Analisi Matematica 2 - appunti completi + esercitazioni e temi d'esame

APPUNTI DI

ANALISI MATEMATICA II

CORSO DI LAUREA: ING. MECCANICA

PROF. E. SERRA

A CURA DI ANDREA BERTOGLIO

Teoria + Esercizi + temi d'esome svolti in classe

Anno accademico 2019-20

APPUNTI DI

ANALISI MATEMATICA II

CORSO DI LAUREA: ING. MECCANICA

PROF. E. SERRA

A CURA DI ANDREA BERTOGLIO

Teoria + Esercizi + temi d’esame svolti in classe

Anno accademico 2019-20

NOTE

• Gli esercizi hanno sempre una striscia blu sul lato per distinguerli dalla teoria
• Gli esempi sono indicati come con l'evidenziatore giallo
• Il verde indica gli argomenti principali e le definizioni
• L'arancione indica le osservazioni e gli argomenti secondari
• I richiami ad Analisi 1 sono riquadrati in blu

INDICE

1. funzioni a più variabili rappresentazioni
2. limiti e continuità
3. calcolo differenziale
4. Taylor
5. massimi e minimi
6. campo vettoriale
7. calcolo integrale integrali doppi
8. cambio di coordinate per integrali doppi
9. integrali tripli
10. cambio coordinate per integrali tripli
11. curve parametriche
12. integrale curvilineo di 1a specie
13. integrale curvilineo di 2a specie
14. campi conservativi
15. condizione sufficiente di conservatività
16. teorema di Green
17. integrali di superficie
18. di 1a specie
19. di 2a specie
20. teorema di Gauss
21. teorema di Stokes
22. serie numeriche
23. serie a termini positivi
24. serie a termini qualunque (Leibniz)
25. serie di funzioni
26. calcolo insiemi di convergenza
27. derivazione e integrazione di serie di potenze
28. serie di Taylor
29. criterio di analiticità
30. serie di Fourier
31. norme di funzioni
32. convergenza in norma quadratica
33. uguaglianza di Bessel-Parseval
34. convergenza puntuale Fourier
35. funzioni di periodo T
36. Fourier in forma complessa
37. A che serve Fourier + tema d'esame completo

ANALISI 2

FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

IN DIMENSIONE 2 (funzione di 2 variabili):

D ⊂ R² dominio di f (e il più grande sottoinsieme di R² dove ha senso calcolare f)

f : D → R

f(x, y)   z = f(x, y)

ES

• f(x, y) = x² + y²
• D = R²
• f(x, y) = e^x+ycos(xy)
• D = R²
• f(x, y) = ^2x+y/_{x² + y²}
• D = R² \ { (0, 0) }
• f(x, y) = ^ex+y/_{x - 3}
• D = { (x, y) ∈ R² | x ≠ 3 }
• f(x, y) = ¹/_{√ y - x + 1}
• D = { (x, y) ∈ R² | y - x + 1 > 0 }
• y > x - 1
• f(x, y) = log(1 - xy)
• D = { (x, y) ∈ R | 1 - xy > 0 }
• xy < 1

• se x > 0 ⇒ y < ¹/_x
• se x = 0 ⇒ xy < 1   sempre
• se x < 0 ⇒ y > ¹/_x

assi compresi ma non le iperboli

IN DIMENSIONE 3 (funzione di 3 variabili):

D ⊂ R³

f : D → R

f(x, y, z)

ES

• f(x, y, z) = √ z - y
• D = { (x, y, z) ∈ R³ | z - y ≥ 0 }
• z ≥ y   (tutto ciò sopra il piano z = y)

f(x,y,z)=^√x2+y2 / _z-3

D={ (x,y,z)∈ℝ³ | z≠3 }

f(x,y,z)=log(4-x²-y²-z²)

D={ (x,y,z)∈ℝ³ | 4-x²-y²-z² > 0 }

RAPPRESENTAZIONE DI FZ. A PIU' VARIABILI

DIM 2

z=f(x,y)

- GRAFICO per definizione

IN GENERALE SUPERFICIE IN R³

f(x,y)=√1-x²-y²

D={ (x,y)∈ℝ² | 1-x²-y² > 0 }

DIM 3+

non si può fare

- INSIEMI DI LIVELLO

in 2 variabili sono CURVE

f(x,y)=x²+y²

Disegna l'insieme x²+y²=c

sono circonferenze di raggio r=√c

-se c=0 (x,y)=(0,0) origine

-se <0 c> => ∅

- f(x,y) = xy

xy = c

vanno di c

- c = 0 ⇒ xy = 0 ⇒ assi

- c > 0 ⇒ xy = k ⇒ 1^o/3^o q

- c < 0 ⇒ xy = k ⇒ 2^o/4^o q

in 3 variabili sono superfici in R³

Casi Particolari

- f(x,y) = x²

insiemi di livello sono rette

e quindi: f(x,y) = f(x)

verticali

analogamente se f(x,y) = f(y) sono rette

orizzontali

in generale f^-1(c) = numero

- f(x,y) = ^2x+3y/_e^x+3y=c

2x+3y = log c _numero

y = log c/3 + 2/3 x

retta

Restrizioni di Fz. in 2 variabili

>>>Analisi 1 → guardare le fz solo in un pezzo del dominio per invertible.

Si restringe f a un sottoinsieme del piano in genere è una curva

es f: R → R

e fisso y = y₀.

guardo la funzione f(x,y₀) → ho ristretto fz alla retta y = y₀ che

è (fz di una variabile).