Analisi Matematica - Studio di funzione, Integrali, Limiti

1) Dominio

R = ℝ - {...}

• Esempi:
  • √x ➔ R - {x < 0}
  • log x ➔ R - {x ≤ 0}
  • 1/x ➔ R - {x = 0}

Simmetrie

• Se f(-x) = f(x) è pari

Riduco i valori dell'intervallo di x a solo quelli positivi [0, ...]

• Se -f(-x) = f(x) è dispari

Riduco i valori dell'intervallo di y = f(x) a solo quelli

Esempio:

• f(-2π) = f(2π) ➔ e = e
• Disegno il grafico solo nell'intervallo [0, 2π]

2) Segno

Quando f(x) ≥ 0

Esempio:

f(x) = (x²+x-1)/(x²-4)

x ≤ -√5 / 2 V x ≥ √5 / 2

x₃ < -2 V x₄ > +2

3) Asintoti

Verticali

• lim f(x) = ±∞

Es: lim f(x) = -∞

lim f(x) = +∞

Orizzontali

• lim f(x) = C

Es: lim f(x) = 1

Obliqui

m = lim f(x)/x

q = lim (f(x) - m x)

Y = m x + q

Esempio di asintoti nel grafico!

V = Verticale

O = Orizzontale

I = Obliquo

d) Dominio; R = ℝ\

• Esempi:
• √x → R - {x < 0}
• log x → R - {x ≤ 0}
• ¹∕_x → R - {x = 0}

Simmetrie:

1) Se ƒ(-x) = ƒ(x) è pari

Riduco i valori dell'intervallo di x a solo quelli positivi [0, ...]

ES: e^cos(x), cos(x) x ∈ [-2π, 2π]

ƒ(-2π) = ƒ(2π) → e = e

Disegno il grafico solo nell'intervallo [0, 2π]

2) Se -ƒ(-x) = ƒ(x) è dispari

Riduco i valori dell'intervallo di y -ƒ(x) a solo quelli

2) Segno: quando ƒ(x) ≥ 0

Esempio:

ƒ(x) = ^{x² + x - 1}∕_{x² - 4}

N = x² + x - 1 > 0

D = x² - 4 > 0

x₁ = ^{-1 - √5}∕₂ V x₂ = ^{-1 + √5}∕₂

x₃ < -2 V x₄ > +2

x_1,2 = ^{-b ± √b² - 4ac}∕_2a

3) Asintoti:

• Verticali: lim_x→a⁺ ƒ(x) = ± ∞
• lim_x→a^- ƒ(x) = ± ∞
• ES: lim_x→0⁺ ƒ(x) = -∞
• lim_x→0^- ƒ(x) = +∞

• Orizzontali: lim_x→∞ ƒ(x) = c
• ES: lim_x→∞ ƒ(x) = 1
• lim_x→-∞ ƒ(x) = -1

• Obliqui: m = lim_x→∞ ^ƒ(x)∕_x
• q = lim_x→∞ (ƒ(x) - mx)
• y = mx + q

Esempio di asintoti nel grafico:

V = verticale

O = orizzontale

I = obliquo

punti di minimo e di massimo:

f'(x) → 0 f''(x) → 0 f'(x) = 0

devo trovare i valori di x che fanno risultare 0 la derivata di f(x). i valori di x che soddisfano f'(x) = 0 sono punti di minimo e di massimo (avendo le coordinate di x, basta sostituire la/le x trovate, nella f(x) originale per trovare le coordinate di y)

sostituendo x₁, x₂ nella f(x) trovo le coordinate dei punti di min o max (osservando i risultati dei passaggi 0,1,2,3 si determina se è un punto di min o max) (oppure lo si determina facendo f''(x) > 0 in questo modo si capisce dove la x "sale" e dove "scende")

esempio: f'(x) > 0 considerando l'intervallo [1,3] ottengo  x > 2 ₁ x > 1

dal grafico capisco che nell'intervallo [1,3] è presente un punto di minimo con coordinate: x=2 y=f(2) (senza considerare necessariamente i passi 0,1,2,3)

p.s. ho scelto l'intervallo [1,3] perché avevo questo grafico: potrebbe avere due forme diverse:

punti di min e max

• se f'(x_o) = 0 e f''(x_o) > 0 → x_o è un punto di min. relativo
•  f''(x_o) < 0 → x_o è un punto di massimo relativo

x_o è un valore scelto da noi a seconda dei casi:

es: 1) f(x) = x⁴ f'(x) = 4x³ f''(x) = 12 x² se x=0, il teorema precedente non è verificato

es: 2) f(x) = x² f'(x) = 2x f'' = 2

se x=0, il teorema precedente è verificato e ho trovato un: punto di minimo con coordinate x = 0, y = f(x)

METODI VARI

DIVISIONE

∫(2x³ + 7x² + 2x - 9)/(x² + 3x) dx =

2x³ + 7x² + 2x - 9

- 2x³ - 6x²

----------------

x² + 2x - 9

- x² - 3x

----------------

- x - 9

∫(2x + 1 - (x + 9)/(x² + 3x)) dx

N(x)/D(x) = Q(x) + R(x)/D(x)

DENOMINATORE DI 2° GRADO

Δ = b² - 4ac

Δ = ∅

∫(1/x² - 9) dx = ∫(1/(x - 3)(x + 3)) dx

Δ > 0

∫(3/(3x² - x - 2)) dx

3x² - x - 2 = 3x² - 3x + 2x - 2

= 3(x(x - 1)) + 2(x - 1) = (x - 1)(3x + 2)