Analisi matematica I - Appunti

Lezione 1 01/10/2012

La definizione di insieme non deve essere ambigua.

L'insieme vuoto è sottoinsieme di tutti gli insiemi.

Operazioni

• ∩ intersezione
• ∪ unione
• - ∖ differenza

Gli insiemi numerici

All'interno dei Reali si può operare con le 4 operazioni fondamentali ed introdurre una relazione d'ordine.

Prodotto cartesiano: A x B = {(a,b), a ∈ A, b ∈ B}

Insieme delle coppie ordinate degli elementi di A e di B.

Funzioni

Una funzione è una trasformazione che associa un solo elemento di A ad un elemento di B (funzioni univoche).

Dominio di F: sottoinsieme di A i cui elementi hanno corrispondente in B.

Immagine di f: insieme dei valori della funzione, alcuni lo chiamano Codominio.

Alle funzione viene associato il suo grafico G(f) ⊆ A x B.

La funzione è un particolare sottoinsieme.

Potrebbe essere utile restringere l'insieme di partenza.

A₁ ⊆ A, g con indìcì pref. A₁ → f_A1, restrizione della funzione dom g = A₁, ∩ dom f ad A₁.

L'estensione non ha un simbolo perché non è unica.

Lezione 1 01/10/2012

La definizione di insieme non deve essere ambigua.

L'insieme vuoto è sottoinsieme di tutti gli insiemi.

Operazioni

• ∩ intersezione
• ∪ unione
• -∖ differenza

Gli insiemi numerici

All'interno dei Reali si può operare con le 4 operazioni fondamentali ed instaurare una relazione d'ordine.

Prodotto cartesiano: A×B={(a,b), a ∈ A, b ∈ B}

Insieme delle coppie ordinate degli elementi di A e di B

Funzioni

Una funzione è una trasformazione che associa un solo elemento di A al più un elemento di B (funzioni univoche).

Dominio di f: sottoinsieme di A i cui elementi hanno corrispondente in B

• dom f ⊆ A

Immagine di f: insieme dei valori della funzione

• f(A) ⊆ B alcuni lo chiamano Codominio

Alla funzione viene associato il suo grafico G(f) ⊆ A×B

La funzione è un particolare sottoinsieme.

Potrebbe essere utile restringere l'insieme di partenza A ⊆ A.

• g con indf pert A₁ ⟹ f|_A₁ = restrizione della funzione
• dom g = A₁ ∩ dom f ad A₁

L'estensione non ha un simbolo xk non è unica.

Funzione Composta

A _f B _g C(g ° f)(a) = g (f(a))è possibile solo se f(a) ∈ dom g ≠ ϕdom g ° f = {a ∈ dom f | f(a) ∈ dom g}

Funzione Suriettiva

im f = B (tutti gli elementi di B sono immagini)

Funzione Iniettiva

Ogni elemento di B proviene da al più un elemento di A

Funzione Bivoca

dom f = A im f = Bquando f è sia iniettiva sia suriettiva

Valore Assoluto

Proprietà:

• |x| > 0
• |x| = 0 sse x = 0
• |x| |y| = |xy|
• |x+y| ≤ |x| + |y| (diseguaglianza triangolare)
• | |x| - |y| | ≤ |x-y|

Massimanti - Minimanti

M è maggiorante di A se

∀ a ∈ A a ≤ M un insieme che ammette maggiorante si dice limitato superiormente

∀ M ∈ N / k > M∀ n ∈ N 0 < |a| ≤ 1/n

a = 0Dim x assurdo a ≠ 0 |a| > 0Si può considerare allora:

|a| ≤ 1/n in questo modoaver trovato un maggiorante dell'insieme dei num naturali→ 1/n < 1/nla contraddizione

Intervalli

• {x, a < x < b} aperto (a, b)
• {x, a ≤ x ≤ b} chiuso [a, b]
• {x, a ≤ x < b} semiaperto [a, b)
• {x, a < x ≤ b} [a, b]

Illimitati:

• {x, x ≥ a} (a, ∞)
• {x, x ≥ a} [a, ∞)
• {x, x < a} (-∞, a)
• {x, x ≤ a} (-∞, a]

Funzione di Heaviside

= { 1 x>0 = 0 x