Analisi matematica - parte 2

Teorema dim S₀ = n

l(y) = ay^ʺ + by^' + cy

dim S₀ = 2

y₁, y₂ ∈ S₀

S₀ = {c₁y₁ + c₂y₂, c₁, c₂ ∈ ℜ}

l(y) = 0

l(y) = y^ʺ - y - 2y

y₁(x) = e^-x

y₂(x) = e^x

y₁, y₂ ∈ S₀

y₁ = e^-x

y₁^ʺ = e^-x

(l(y₁)) = e^-x - e^-x - 2e^-x

y₂ = e^x

y₂^ʺ = e^x

(l(y₂)) = 4e^x 2e^x + 2e^x

S₀ = {c₁e^2x + c₂e^2x, c₁, c₂ ∈ ℜ}

Problema di Cauchy

y^ʺ - y - 2y = 0

y(0) = 3 y(0) = 5

Soluzione generale

y_g(x) : c₁e^-x + c₂e^2x

y_g(x) + c₁e^-x + 2c₂e^2x

{c₁ = 8/3

c₂ = 1/3

λ = 1/3}

Soluzioni prob di Cauchy

y(x) = 8/3 e^-x + 1/3 e^2x, x ∈ | −∞, +∞ |

Teorema dim So=n

l(y) = ayⁿ + byⁿ + cy

dim So = 2

y₁, y₂ ∈ So

So = {c₁y₁ + c₂y₂, c₁, c₂ ∈ ℝ}

l(y) = 0

l(y) = y" - y' - y - 2y

y₁(x) = e⁻ˣ

y₂(x) = eˣ

y₁, y₂ ∈ So

y₁' = -e⁻ˣ

y₁" = e⁻ˣ

(l(y₁)) = e⁻ˣ - e⁻ˣ - 2e⁻ˣ = 0

y₂' = eˣ

y₂" = eˣ

(l(y₂)) = eˣ - eˣ - 2eˣ = 0

So = {c₁e⁻ˣ + c₂eˣ, c₁, c₂ ∈ ℝ}

Problema di Cauchy

y" - y' - 2y = 0

y(0) = 3 y'(0) = 5

Soluzione generale

yₙ(x) = c₁e⁻ˣ + c₂eˣ

y₁'(x) = c₁e⁻ˣ + 2c₂eˣ

y(0) = (c₁ + c₂) = 3

y'(0) = -c₁ + 2c₂ = 5

{ c₂ = 8/3

c₁ = 1/3

Soluzioni prob di Cauchy

y(x) = 8/3 eˣ + 1/3 e⁽⁻ˣ⁾

x ∈ ℝ -∞, +∞

Come ho fatto a determinare le soluzioni?

2y^''+6y^'+cy=0

l(y)

Dobbiamo andare per tentativi... polinomi ed esponenziali.

Le derivate devono assomigliare molto alla funzione iniziale.

Cerchiamo soluzioni di (2) della forma y_(k)=e^λx

Determiniamo λ affinché sia soluzione

y₍₁₎(x)=xe^λx

l(y_(k)) = λ²e^λx

{e^λx=aλ²e^λx+bλe^λx+ce^λx}

=e^λx(aλ²+bλ+c)

desiderato=0

Io λ se e solo se (3) aλ²+bλ+c=0

Equazione caratteristica di (2)

(2)y^''-y^'-2y=0

(3) λ²-λ-2=0

λ = 1±√β/2

y₍₁₎(x)=e^x

y₍₂₎(x)=e^2x

Sono soluzioni di (2) linearmente indipendenti

(3) ha due soluzioni nedi λ₁≠λ₂ allora la soluz generale di (2) è

(5)y^''+3y^'=0

(3) λ²+3λ=0

λ = 0 ν λ = -3

Soluzioni di (2)

y_(x)=c₁+c₂e^-3x

Se λ ha una soluzione reale doppia e quindi Δ=0

λ₀ = -b_2a

λ = -b ± √(b² - 4ac)_2a

2) 4y'' + 4y' + y = 0

4) λ² + 4λ + 1 = 0

(2λ + 1)² = 0 → λ₀ = -1₂

Una soluzione di 2) è y₁(x) = e^-1/2

Una altra soluzione di 2) è y₂(x) = x e^λ₀x

y₁(x) = e^λ₀X e^-1/2x

[ e^λ₀x = e^λ₀x ]

y(x) = e^λ₀x ( a λ_0² x + b λ₀x + c x )

[ e^λ₀x = e^λ₀x ]

= e^λ₀x ( ( 2a λ₀ + b ) x + ( a λ_0² b λ₀ + c x )

= e^λ₀x ( 2aλ₀x + b b x + cx )

y(x) = e^λ₀x ( ( 2aλ₀+b)x + (aλ_0²bλ₀+c)x ) = 0

x = ^{(2aλ₀+b) x} + c x = 0

2b⁰+c = 0

Se 2b⁰+c = 0

x₀= -b_2a

2β 4y'' + 4y' + 4y = 0, y(0) = -1 , y'(0) = 0

3β 4λ² + 4 λ +1 = 0 , λ = -1₂ doppia

Le soluzioni di 2) sono

y(x) = C₁e^-1/2 + C^{2x e-1/2x}

y'(x