Analisi matematica I - Appunti

Lezione 1 01/10/2012

La definizione di insieme non deve essere ambigua

L'insieme vuoto è sottinsieme di tutti gli insiemi

Operazioni

• ∩ intersezione
• ∪ unione
• −\ differenza

Gli insiemi numerici

All'interno dei Reali si può operare con le 4 operazioni fondamentali ed instaurare una relazione d'ordine

X prodotto cartesiano: A x B {(a,b), a ∈ A, b ∈ B}

Insieme delle coppie ordinate degli elementi di A e di B

Funzioni

Una funzione è una trasformazione che associa un solo elemento di A ad un elemento di B (funzioni univoche)

Dominio di f: _sottoinsieme di A i cui elementi hanno corrispondente in B

dom f = A

Immagine di f: insieme dei valori della funzione

Im f ⊆ B alcuni lo chiamano Codominio

Alla funzione viene associato il suo grafico G (f) ⊆ A x B

La funzione è un particolare sottoinsieme

Potrebbe essere utile restringere l’insieme di partenza

• A ⊆ A₁ (con incl rist f_A1) = restrizione della funzione
• dom f = A₁ ∩ dom f

L'estensione non ha un simbolo xk non è unica

Gli insiemi

Descritti per gli elementi che hanno o per le proprietà degli elem. tenesi

Nel momento in cui si descrive un insieme si descrive anche il suo complementare

È possibile fare dei confronti

^N.B. dal confronto con 0 nasce la definizione di valore assoluto

|x| = { x se x > 0

|x| = { -x se x < 0

Funzione Composta

A _f B _g C

(g ° f)(a) = g (f(a))

È possibile solo se f(a) ∈ dom g ≠ ϕ

dom g ° f = {a ∈ dom f | f(a) ∈ dom g}

Funzione Suriettiva

Im f = B (tutti gli elementi di B sono immagini)

Funzione Iniettiva

Ogni elemento di B proviene da al più un elemento di A

Funzione Biunivoca

dom f = A Im f = B quando f è sia iniettiva sia suriettiva

Valore Assoluto

Proprietà:

• |x| > 0
• |x| = 0 sse x = 0
• |x| · |y| = |xy|
• |x + y| ≤ |x| + |y| (diseguaglianza triangolare)
• | |x| - |y| | ≤ |x - y|

Massimanti - Minimanti

M è maggiorante di A se ∀ a ∈ A a ≤ M

Proprietà di Archimede:

∀ M ∈ R ∈ N | m > M

se ∀ n ∈ n a ≤ | a | ≤ 1 / n

In questo modo aver trovato un maggiorante dell'insieme dei numeri naturali

Limitiati

x _n ≤ 1 / n

a = 0

a > 0

Dim x assurdo Se a > 0 | a | > 0

sub condizione allora |a| < 1 / n  

Intervalli

• { x, a < x < b } aperto (a,b)∪ ]a,b[
• { x, a ≤ x ≤ b } chiuso [a,b]
• { x, a ≤ x < b } semiaperto [a,b )
• { x, a < x ≤ b } [ a, b )

Illimitati:

• { x, x ≥ a } (a, ∞)
• { x, x ≥ a } [a, ∞)
• { x, x < a } (- ∞, a)
• { x, x ≤ a } (- ∞, a]

Un insieme che ammette minorante si dice limitato inferiormente se un minimo appartiene all'insieme ed è unico e si chiama MASSIMO

Capitolo 2

lim_x→±∞ f(x) = ±∞ ∀ε ∃ K_ε | ∀ε ∈ (dom ƒ), x > K_ε ⇒ ƒ(x) > (dom f). ε

lim_x→±∞ f(x) = ±∞ ∀ε ∃ K_ε | ∀ε ∈ (dom ƒ) ∩ I_ε(±∞) ⇒ ƒ(x) > ε

lim_x→x0 f(x) = l ∈ ℝ ∀ε > 0 ∃ I_ε | ∀ (dom ƒ), x ∈ x₀ ⇒ ƒ(x) - l < I_ε

lim_x→x0 f(x) = ±∞ ∀ε > 0 ∃ I_ε | ∀x ∈ I_ε (ε) ∃ (dom ƒ _ε) ƒ(x) ∈ I_ε(±∞) ∀x ∈ ƒ(x)(domƒ)(dom)^F

