Analisi Matematica I - Riassunto esame e Formulario, prof. Vegni

N. B.

a^x = b ⟹ x = log_ab

log_a1 = 0 perché a⁰ = 1

log_aa = 1 perché a¹ = a

a^log_ab = b

a^x = e^{x ln a}

(0,1) (π/6, √3/2, 1/2) (π/3, 1/2, √3/2) (π/2, 0,1)

CONDIZIONI DI ESISTENZA

1. y = A(x)/B(x) ce: B(x) ≠ 0
2. y = √f(x) m disparo ce: ∀x∈ℝ
3. y = ^{m √}f(x) m paro ce: f(x) ≥ 0
4. y = f(x)^g(x) ce: f(x) > 0
5. y = log_a f(x) ce: f(x) > 0
6. y = tg f(x) ce: f(x) ≠ π/2 + kπ
7. y = arcosen f(x), arcos f(x) ce: -1 ≤ f(x) ≤ 1
8. y = arg f(x) ce: ∀x∈ℝ

Cuspide

\(\Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0} y' = \pm \infty\)

Angoloso

\(\Rightarrow \lim\limits_{x \to x_0} y' = \pm l\)

f(a) = y = f(x) \(\Rightarrow\) y - f(x_0)= f'(x_0)(x-x_0)

Secondo teorema: \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

Se due funzioni hanno lo stesso limite non è detto che siano asintotiche

es: f(x) = x   g(x) = x²

lim_x→0 f·g = lim_x→0 ((x·x²) = 0

Ho:

f = g·h

x ≠ x²·h (h→1)

Due funzioni, per essere N, devono tendere al limite allo stesso modo, con la stessa velocità.

Algebra di N

1) per x→x₀

se f^α ≈ g^α => f^α ≈ g^α   ∀α

10⁰f^α·g·h → 1

f^α = g^α·h_α   h_α → 1

= f^α·h_α

= => f^α ≈ g^α

oss se α = -1 =>   => 1 &emspư;    1 ^f   g

per x → x₀

se h → 0 h ∈ infinitesimo

se h → ±∞ h ∈ infinita

Grafici

f(x) = | x |

f(x) = x²

f(x) = x³

f(x) = x^1/2

f(x) = x^1/3

f(x) = x^-2

f(x) = x^-3

f(x) = x^-1/2

f(x) = x^-1/3

α > 1

α = 1

α < 1

f(x) = x^α

Funzioni Pari:

f(x) = f(-x)

Funzioni Dispari:

f(x) = -f(x)

kf(x) → dilatazione lungo y

f(kx) → cambia frequenza, allarga/restringe lungo x

Traslazione

f(x+k) → k>0     k<0

Lim_{x → 0} sin x / x = 1

Posto x>0:

HP = sin x

AT = tg x = cos x / sin x

AP = x

Legge dei tratti:

1/P·sin x ≤ 1/P·x ≤ 1/P·tg x

sin x ≤ x ≤ tg x

Divido per sin x:

1/x ≤ sin x/cos x·1/x

cos ≤ sin x / x

Quindi per teorema del confronto:

Lim_{x →0⁺} sin x / x = 1

Il derivato di f in x₀ è il limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento h.

lim_h→0 [f(x₀+h) - f(x₀)]/h = f' (x₀)

La derivata esprime un pendenza della retta tangente al grafico di f in x₀.

Derivate delle funzioni elementari:

• f = x^α → f' = αx^α-1
• f = cost → f' = 0
• f = lnx → f' = 1/x
• f = tgx → f' = 1/cos²x
• f = senx → f' = cosx
• f = arcsenx → f' = 1/√(1 - x²)
• f = cosx → f' = -senx
• f = arcosx → f' = -1/√(1 - x²)
• f = e^x → f' = e^x

PUNTO STAZIONARIO DI f (DERIVABILE): OGNI PUNTO X₀ TALE CHE:

f' (X₀)=0

DERIVABILITÀ IN X₀ → CONTINUITÀ IN X₀

La continuità è necessaria per la derivabilità. La derivabilità è sufficiente per la continuità.

DIM

(P) f è derivabile in X₀:

lim_h→0 (f(X₀+h) - f(X₀)) / h = m

lim_h→0 (f(X₀+h) - f(X₀)) / h = m = f' (X₀)

Divido per m:

lim_h→0 (f(X₀+h) - f(X₀)) / m·h = 1 → (m/m)

Per h→0

f(X₀+h) - f(X₀) ≈ m·h

f(X₀+h) - f(X₀) ≈ m·h ⇔ f(X₀+h) - f(X₀)=m·h + o(h)

f(X₀+h) = f(X₀) + m·h + o(h)

f(X₀+h) → f(X₀)

Lim_h→0 f(X₀+h) → f(X₀)

Trince una valutazione in X₀, è un df di continuità

Introduco e funzioni disisiori, continui (e infinitesi mg) per x->x₀.

θ(x) - T_m(x) = ½ (1) = ^(x-x₀)m+1 / (m+1)! e^(m+1)(x) w(x) = (x-x₀)^m+1 e^(m+1)(x) w(x₀) = 0 ⇒ f e T_m hanno questo valutazione in x₀ (perché) w(x₀) = 0

θ¹ - f¹(x) = 0, .. - T(x) w¹(x) = (m+1)(x-x₀)^m

• θⁱ(x₀) = 0
• wⁱ(x₀) = 0

Proseguengo per k ε [m

• θ^(k)(x₀) = 0, w^(k)(x₀) = 0

Perde il contranto fra θ e T_m e di ordine m. Si ponendo un čaylor ho grado m, lo usando (m+1) ≤ 0, ⇒ _Tm+1

• T = x⁴
• T' = 4x³
• T'' = 4.3x²
• T''' = 4.3.2.x
• T^iv = 4.3x² = 0

Considero il rapporto fra θ(x) e w(x) per x -> x₀

θ(x) / w(x) = θ(x) - θ (> x₀) / w (x) = w(x) w'(x₁) = per LF, di ougiv, esiste un punto fra x₀ e x₁, in cui il rapporto fra un incrementale - uguale a rapporto fra le derivate

θ'(x₁) - θ'(x₁) / w'(x₁) - w'(x₁) ^q w'''(x₃) / w'''(x₃) per Lwm volto mg a disposione (m+1)' deownika

• ₁ / θ^(m)(x_m)
• θ^(m)(x_m) - θ(0) / w^(m)(x_m)
• w^(m)(x_m) - w^(m)(x₀)
• ∫(m+1) (0) / w^(m+1)(0) = (m+1)! / w^(m+1)(0)

Proprietà:

• Ogni funzione continua su [a,b] è R-int.
• Ogni funzione tuttora in [a,b] con un numero finito di discontinuità è R-int.

N.B. La funzione di Dirichlet ha un numero infinito di discontinuità.

Dato una funzione y=f(x) nell'intervallo (a,b), chiamiamo F(x) primitiva di F ogni funzione tale che il derivato di F è f per ogni punto dell'intervallo.

F(x) primitiva di F' ^{F' = f ∀ x ∈ (a,b)}

N.B. Le primitive di una funzione assegnata sono un fascio di funzioni che differiscono per uno costante positivo arbitraria.

Teorema.

L'integrazione di derivazioni è lineare.

(αf+βg)' = αf' + βg'

Per la linearità delle derivazioni sono linear anche le primitive. => è linear anche l'operazione di calcolo delle primitive.

Notazione

lim _M→+∞ ^{Σ m=1} f(αi) (x _i- x _i-1) = ^{∫ b} _a f(x) dx