Analisi matematica, secondo modulo - Appunti

Appunti del Corso di Analisi Matematica - Secondo modulo (ex Calcolo 2)

Prof. P. Natalini

AA 2008/2009

Nota importante: questi appunti sono stati presi da me a lezione, e integrati ove necessario con materiale reperito su siti web, libri, etc.

Questi appunti non sono assolutamente da ritenere come sostituto di materiale didattico “ufficiale” (libri, dispense etc.), ma come supporto allo studio personale; non sono inoltre né visionati né approvati dal Docente del Corso.

Non escludo che siano affetti da errori e/o imprecisioni, e declino ogni responsabilità sull'uso che si farà di questo fascicolo.

Es

f(x) = C (funzione costante)

∫_a^b dx = ?

G_n = b - a Σ f(x_i) = b - a Σ C

= b-a Σ C = (b - a)C

La difficoltà nell'applicare la definizione sta nel fatto che non sempre si riesce a dare una forma chiusa all'espressione.

Es

f(x) = x

∫₃^b f(x) dx = ∫_a^b x dx = ?

La prima cosa da fare è chiedersi se la funzione integranda è continua in [a, b].

G_n = b-a Σ x_i

= b - a Σ x_i

La somma di x vale x₁ + x₂ + ... + xₐ, riusciamo a dare una forma chiusa all'espressione?

Abbiamo scelto una decomposizione con tutti gli intervalli della stessa ampiezza, quindi:

x₁ = a + b-2

x₂ = a + 2 b-2

...

x_n = a + i b-a

G_n = b-a Σ (a + i b-a ) = b-a Σ a + b-a Σ i b-a

= b-a (na + b-a Σ i)

= (nb-a) Σ i

=i = (nb-a) Σ i = (b-a) Σ i

-1 Σ i =lim Σ 1

=² Σ i (2 b-a, 1) + a, 1 i = Σ a b¹

+ 2ab Σ

lim Σ n(a-2

Dim

Poiché F( x ) è

Per il primo teorema fondamentale risulta

F’( x )= ξ( x )

F( x )= G( x ) + C

F( a )= ∫ _a ^a ξ(t )dt = 0

⇒ G( a ) + C = 0

⇒ C = -G( a )

⇒ F( x ) = ∫ _a ^x ξ(t )dt = G( x ) - G( a )

A questo punto tutto sembra semplice: il problema è che la primitiva F va prima di dover calcolare, ed è qui che risiede la difficoltà del calcolo integrale.

Integrale indefinito

Il problema che si affronta è trovare tutte le primitive di F.

∫ F( x )dx

Questo simbolo rappresenta dunque una famiglia di funzioni del tipo F( x ) + c

con F( x ) primitiva di ξ( x ) e c ∈ ℝ

Per calcolare questo integrale quindi dobbiamo prima trovare tutte le primitive di ξ(x)

Es

∫ 1 / x dx

1 / x continua in (-∞,0)∪(0,+∞)

Il dominio non è un intervallo, ma posso suddividere il problema in due problemi, ognuno calcolato in un intervallo

1. x > 0

φ( x )= log x è una primitiva di 1 / x in (0,+∞)

∫ 1 / x dx = log x + c

Andiamo a trattare ora le funzioni: tangente e cotangente iperbolica

y=f(x)=tanhx=

Per il codominio calcoliamo prima la derivata:

y'=f'(x)=

Comportamento agli estremi:

• dobbiamo togliere la forma indeterminata:

quindi:

y=f(x)=tanhx=

Per il grafico:

x=f^-1(y)=arcsech(y)=-1,1

è derivabile in -1,1

:

=-

• d∫1/1-y²dx=arctanh+c

Integrazione per parti:

∫(d/dx[f(x)g(x)])dx

Questo integrale in realtà è, immediata una primitiva e i f(x)g(x).