lim_x→x0 ƒ(x) = l ∈ ℝ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 | ∀x ∈ domƒ - ƒ(_ε) ∧ | x - x₀ | < δ

propietà degli intorni: l'intersezione fra due intorni dà sempre un intorno

Significati geometrica dei limiti

1. lim_x→±∞ ƒ(x) = ±∞

2. lim_x→±∞ ƒ(x) = l

Teorema: ƒ (x) è sup. limitata su (a,±∞), allora lim_x→±∞ ƒ(x)=±∞

Se ƒ = +∞ allora g(x)=f(x)+M

Se ƒ = +∞ e g(x)=M - ƒ(x) con M ≠ 0

1. g(x) = +∞ quando M > 0
2. g(x) = -∞ quando M < 0

Teorema di Confronto:

ƒ e g con lo stesso dominio che interseca ogni intorno di ±∞

Hp1 ƒ (x) > g(x)

Hp2 lim_x→±∞ g(x) = ±∞

TA lim_x→±∞ ƒ (x) = ±∞

Asintoti

• Orizzontale
  • destro: y=y₀ ∈ℝ   lim_x→+∞ f(x) = y₀
  • sinistro: y=y₀ ∈ℝ   lim_x→-∞ f(x) = y₀
• Verticale: x=x₀lim_x→x0⁺ f(x) = ±∞
• Obliquo: y=mx+q
  • lim_x→+∞ ^{f(x) - [mx + q]}/_x = 0
  • ^{f(x) - mx - q}/_x   il quoziente tende ancora a 0
  • ^f(x)/_x - ^mx/_x  ⇒  lim_x→+∞ ^f(x)/_x = m
  • lim_x→+∞ f(x) - mx = q

Limiti notevoli

• lim_n→+∞ (1 - ¹/_n)ⁿ = e
• lim_x→0 ^{ex - 1}/_x = 1
• lim_x→0 ^{ln(1 + x)}/_x = 1
• lim_x→0 ^{sen x}/_x = 1

Dim.

teorema del confronto

^x/_{sen x} < < ¹/_{cos x}

Funzioni iperboliche

• ^{ex + e-x}/₂ = cosh x
• ^{ex - e-x}/₂ = sinh x
• cosh² x = ¹/₄ (e^2x + e^-2x + 2)
• sinh² x = ¹/₄ (e^2x + e^-2x - 2)
• cosh² x - sinh² x = 1 (cosh x, sinh x)

Derivata del rapporto

f(x) = ₁^h(x) = g . h con g(y) = ₁^y

D _{ko 1}^h(x) = - ₁^{h² (x_o)} . h' (x_o) = -_{h' (xo)}^h²(x_o)

D K _k(x)^h(x) = _{k' (x) h (x) - k (x) h' (x)} ^{h² (x)}

se f' (x_o) = f' (x_o) = 0 (x - x_o) = ∃ f' (x_o) ∧ f' (x_o) = 0

Teorema

Se ∃ f' (x_o) = f(x) è continuo in x_o

T_s Lim _x→xo f (x) - f(x_o) = 0 Dim. _{f (x) - f (xo} ^{x - x_o} = 0

Teorema di Fermat

f(x) def su (a,b) con x_o ∈ (a,b) TA f' (x_o) = 0

• x_o E p.TO DI ESTREMO DI f(x) (o un massimo o un minimo)
• - f' (x_o)

lim_{x→xo f(x) - f (xo)} > 0 per x > x_o f(x)> f(x_o) =/⇒ f(x_o) non e' un massimo

--

lim_{x→xo f(x) - f (xo)} ^{x - x_o}

-∃ f' (x_o) su cui _{(xo - Ɛ , xo + Ɛ)}.

• su cui _{f(x) - f(xo})
• _{x - xo}

> 0 per x < x_o f(x)