅ 2 dt = 12 t + 14 sen t
∫sen2 t dt = ∫1 - cos 2t2 = (...) = 12 t - 14 sen 2t
= ∫0π/2 9 dt [-12 t + 14 sen 2t]π/20 - 4 [ 12 t + 14 sen t]π/20
= - 9π2 - (- 12 π / 2 + 14 sen π / 2) - 4 ( 12 π / 2 - 14 sen π / 2)
= - 9π2 - π4 + 0 - π4 + 0 = - 13π4
Calcolare integrali di linea di 1° specie
Calcolare ∫γ f dove f(x, y) = 9x2 + 4y2.
γ parametrizzata da: τ(t) = sen t/cost con t ∈ ]0, π/2[
Calcolare f(τ(t)) (la funzione ristretta a γ)
f(τ(t)) = 9(sen t)2 + 4(cost)2 = 9•cos2t - 4sen2t
Calcolare ∫γ f ds = ∫ab f(τ(t)) ||r'(t)|| dt
τ(t) = {sen t, cost} ||r'(t)|| = √((sen t)2 + (cost)2) = 1
∫(9•cos2t - 4sen2t) 1 dt = ∫0π/2 9 dt - ∫0π/2 (cos t + 4 sen t) dt
∫0π/2 9dt = ∫0π/2 cos t - 4(sen2t dt)
∫cos2t dt = ∫(1 + cos 2t)/2 dt = ∫1/2 dt + ∫1/2 cos 2t dt
= 1/2 t + 1/2 ∫cos 2t dt = 1/2 t + 1/4 sen t
- ∫sen2 t dt = ∫(1- cos2t)/2 dt = (1/2) t - 1/4 sen 2t
= ∫0π/2 q dt ∫[ 1/2 t + 1/4 sinh 2t]0π/2
= 9∏/2 - (1/2 π/2 + 1/4 sen π/2) - 4 [1/2 t - 1/4 sen 2t]0
= 9π/2 - 1/2 π/2 + 1/4 sen π/2 - 4 (1/2 π/2 - 1/4 sen π/2)
= 9π/2 - π/4 = π -0 = 13π / 4
Calcolare ∫γfds dato ƒ(x,y) = x+2y mentre γ è rappresentato in figura
γ = δ1 ∪ δ2 ∪ δ3
calcolo γ
δ1 → r1(t) = {x(t) = ty(t) = 0t ∈ [0,2]}
δ2 → r2(t) = {x(t) = √2cost = 2cost, y(t) = √2sint = 2sint, t ∈ [0, 3/4π]}
δ3 → r3(t) = {x(t) = -t, y(t) = t, t ∈ [0, √2]}
∫δ f ds = ∫δ1 f + ∫δ2 f + ∫δ3 f
calcolo ƒ(γ(t))
ƒ = x + 2y
ƒ(r1(t)) = t + 2•0 = t
ƒ(r2(t)) = 2cost + 4sint
ƒ(r3(t)) = -t + 2t = t
Calcolo l’integrale:
∫δ f ds = ∫02 ƒ(r1(t)) ||r’1(t)|| dt + ∫03/4π ƒ(r2(t)) ||r’2(t)|| dt + ∫0√2 ƒ(r3(t)) ||r’3(t)|| dt
= ∫02 ƒ(r1(t)) ||r’1(t)|| dt
||r’1(t)|| → ||r’1(t)|| = 1
→ ||r’2(t)|| = 1
∫02 t dt = [1/2t2]02 - 4/2 = 2;
∫03/4π f(τ2(t)) ||τ2′(t)|| d
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