Esercizi analisi matematica II

Esercizi Analisi II

1. Integrali di linea di I specie

Calcolare ∫_c f ds dove f(x,y) = 9x² - 4y² Calcolare f(r(t)) y(r(t)) = 9(cos² t) - 4(sen² t) 9 - cos 2t, 4sen2t calcolare ∫_a^b f ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt r(t) = { -sen t cos t ||r'(t)|| = √((-sen t)² + (cos t)²) = 1 ∫₀^π/2 (9cos² t - 4 sen² t) dt = ∫₀^π/2 9 dt - ∫₀^π/2 cos 2t + 4sen 2t dt = ∫₀^π/2 9 dt - ∫₀^π/2 cos 2t dt - ∫₀^π/2 4sen 2t dt ∫ cos² t dt = ∫ 1 + cos 2t / 2 dt = ∫ 1/2 dt + 1/2 ∫ cos 2t dt - 1/2 t |^π₂ - 1/4 |^π₂ sen 2t |^π₂= 1/2 t = 1/4 sen 2t = 9 π/2 (t |^π_o + 1/4 sen t |^π₂)- 4 t |^π_o = 9 π/2 + 1/4 sen t |^π_o = 13π/4

Calcolare ∫_γ f ds dove f(x,y) = x + 2y

mentre γ è rappresentata in figura

γ = γ₁ ∪ γ₂ ∪ γ₃

calcolo γ

γ₁ → r₁(t) = { x(t) = t

                  y(t) = 0

                  t ∈ [0,2]

γ₂ → r₂(t) = { x(t) = 2cost = 2cost

                   y(t) = 2sint - 2sint

                   t ∈ [0, ³/₄ π]

γ₃ → r₃(t) = { x(t) = -t

                  y(t) = t

                  t ∈ [0, √2]

∫_γ f ds = ∫_γ1 f + ∫_γ2 f + ∫_γ3 f

calcolo f(γ(t))

f = x + 2y

f(r₁(t)) = t + 2 · 0 = t

f(r₂(t)) = 2cost + 4sint

f(r₃(t)) = -t + 2t - t

Calcolo l'integrale: ∫_γ f ds = ∫₀² f(r₁(t)) ‖r'₁(t)‖ dt + ∫₀^{3/4 π} f(r₂(t)) ‖r'₂(t)‖ dt

+ ∫₀^√2 f(r₃(t)) ‖r'₃(t)‖ dt

◦ ∫₀ f(r₁(t)) ‖r'₁(t)‖ dt

‖r'₁(t)‖ → r'₁(t) = 1 → ‖r'₁(t)‖ = 1

e^t + 2e^t

Calcolo

δ(σ(t))

δ(σ(t)) = 2e^t 2t - 4te^t

applico la formula per m

m = ∫_f∫ δds - ∫₁³ δ(σ(t))||y⁰(t)|| dt

= ∫₁³ 4te^t (e^t + 2e^t) dt

= ∫₁³ 4te^2t + 8te^t e^t dt

= ∫₁³ 8t dt + ∫₁³ 2t e^2t ( 3 e^2t)

= 8[¹/₂ t²]₁³ + [2te^2t - e^2t ]₁³

= 8( ⁹/₂ - ¹/₂ ) + [2te^2t - e^2t ]₁³

= 8 ⁹/₂ - ⁸/₂ + ( e^2t (2t - 1) )₁³

= 36 - 4 + e⁶ (5) - e² (-1)

= 32 + 5e⁶ - e²

Funzioni in più variabili

a) Calcolo dei limiti

• Calcolcare Lim _{(x,y)→(0,0)} x²y / x₂+y₂

DominioD=ℝ²−{0,0}Prima di calcolare analiticamente il limite, vedo tramite uno studio geometrico se effettivamente il limite esiste.

Come si fa? Devo "costringere" la funzione su una curva. Se esistono restrizioni della funzione a curve diverse per cui il limite è diverso, oppure se su una restrizione il limite non esiste, allora sicuramente la funzione non ammette limite nel punto.

Ci avviciniamo all'origine lungo la retta y=mx

^x*mx/_x²+m²x² = ^mx/_x²(1+m²) = ^m/_1+m²

Lim _x→0 f(x,mx) = Lim _x→0 ^m/_1+m²Dato che il valore del limite varia al variare di m, quindi alla pendenza della retta, si deduce che tale limite non esiste.

• Verificare che _{^lim(x,y)→(0,0)} ^x3y/_x non esiste

Racimpo a mx

f(x,mx) = ^x2mx/_x = 1 - m

lim x→0 1 - m

• Calcolare _{^lim(x,y)→(0,0)} ^y3/_x²+y²

Vedro se per caso non esiste

f(x,mx) = ^m3x3/_x²+m²x² = ^m3x/_1+m²

lim x→0 ^m3x/_1+m² = 0

f(x,ax²) = ^a3x9/_x²+a²x⁴ = ^a3x7/_1+a²x²

lim x→0 ^a3x7/_1+a²x² = 0

lo calcolo con coord polari

{ x = ρ cosθy = ρ senθ

lim ρ→0 ^ρ3sen3θ/_{ρ²cosθ + ρ²senθ}= lim ρ→0 ^ρ3sen3θ/_ρ²

| ρ sen³θ | ≤ ρ → ∀θ | sen³θ | ≤ 1 → verificato

b) Continuità di una funzione a due variabili

f(x,y) = ^{e^-1/(x2_+y2) per (x, y) ≠ (0,0)f(x,y) = 0 per (x, y) = (0,0)}

Studiamo la continuità in (0,0)

Una funzione si dice continua se

• ^{lim_{(x,y)→(x0,y0)}} f(x,y) = f(x₀,y₀)

^{lim_{(x,y)→(0,0)} e^-1/(x2_+y2) - ?lim_r→0+ e^-1/r2 = 0}

f(0,0) = 0

La funzione è continua in (0,0)

f(x,y) = y^{2_/√(x2+y2)} per (x, y) ≠ (0,0)f(x,y) = 1 per (x, y) = (0,0)

f(0,0) = 1

^{lim_p→0 p2_{sin2θ/p√cos2θ+sin4θ}}, dipende da θ, il limite non esiste

La funzione non è continua in (0,0)

• Scrivere l'eq. del piano tangente al grafico della

funzione \( f(x,y) = x^3 - 2x^2y + 5xy^2 + y^3 \)

nel punto \((x_0,y_0) = (0,1)\)

• Calcolo le derivate \( f_x \) e \( f_y \)

\( f_x(x,y) = 3x^2 - 4xy + 5y^2 \)

\( f_y(x,y) = -2x^2 + 10xy + 3y^2 \)

• Calcolo le derivate nel punto \((0,1)\)

\( f_x(0,1) = 5 \)

\( f_y(0,1) = -3 \)

• Eq. piano tangente

\( z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)

\( z = 1 + 5(x - 0) + 3(y - 1) \)

\( = 1 + 5x + 3y - 3 - 5x + 3y - 2 \)

\( z = 5x - 3y + 2 = 0 \)