Analisi matematica - parte 2

Teorema dim S₀ = n

(L(y) = ay⁴ + 6y³ + cy

dim S₀ = 2

• y₁, y₂ ∈ S₀

S₀ = {c₁y₁ + c₂y₂, c₁, c₂ ∈ ℝ}

L(y) = 0

L(y) = y⁴ - y - 24

• y₁(x) = e^-x
• y₂(x) = e^x
• y₁, y₂ ∈ S₀

y₁ = e^-x

y₁ = e^x

(L(y₁) e^-x e^-x – 2e^-x = 0

• y₂ = 2e^x
• y₁ = 2e^x

(L(y₂) = 4e^x 2e^2x e^2x = 0

S₀ = {c₁e^x + c₂e^2x, c₁, c₂ ∈ ℝ}

Problema di Cauchy

y⁴ - y^' - 2y = 0

y(0) = 3

y^'(0) = 5

Soluzione generale y_g(x) = c₁e^-x + c₂e^x

y'₁(x) = c₁e^-x + 2cp e^x

y(0) = c₁ + c₂ = 3

y^'(0) = c₁ + 2c₂ = 5

• c₂ = 8/3
• c₁ = 1/3

Soluzioni prob di Cauchy

y_c(x) = 8/3e^x + 4/3e^x

x ∈ ]-∞, +∞[

Come ho fatto a determinare le soluzioni?

2) ay²+by¹+cy=0

Dobbiamo andare per tentativi ... polinomio ... le derivate devono assomigliare molto alla funzione iniziale ... esponenziali...

Cerchiamo soluzioni di 2) della forma y(k)=e^λx

Determiniamo λ affinché sia soluzione

y^(k)(x)=λ^ke^λx

(e^λx)''=aλ²e^λx + bλe^λx + ce^λx

=e^λx(aλ²+bλ+c)

Desiderato = 0

Lo è se e solo se 3) aλ²+bλ+c = 0

Equazione caratteristica di 2)

2s) y⁴-3y¹ -2y=0

3) λ² - λ - 2=0 → λ= 1±√3 / 2 → -1 / 2

y₁(x)=e^λx

y₂(x)=e²

Sono soluzioni di 2 Lin. av. ind.

Se 3) ha due soluzioni reali λ₁ ≠ λ₂, allora la soluz. generale di 2) è c₁e^λ₁x + c₂e^λ₂x (Δ>0)

2s) y⁴+3y¹ = 0

3) λ² + 3λ = 0 → λ = 0 ∨ λ = -3

Soluzioni di 2)

y₂(x)=C₁ + C₂e^-3x

Moto armonico semplice

my'' = -ky

-m y'' + ky = 0

m λ² + k = 0

λ² = ^k/_m

Soluzioni di λ²

c₁ cos(^√k/_m x) + c₂ sin(^√k/_m x)

y(0) = y₀

y'(0) = v₀ = 0

y(x) = c₁ ^√k/_m sin(^√k/_m x) + c₂ ^√k/_m cos(^√k/_m x)

y(0) = c₁ = y₀

y'₀ = c₂ = 0

y(x) = y₀ cos(^√k/_m x) peridoia 2π/√^k/_m

Per essere più precisi, dovrebbe cambiare segno ai qualche estremo

Metodo generale per trovare ℓ(x) quando y₀ è ℓ. Metodo della variazione delle costanti

1. ay′′ + by′ + cy = f(x)

• Si risolve (∗) trovando le soluzioni: C₁y₁(x)+C₂y₂(x)
• Si cerca ℓ(x) nella forma ℓ(x) = p(x)y₁(x) + q(x)y₂(x)

ap̀ y₁ + aq̂ y₂

3°

p y₁′ + q y₂′ + p y₁′ + q y₂′

la pongo come condizione perché non vogliamo le derivate secondo p e q

2°′

p y₁′′ + q y₂′′ + p y₁′ + q y₂′

I(x) = a y₁′′ + b x₁′ + c x₁

a p y₁′′ + aq y₂′′* a p y₁′ + aq y₂′ + p(c y₁ + q c y₂

• (y₁)
• (y₂)

= aṗ y₁ + aq̂ y₂)

desiderato = f(x)

{ p y₁ + q y₂ = 0

p y₁′ + q y₂′ = f(x)

a

1_E5

y₁″ = y₁ = 1 1 +e x²

2° y′′ + y = 0

1^{x 2} + λ = 0 1−1

soluz.

C₁ + C₂e^x

• y₁(x)=1
• y₁(x) = 0
• y₂(x) = e^−x
• y₂(x) = e^−x