Analisi Matematica 2 - appunti completi + esercitazioni e temi d'esame

APPUNTI DI

ANALISI MATEMATICA

II

CORSO DI LAUREA : ING. MECCANICA

PROF. E. SERRA

A CURA DI ANDREA BERTOGLIO

Teoria + Esercizi + temi d'esame svolti in classe

Anno accademico 2019-20

NOTE

• Gli esercizi hanno sempre una striscia blu sul lato per distinguerli dalla teoria
• Gli esempi sono indicati come ES con l'evidenziatore giallo
• Il verde indica gli argomenti principali e le definizioni DEF
• L'arancione indica le osservazioni OSS e gli argomenti secondari
• I richiami ad Analisi 1 sono riquadrati in blu

INDICE

1. funzioni a più variabili - rappresentazioni
2. Limiti e continuità
3. calcolo differenziale
4. Taylor
5. massimi e minimi
6. campo vettoriale
7. calcolo integrale - integrali doppi
8. cambio di coordinate per integrali doppi
9. integrali tripli
10. cambio coordinate per integrali tripli
11. curve parametriche
12. integrale curvilineo di 1^a specie
13. integrale curvilineo di 2^a specie
14. campi conservativi
15. condizione sufficiente di conservatività
16. Teorema di Green
17. integrali di superficie
18. di 1^a specie
19. di 2^a specie
20. Teorema di Gauss
21. Teorema di Stokes
22. Serie numeriche
23. serie a termini positivi
24. serie a termini qualunque (Leibniz)
25. Serie di funzioni
26. calcolo insiemi di convergenza
27. derivazione e integrazione di serie di potenze
28. Serie di Taylor
29. criterio di analiticità
30. Serie di Fourier
31. norme di funzioni
32. convergenza in norma quadratica
33. uguaglianza di Bessel-Parseval
34. convergenza puntuale Fourier
35. funzioni di periodo T
36. Fourier in forma complessa
37. A che serve Fourier + tema d’esame completo

Se restringo x = x₀ → il grafico di f(x₀, y) è funzione della sola y

Dal punto di vista grafico significa sezionare il grafico di f con piani x = x₀, y = y₀

ES

f(x,y) = ^x2/_{x + y²} D = ℝ² \ { (0,0) }

• restrizione x = 1 → f(1,y) = ^y/_{1 + y²}
• restrizione y = 1 → f(x,1) = ^x/_{1 + x²}
• restrizione alla bisettrice x = y → f(x,x) = ^x3/_2x² = ^x/₂
• restrizione alla parabola y = x² → f(x,x²) = ^x4/_{x² + x⁴} = ^x2/_{1 + x²}

ES

f(x,y) = ^xy/_{x² + y²} D = ℝ² \ { (0,0) }

• restrizione y = x → f(x,x) = ^x2/_2x² = ¹/₂
• restrizione y = 3x → f(x,3x) = ^3x2/_{9x² + x²} = ³/₁₀
• restrizione y = mx → f(x,mx) = ^mx2/_{x² + m²x²} = ^mx2/_{x²(1 + m²)} = ^m/_{1 + m²}

f è costante su ogni retta che passa per (0,0)

DERIVATE DIREZIONALI

\f: R^2 -> R\

\frac{\partial f}{\partial x} (P_0) = \lim_{h->0} \frac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \quad \text{PER DEFINIZIONE}\

\text{Guardando da un P.O.V. vettoriale con } \vec{i} = (1,0) \text{ versore}\

P_0 + h\vec{i} = (x_0, y_0) + h(1,0) = (x_0+h, y_0)\

\frac{\partial f}{\partial x} (P_0) = \lim_{h->0} \frac{f(P_0 + h\vec{i}) - f(P_0)}{h}\

\frac{\partial f}{\partial y} (P_0) = \lim_{h->0} \frac{f(P_0 + h\vec{j}) - f(P_0)}{h}\

\text{lungo il versore } \vec{i} \quad \quad \quad \quad \ \, \text{lungo il versore } \vec{j}\

\text{Posso farlo su QUALSIASI VERSORE (norma 1) } \hat{v} = (\alpha, \beta)\

\text{e calcolo } \lim_{h->0} \frac{f(P_0 + h\hat{v}) - f(P_0)}{h} \quad \lim_{h->0} \frac{f(x_0 + h\alpha, y_0 + h\beta) - f(x_0, y_0)}{h}\

\text{se il limite esiste ed è finito, si chiama DERIVATA DIREZIONALE di } f\

\text{nella direzione } \hat{v} \text{ nel punto } P_0 \quad \frac{\partial f}{\partial \hat{v}} (P_0) \quad D_{\hat{v}}f(P_0) \text{ (è un numero)}\

\frac{\partial f}{\partial \hat{v}} \text{ misura quanto cresce (o decresce) } f \text{ uscendo da } P_0 \text{ nella direzione } \hat{v}\

