Analisi Matematica - Studio di funzione, Integrali, Limiti

0) Dominio; R = ℝ - {...}

• Esempi:
  • √x → R - {x < 0}
  • log x → R - {x ≤ 0}
  • 1/x → R - {x = 0}

Simmetrie:

• Se f(-x) = f(x) è pari
  • Es: e cos(x), cos(x) x ∈ [-2π; 2π]

  Riduco i valori dell'intervallo di x a solo quelli positivi [0, ...]

  f(-2π) = f(2π) ∅ e = e

  Disegno il grafico solo nell'intervallo [0, 2π]

• Se f(-x) = -f(x) è dispari

  Riduco i valori dell'intervallo di x a solo quelli

2) Segno: quando f(x) ≥ 0

• Esempio:
  • f(x) = (x² + x - 1) / (x² - 4)
  • N = x² + x - 1 > 0
  • D = x² - 4 > 0

  x_1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

  • x₁ ≤ (2 - √5) / 2 ∨ x₂ ≥ (2 + √5) / 2
  • x₃ < -2 ∨ x₄ > +2

3) Asintoti:

• Verticali:
  • lim_x→a⁺ f(x) = ±∞
  • lim_x→a⁻ f(x) = ±∞
  • Es: lim_x→2⁺ f(x) = -∞
  • lim_x→2⁻ f(x) = +∞
• Orizzontali:
  • lim_x→±∞ f(x) = c
  • Es: lim_x→+∞ f(x) = 1
  • lim_x→-∞ f(x) = -1
• Obliqui:
  • m = lim_x→±∞ f(x)/x
  • q = lim_x→±∞ (f(x) - m x)

  y = mx + q

Esempio di asintoti nel grafico:

V = verticale

O = orizzontale

I = obliquo

4) Punti di minimo e di massimo:

f'(x) = 0

Devo trovare i valori di x che fanno risultare 0 la derivata di f(x).

I valori di x che soddisfano f'(x) = 0 sono punti di minimo e di massimo avendo le coordinate di x, basta sostituire la/le x trovate, nella f(x) originale per trovare le coordinate di y.

Sostituendo x1, x2 nella f(x) trovo le coordinate dei punti di min o max.

Osservando i risultati dei passaggi 0, 1, 2, 3 si determina se è un punto di min o max (oppure lo si determina facendo f''(x) > 0, in questo modo si capisce dove la x "sale" e dove "scende").

Esempio: f'(x) > 0 considerando l'intervallo [1, 3] ottengo x > 2 > x > 1

+ sale

- scende

Dal grafico capisco che nell'intervallo [1, 3] è presente un punto di minimo con coordinate: x = 2, y = f(2)

(Senza considerare necessariamente i passi 0, 1, 2, 3)

P.S. Ho scelto l'intervallo [1, 3] perché avevo questo grafico:

Min/Max

Punti di min e max

• Se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) > 0 → x₀ è un punto di min relativo
• f''(x₀) < 0 → x₀ è un punto di massimo relativo

x₀ è un valore scelto da noi a seconda dei casi:

Esempio 1:

• f(x) = x⁴
• f'(x) = 4x³
• f''(x) = 12x²

Se x = 0, il teorema precedente non è verificato

Esempio 2:

• f(x) = x²
• f'(x) = 2x
• f'' = 2

Se x = 0, il teorema precedente è verificato e ho trovato un: punto di minimo con coordinate x = 0, y = f(x)

2° GRADO.

1. a x² + b x + c = 0. x₁,₂ = ^{- b ± √(b2 - 4 a c)}/_{2 a}

2. a² - b² = (a - b) (a + b)

3. x² + 5 x + 6 = (x + 3) (x + 2) ∑ = 3 + 2 = 5 ∏ = 3 · 2 = 6

3° GRADO

1. (a - b)³ = a³ - 3 a² b + 3 a b² - b³ (a + b)³ = a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³ a³ - b³ = (a² + a b + b²) (a - b) a³ + b³ = (a² - a b + b²) (a + b)

2. x³ + 4 x² - 10 x + 5 = 0

   1. TROVO I DIVISORI DEL TERMINE NOTO (QUELLO SENZA X → 5) DIVISORI: ±1 ±5
   2. PROVO A SOSTITUIRE OGNI DIVISORE NELLA X DELL'EQUAZIONE DI PARTENZA E OSSERVO CON QUALE DIVISORE È VERIFICATA P(x) = x³ + 4 x² - 10 x + 5 = 0 P(1) = 1 + 4 - 10 + 5 = 0
   3. CON IL DIVISORE 1 È VERIFICATA, QUINDI SO CHE L'EQUAZIONE DI PARTENZA È DIVISIBILE PER (x - 1) x³ + 4 x² - 10 x + 5 | x - 1 1 5 -5 0
   4. L'EQUAZIONE INIZIALE VERRÁ SCRITTA COSÌ: (x - 1) (x² + 5 x - 5)

ELLISSE:

9x²+25y²=225 → x² e y² diversi

{ 9x²+25y²=225 { x=0 , y=0

grafico:

Come punto prova, in genere, si sceglie il centro dell'ellisse.

IPERBOLE:

x²/a² - y²/b²=1 → formula dell'iperbole

{ x=±a { y=0

{ −y²−b² → tolgo il meno → y²−b² → y=±b { x=0

troverò due punti con x=0 e due con y=0 e con questi punti disegnerò un rettangolo e le relative diagonali. Grafico:

xy − 1 > 0 Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti k=y*× se k>0 l'iperbole è sempre nel 1º e 3º quadrante e i due rami sono simmetrici rispetto all'origine. sc k