Analisi matematica I: fondamenti, limiti, derivate, integrali

Il programma indica specifiche modalità di studio per sezioni e teoremi:

●​ "Tutto": La sezione o il teorema va studiato approfonditamente.

●​ "Solo enunciato": È sufficiente conoscere l'enunciato del teorema, senza

dimostrazione.

●​ "NO Pag." / "NO paragrafo": La parte indicata è esclusa dal programma.

Ecco alcuni esempi specifici di direttive di studio:

●​ Capitolo 4 (Insiemi): Diversi teoremi sono solo da enunciare.

●​ Capitolo 5 (Topologia): Pagine 110-112 (fino a Weierstrass) e 115-118 (fino a infiniti)

sono escluse. Paragrafo 7 e Teoremi 8, 9, 10, 11, 12 sono solo da enunciare.

●​ Capitolo 6 (Limiti): Paragrafo 1, Teorema 1, è solo da enunciare. Paragrafi 2-3-4

sono da studiare "tutto", ma per il Paragrafo 4, i Teoremi 9-10-11-12-13 sono solo da

enunciare. Per il Paragrafo 5, i Teoremi 14, 14', 15, 15', 16, 16', 17, 17' sono solo da

enunciare.

●​ Capitolo 7 (Continuità): Paragrafi 1-2-3-4 sono da studiare. Del Paragrafo 5, il

Teorema 5 è solo da enunciare, mentre i Teoremi 6-7-6’-7’ sono esclusi.

●​ Capitolo 9 (Infiniti e Infinitesimi): I Teoremi 1 e 2 dei Paragrafi 1 e 2 sono solo da

enunciare, ma le osservazioni a pagina 248 sono importanti.

●​ Capitolo 11 (Teoremi sulle Funzioni Derivabili): I Teoremi 1-2-4 del Paragrafo 1

sono solo da enunciare, ma le osservazioni e gli esempi sono importanti.

●​ Capitolo 12 (Formule di Taylor): I Teoremi 1-9 sono per lo più solo da enunciare o

con parti specifiche da escludere.

2. Concetti Fondamentali di Insiemi

Numeri

Vengono definite le principali classi numeriche: numeri razionali (Q), interi (Z), reali (R). La

retta reale può essere messa in corrispondenza biunivoca con R.

Insiemi e Operazioni

Gli insiemi sono collezioni di elementi.

●​ Notazioni:

○​ A⊆B: A è contenuto o uguale a B.

○​ A⊂B: A è un sottoinsieme proprio di B (senza uguaglianza).

○​ A⊂B: "A non è contenuto in B".

●​ Operazioni:

○​ Unione (A∪B): Elementi che appartengono ad A oppure a B.

○​ Intersezione (A∩B): Elementi che appartengono ad A e a B.

○​ Differenza (A∖B): Elementi di A che non appartengono a B.

○​ Prodotto Cartesiano (A×B): Insieme delle coppie ordinate (x,y) con x∈A e

y∈B. In generale, A×B=B×A.

Induzione Matematica

Un principio per dimostrare proprietà che dipendono da N. Richiede:

●​ Base dell'induzione: P(0) è vera.

●​ Passo induttivo: Se P(n) è vera, allora P(n+1) è vera.

Successioni

Un'applicazione n→an​

da N (o una sua parte) a un insieme E. an​

è il termine generale e n

è l'indice. Una sottosuccessione è la restrizione di una successione a un sottoinsieme

degli indici.

Insiemi Numerabili

Un insieme E è numerabile se esiste una biezione (corrispondenza biunivoca) tra E e N.

Esempi di insiemi numerabili includono Z e Q. R non è numerabile.

Estremi Superiore e Inferiore

●​ Un insieme A⊆R è limitato superiormente se esiste un s∈R tale che a≤s per ogni

a∈A. s è un limite superiore.

●​ L'estremo superiore (supA) è il più piccolo dei limiti superiori. Se appartiene

all'insieme, è il massimo (maxA).

