Analisi Matematica I - Riassunto esame e Formulario, prof. Vegni

Name: Analisi Matematica I - Riassunto esame e Formulario, prof. Vegni
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Riassunto di Analisi 1 (modulo a). Contiene definizioni, schemini (molto utili), tutte le formule necessarie, nozioni teoriche, teoremi TUTTI dimostrati, definizioni dimostrate.Argomenti …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria dei processi industriali

Dal corso del Prof. Vegni Federico Mario Giovanni

Università Politecnico di Milano

A.A. 2013-2014

47 pagine

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Estratto del documento

Logaritmi e condizioni di esistenza

log_aa⁰ perché a⁰ = 1
log_aa = 1 perché a¹ = a
log_ab = b

a^x = e^x ln a

Condizioni di esistenza

y = A(x)/B(x) ce: B(x) ≠ 0
y = √^m f(x) m disparo ce: ∀ x ∈ ℝ
y = √^m f(x) m pari ce: f(x) ≥ 0
y = f(x)^g(x) ce: f(x) > 0
y = log_af(x) ce: f(x) > 0
y = tg f(x) ce: f(x) ≠ π/2 + kπ
y = arc cos f(x) ce: -1 ≤ f(x) ≤ 1
y = arctg f(x) ce: ∀ x ∈ ℝ

N.B.^{a^x}=b ⟶ x = log_ab

log_a1 = 0 perché a⁰ = 1

log_aa = 1 perché a¹ = a

a^log_ab = b

a^x = e^{x ln a}

Condizioni di esistenza ripetute

y = ^A(x)/_B(x) C.E.: B(x) ≠ 0
y = ^m√f(x) m dispari C.E.: ∀x ∈ ℝ
y = ^m√f(x) m pari C.E.: f(x) ≥ 0
y = f(x)^g(x) C.E.: f(x) > 0
y = log_af(x) C.E.: f(x) > 0
y = tg f(x) C.E.: f(x) ≠ ^π/₂ + kπ
y = arccos f(x) C.E.: -1 ≤ f(x) ≤ 1
y = arc f(x) C.E.: ∀x ∈ ℝ

Limiti e asintoti

Orizzontale ⇒ lim y' = ±∞

Obliquo ⇒ lim y' = ± lt

a y = f(x) ⇒ y₀ - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)

Secondo passaggio: f'(c) = ^{f(b) - f(a)}⁄_{b - a}

Funzioni iperboliche

Seno iperbolico: _Shx = ^{e^x - e^-x}/₂, dispari, Sh(0) = 0
Coseno iperbolico: _Chx = ^{e^x + e^-x}/₂, pari, Ch(0) = 1
Tangente iperbolica: _Thx = ^{Sh x}/_{Ch x} = ^{e^x - e^-x}/_{e^x + e^-x}, dispari, Th(0) = 0

NB _{Ch x}² - _{Sh x}² = 1

Derivate

y = Sh x y' = Ch x
y = Ch x y' = Sh x
y = Th x y' = ¹/_{(Ch x)²}

Sviluppi

Sh x → x + ^x³/_3! + ^x⁵/_5! + ...
Ch x → 1 + ^x²/_2! + ^x⁴/_4! + ...

Integrali

∫ Sh x = Ch x
∫ Ch x = Sh x
∫ Th x = ln Ch x

Sostituzione

Sh x = ^2T/_{1 - T²}
Ch x = ^{1 + T²}/_{1 - T²}
Th x = ^{Sh x}/_{Ch x} = ^2T/_{1 + T²}
T = Th(^x/₂)

Limiti

Preso un punto di accumulazione x₀ per x (reale o { } ),

lim _x→x₀ f(x) = l se per ogni intorno del valore limite di raggio ε esiste un altro intorno di raggio δ del punto x₀ tale che tutte le valutazioni della funzione fatte nell'intorno di x₀, escluso al più x₀, stanno nell'intorno di raggio ε: ∀ B_ε(l) ∃ B_δ(x₀) | ∀ x ∈ B_δ(x₀) ∩ X \ {x₀} , f(x) ∈ B_ε(l)

lim _x→+∞ f(x) = l ∀ B_ε(l) ∃ a | ∀ x > a ∧ x ∈ X , f(x) ∈ B_ε(l)

lim _x→−∞ f(x) = l ∀ B_ε(l) ∃ a | ∀ x ε(l) lim _x→x₀ f(x) = +∞ ∀ a ∃ B_ε(x₀) | ∀ x ∈ B_ε(x₀) ∩ X \ {x₀} , f(x) > a

\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \forall a \exists B_\epsilon(x_0) \ \forall x \in B_\epsilon(x_0) \land x \ne x_0, f(x)

Asintotico e proprietà

(N) Preso x₀, punto di accumulazione del dominio naturale di due funzioni f e g,

f ∼ g, per x &to; x₀ (nell'intorno di x₀)

Se f(x) = g(x) ċ h(x) e h(x) &to; 1

\left[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \right]

Proprietà

Se due funzioni sono N (nell’intorno di x₀) allora hanno lo stesso limite.

Se f ∼ g (per x &to; x₀) ⇒ \lim_{x \to x_0} f = \lim_{x \to x_0} g

f = g ċ h \ h &to; 1

Se \lim_{x \to x_0} g = l allora \lim_{x \to x_0} f = \lim_{

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