ES \quad \frac{\partial f}{\partial \hat{v}} \ (P_0) = 1 \quad \text{asse del punto con pendenza } \frac{\pi}{4}\

\underline{\text{L'esistenza di TUTTE le derivate direzionali NON implica la CONTINUITÀ}}\

\text{(ci si può avvicinare al punto anche in altri modi: parabole ...)}\

T&T\

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \quad x -> x_0 \quad \text{con } f: R -> R\

(1) \text{ Taylor al primo ordine}\

(2) \text{ definizione di } f_x \text{ derivabile in } x_0\

f(x) = f(x_0) + o(1) \quad \lim_{x -> x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\

\text{Dimmi una nuova definizione di "derivabile" che vale in } \dim \ge 2\

\f: (D \subset R^2) -> R \quad \quad P_0 \text{ interno a } D\

DEF \ Si dice che \ f \ \textbf{è DIFFERENZIABILE in } P_0 \ \text{ se}\

f(P_0) = f(P_0) + \frac{\partial f}{\partial x} (P_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (P_0)(y-y_0) + o(\| P - P_0 \|)\

\text{incremento} \quad \quad \quad \text{incremento} \quad \quad \quad \text{compone la NORMA} \quad \quad \ \, P -> P_0\

1. la superficie che cerco è il grafico di una fz di 2 variabili

2. la superficie che cerco è di rotazione

3. la funzione di cui la superficie è il grafico deve essere radiale

quando x=0 y>0 f(0,y) deve coincidere con h(y) (sezione)f(0,y)=g(y²)=g(y)

la funzione che cerco è uguale ad hl’equazione della superficie è z=h(√(x²+y²))

ES

h(y)=√y+1y≥0 scrivere l’equazione della superficie ottenutaruotando il grafico di h attorno all’asse zz=ln(√x²+y²)z=√x²+y²+1x²+y²+1

h(y)=e^ysin(y)y²+3y≥0⇒z=ez=e^√x2+y2sin(√x²+y²)x²+y²+3

h(y)=|log y|

z=|log(√x²+y²)|

DERIVATE DELLE FUNZIONI RADIALI

derivata della norma p=(x,y)

∂||p||/∂x=2x2√x²+y²

∂||p||/∂y=2y2√x²+y²

⇒∇||p||=(^x/_√x²+y²,^y/_√x²+y²)1/||p|| (x,y)=^p/_||p||

⇒f(x,y)=g(||p||)⇒∇f(x,y)=g’(||p||)_p/_||p|| ∙^p/_||p||

Il gradiente di una funzione radialepunta sempre radialmente

f(1,4) = 3

∂f/∂x (x,y) = ⁴⁄_2√(x) (4+y)

∂f/∂x (1,4) = ¹⁄₂ (1+2) = ³⁄₂

∂f/∂y (x,y) = √x (¹⁄_2√y)

∂f/∂y (1,4) = -¹⁄₄ - ⁵⁄₄

∂²f/∂x² (x,y) = √x (¹⁄_4x^(3/2))

∂²f/∂x² (1,4) = -³⁄₄

∂²f/∂y² (x,y) = √x (¹⁄_4√(x))

∂²f/∂y² (1,4) = -³²

∂²f/∂y∂x (x,y) = √x y^-3/2

∂²f/∂y∂x (1,4) = ¹⁄₈

T(x,y) = 3 + ³⁄₄ (x-1) + ⁵⁄₂ (y-4) +

      ¹⁄₂ (³⁄₄) (x-1)² -⁴⁄₂ (^-1⁄₃₂) (y-4)² + ¹⁄₈ (x-1)(y-4)

quindi, √x (x+y) = T(x,y) + o ((x-1)² + (y-4)²)      (x,y) → (1,4)

MAX E MIN IN + VARIABILI

(in due variabili)

D ⊂ ² f : D → ℝ

(anche ℝ ³…)

DEF

Un punto P₀ ∈ D si dice

• MINIMO LOCALE (per f) se ∃ᵣB_r(P₀) t.c. f(P) ≥ f(P₀)   ∀P ∈ B_r(P₀)∩D
• MASSIMO LOCALE (per f) se ∃ᵣB_r(P₀) t.c. f(P) ≤ f(P₀)   ∀P ∈ B_r(P₀)∩D
• MINIMO GLOBALE (per f) se f(P) ≥ f(P₀)   ∀P ∈ D
• MASSIMO GLOBALE (per f) se f(P) ≤ f(P₀)   ∀P ∈ D

ES

f(x,y) = x²+y² ha un minimo globale in (0,0)

perché f(x,y) ≥ f(0,0) = 0

ES

z=f(y) = y²-4

rotiamo il grafico di f

dietro all'asse z

f(x,y) = x²+y²-(√(x²+y²)⁴)

(0,0) ∈ un minimo locale

infatti vicino a (0,0) f(x,y)>0

ma non è un minimo globale