●​ Analogamente per limitato inferiormente, limite inferiore, estremo inferiore (infA)

e minimo (minA).

3. Applicazioni (Funzioni)

Definizione di Funzione

Un'applicazione f:A→B (o funzione) è una legge che associa a ciascun elemento x∈A un

solo elemento y=f(x)∈B.

●​ A è il dominio (o insieme di definizione/iniziale).

●​ B è l'insieme di arrivo (o codominio).

●​ L'insieme delle immagini C={f(x):x∈A} è il codominio di f.

Tipi di Applicazioni

●​ Iniettiva: Elementi distinti nel dominio hanno immagini distinte nel codominio.

●​ Suriettiva: Ogni elemento dell'insieme di arrivo B è immagine di almeno un elemento

di A (cioè, f(A)=B).

●​ Biiettiva: È sia iniettiva che suriettiva. Se f è biiettiva, esiste un'applicazione

inversa f−1:B→A che è anch'essa biiettiva.

Altre Operazioni sulle Funzioni

●​ Applicazione Composta (g∘f): Se f:A→B e g:B→C, allora g∘f:A→C è definita come

(g∘f)(x)=g(f(x)).

●​ Immagine Diretta di X (f(X)): Per X⊆A, è {f(x):x∈X}.

●​ Immagine Inversa di Y (f−1(Y)): Per Y⊆B, è {x:x∈A,f(x)∈Y}.

●​ Restrizione: La restrizione di f a un sottoinsieme E⊆A è fE​:E→B definita da

fE​(x)=f(x) per x∈E.

●​ Prolungamento: Un prolungamento è un'applicazione g su un dominio più ampio

F⊃A tale che g(x)=f(x) per x∈A.

4. Nozioni di Topologia in Rn

Distanza e Boccia

●​ Distanza: La distanza euclidea (o pitagorica) tra due punti x,y∈Rn è definita da

∣x−y∣=(y1​−x1​)2+…+(yn​−xn​)2 ​.

●​ Boccia (Palla): B(x,r) è l'insieme dei punti y∈Rn la cui distanza da x è minore o

uguale a r. In R2 è un disco, in R3 è una sfera. Una boccia aperta B∘(x,r) esclude il

bordo.

Insiemi Aperti e Chiusi

●​ Insiemi Aperti: Un insieme A⊆Rn è aperto se per ogni x∈A esiste una boccia

B(x,r) interamente contenuta in A.

○​ Proprietà: e Rn sono aperti. L'intersezione finita di aperti è un aperto.

∅

L'unione (finita o infinita) di aperti è un aperto. L'intersezione di un numero

infinito di aperti può non essere un aperto (es. ⋂An​={0} per An​=]−1/n,1/n[ non

è aperto).

●​ Insiemi Chiusi: Un insieme C⊆Rn è chiuso se il suo complementare Rn∖C è aperto.

○​ Proprietà: e Rn sono chiusi. L'unione finita di chiusi è un chiuso.

∅

L'intersezione (finita o infinita) di chiusi è un chiuso.

Punti Topologici

●​ Punto Interno: Un punto x∈E è interno ad E se esiste un intorno di x (una boccia

centrata in x) interamente contenuto in E. L'insieme dei punti interni di E è l'interno

di E (E∘). E è aperto se e solo se E=E∘.

●​ Punto Frontiera: Un punto x∈Rn è di frontiera per E se ogni intorno di x ha

intersezione non vuota sia con E che con il suo complementare. L'insieme dei punti

frontiera è la frontiera di E (Fr(E)).

●​ Punto di Accumulazione: Un punto x∈Rn è di accumulazione per E se in ogni suo

intorno cadono punti di E diversi da x. Ciò implica che in ogni boccia intorno a x

cadono infiniti punti di E. L'insieme dei punti di accumulazione è A′.

●​ Punto Isolato: Un punto x∈E è isolato se esiste un intorno di x che non contiene

altri punti di E oltre x stesso. Un punto di E è o isolato o di accumulazione.