All’interno dell’integrale possiamo applicare la regola di derivazione di un prodotto e la proprietà di linearità degli integrali:

∫(d/dx)(f(x)g(x))dx =∫f'(x)g(x)dx + ∫f(x)g'(x)dx

∫(d/dx)(f(x)g(x))dx = f(x)g(x)dx

=∫g(x)g(x)=f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dx => ∫f(x)g(x)dx = f(x)g(x)-∫f'(x)g'(x)dx

oppure

∫f(x)g'(x)dx=∫f(x)g(x)-∫f'(x)g'(x)dx

Questa formula è utile se so calcolare un integrale e non l’altro

es

∫log xx = ∫(log x) (d/dx) xdx    f(x)=log x ]

= x•log x - ∫ log x dx

= x•log x - ∫dx = x log x - x + C

es

∫e^x _{cos x dx} = ∫e^x(d/dx)(sen x)dx

= e^xsen x - ∫ e^x dx

= e^x sen x + ∫ e^x(-cos x)/x dx

= e^xsen x + e^xcos x + C

A =

A(x + b) - (Bx + C)(x - b)(x

2 + c){

x(x + 2 x) f(b + c) x - (B - d - e))l©log(x + 2)

x

x + 1) A: \ p = f + 8A + 10

(A + b)x = (B-A +b + C}

• 1 - x *(A + b) (x6+b =B: +C : b:
• \ A + B =0
• 0 x (B + c)x5 + (8A + Bx)

5: = 5 : 116 \ Cx:

\

• (A = 6/25
• B:= -6/Cx)
• C:= 56625
• d: 4):,
• e: 39’3):

• = x + 1: 5x, A+b x BR0)
• 1-5y (2A+ 4x56
• 2s/x + ((B>A2+4))
• 39yx9yx

6 {- (e log(x+1 p2’D log (x =

\

• \
• ::=; ;

)CB)g]:\-c/IND

E5:

f (X

4+;)+

::+xfg 2 - (Cker) x - -AB + A < btcxg)

276

• 4+b:(_:
• C. S:E
• (A= A.

A:=-4/4=0.A= -1

• 21}A=f=x-F4’+/-(
• 4+6 =0
• 4/.-AE+A.C1\:

T:fg-4-=??

∫ (2x + 4) / ((x-3)(x-4)) dx

= ∫ A / (x-3) dx + B / (x-4) dx

= A log|x-3| + B log|x-4| + c

= A / (x-3) + B / (x-4) = 2x + 4 / ((x-3)(x-4))

• A (x-4) + B (x-3) / ((x-3)(x-4)) = 2x + 4 / ((x-3)(x-4))
• ( A + B ) x - 4A - 3B = 2x + 4
• 4A + 3B = -4
• A + B = 2
• A = -7
• B = 9

-∫((2x + 4) / ((x-3)(x-4))) dx

= -7 log |x-3| + 9 log |x-4|

15.12.2008 - Lezione 7

Proprietà delle successioni

Dobbiamo dare 2 risultati sulle successioni:

1. Teorema: Sia {a_n} una successione strettamente monotona.

Allora la successione è regolare

                                                                   {a_n} lim a_n = l

Questo teorema ha 2 sottocasi:

1.1

                                                           {a_n}    lim sup    lim a_n = ∞

Si dimostra applicando le definizioni di: successione strettamente crescente e successione lim sup

1.2

                                                             {a_n}    lim sup ℓ    lim a_n = ℓ

Due versioni "simmetriche" si hanno per le successioni strettamente decrescenti

1.3

                                                         {a_n}    lim inf    lim a_n = −∞

1.4

                                                        {a_n} min inf    lim a_n = m

Vediamo come questo enunciato si ricollega alla teoria delle serie:

Teorema: Sia a_k > 0                                 ∀k∈N (serie a termini di segno positivo).

Allora la serie è regolare (convergente o divergente)

Dim (deriva dai risultati del teorema precedente)

Dobbiamo dimostrare che la successione delle somme parziali è regolare

S_n=Σak_i

Siccome la serie è a termini di segno positivo vale

                 S_m < S_m+1

La successione è strettamente crescente quindi per il teorema precedente è regolare.

Lo stesso risultato si può dare per serie a termini di segno negativo

Il secondo risultato è la condizione di convergenza di Cauchy di una successione