●​ Punto di Aderenza: Un punto x∈Rn è aderente ad E se ogni intorno di x contiene

qualche punto di E. L'insieme dei punti aderenti è l'aderenza (o chiusura) di E (E).

Un insieme E è chiuso se e solo se E=E.

Insiemi Speciali

●​ Insiemi Densi: Un insieme G⊆E è denso in E se G=E. Esempi: Q è denso in R.

●​ Insiemi Compatti: Un insieme E⊆Rn è compatto se è chiuso e limitato. Proprietà

equivalente: ogni sottoinsieme di E con infiniti punti ammette un punto di

accumulazione appartenente ad E (proprietà di Bolzano-Weierstrass). Gli intervalli

chiusi e limitati [a,b] in R sono compatti.

●​ Insiemi Connessi: Un insieme E⊆Rn è connesso se non può essere "separato" in

due sottoinsiemi aperti disgiunti. In R, un insieme è connesso se e solo se è un

intervallo, una semiretta o tutto R. Esempio: Q non è connesso in R.

5. Limiti

Definizione di Limite di una Funzione

Sia f:A→Rq con A⊆Rp e x0​

un punto di accumulazione per A. Si dice che f(x) tende a

ℓ∈Rq quando x tende a x0​

(rimanendo in A e distinto da x0​) se per ogni intorno V di ℓ esiste

un intorno U di x0​

tale che f(U∩A∖{x0​})⊆V.

Proprietà dei Limiti

●​ Unicità del Limite: Se il limite esiste, è unico.

●​ Limite Destro e Sinistro: La funzione f ha limite destro (o sinistro) in x0​

se il limite

esiste per la restrizione a x>x0​

(o x<x0​). Se limf(x) esiste, allora i limiti destro e

sinistro esistono e coincidono.

●​ Teorema della Permanenza del Segno: Se limf(x)=ℓ=0, esiste un intorno di x0​

in cui

f(x) ha lo stesso segno di ℓ.

●​ Teorema del Confronto (dei due Carabinieri): Se g(x)≤f(x)≤h(x) in un intorno di x0​

e limg(x)=limh(x)=ℓ, allora limf(x)=ℓ.

●​ Limiti delle Restrizioni: Se limf(x)=ℓ, allora il limite di ogni sua restrizione a un

sottoinsieme con x0​

come punto di accumulazione è ℓ. Tuttavia, l'esistenza del limite

di una restrizione non implica l'esistenza del limite per la funzione originale (es.

funzione di Dirichlet).

Limiti di Successioni

Per una successione (an​)n​, il limite limn→+∞​an​=ℓ significa che per ogni intorno V di ℓ esiste

un nˉ tale che per ogni n>nˉ, an​ V. L'unico punto di accumulazione di una successione

∈

convergente è il suo limite.

Criterio di Cauchy

Una funzione (o successione) ammette un limite in R se e solo se soddisfa il criterio di

Cauchy.

6. Continuità

Definizione di Continuità

Una funzione f:A→Rq è continua in x0​ A se per ogni intorno V di f(x0​) esiste un intorno U

∈

di x0​

tale che f(U∩A)⊆V.

●​ Se x0​

è un punto di accumulazione, la continuità in x0​

è equivalente a

limx→x0​​f(x)=f(x0​).

●​ Se x0​

è un punto isolato, f è sempre continua in x0​.

Tipi di Continuità

●​ Continuità Destra/Sinistra: Si definisce analogamente ai limiti. Una funzione è

continua in x0​

se e solo se è continua sia a destra che a sinistra in x0​.

Classificazione delle Discontinuità

●​ Di I Specie Eliminabile: Il limite destro e sinistro esistono, sono finiti e coincidono,

ma limf(x)=f(x0​). Si può "eliminare" la discontinuità ridefinendo f(x0​).

●​ Di II Specie: Almeno uno dei limiti (destro o sinistro) non esiste o è infinito.

Proprietà delle Funzioni Continue

●​ Composizione: La composizione di funzioni continue è continua.

●​ Conservazione della Compattezza: Se A è un compatto e f è continua su A, allora

f(A)