Esercizi Analisi matematica 2

A

3 −1 2 2 2

essendo A = {(x, y, z) ∈ R : z ≥ 2 , x + y + z ≤ 1}.

5) Data la forma differenziale lineare seguente

2 2 2 2 4

x + y + 2x x y + y + 2y

dx + dy

2 2 2 2

x + y x + y

calcolarne l’integrale curvilineo esteso al cammino di equazioni parametriche

x(t) = 1 + 2 cos t, y(t) = sin t, t ∈ [0, π].

6) Risolvere il problema di Cauchy

 0

y = y + 4y

 1 2

1











 0

y = 2y − y

 1 2

2



 y (0) = 1



 1







 y (0) = 0

2

CdL in Fisica

Prova scritta di Analisi Matematica II

del giorno 06-06-2008

1) Data la funzione p 2

4 2 2

f (x) = xy x + y : R → R 2

studiare l’esistenza e la continuità delle sue derivate direzionali in ogni punto di R .

Dire, quindi, in quali punti essa è differenziabile, giustificando la risposta.

2) Data la funzione 2 2

3 y−x 2

f (x, y) = y + 2y + e + x − cos(y − x) + h : R → R

determinare i valori di h ∈ R per i quali f (1, 1) = 0. Per tali valori dire se l’equazione

f (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione y = y(x) in un intorno del punto

x = 1. In caso di risposta positiva, studiare la natura di tale punto per la funzione

implicita.

3) Data la funzione 2

2 4

f (x, y) = x − 2x + y : R → R

determinare i punti di estremo relativo vincolato di f sotto la condizione

3 2

g(x, y) = (x − 1) − y = 0

se ne esistono.

4) Si calcoli il seguente integrale doppio

ZZ 5 −2

t y dtdy

A

2 3 3 3 3

essendo A = {(t, y) ∈ R : t ≤ y ≤ 2t , t + 2y ≥ 1 , t + y ≤ 1}.

5) Risolvere il seguente problema di Cauchy

2 2

x + y + 2x

0

y = , y(1) = 1.

2y

6) Risolvere il seguente sistema

 0 = 3y + y

y

 1 2

1





 0 = y + 3y

y 1 2

2







 0

y = −y − y + 2y

1 2 3

3

CdL in Fisica

Prova scritta di Analisi Matematica II

del giorno 06-06-2008

1) Data la funzione p 2

4 2 2

f (x, y) = xy x + y : R → R 2

studiare l’esistenza e la continuità delle sue derivate direzionali in ogni punto di R .

Dire, quindi, in quali punti essa è differenziabile, giustificando la risposta.

2) Data la funzione 2 2

3 y−x 2

f (x, y) = y + 2y + e + x − cos(y − x) + h : R → R

determinare i valori di h ∈ R per i quali f (1, 1) = 0. Per tali valori dire se l’equazione

f (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione y = y(x) in un intorno del punto

x = 1. In caso di risposta positiva, studiare la natura di tale punto per la funzione

implicita.

3) Data la funzione 2

2 4

f (x, y) = x − 2x + y : R → R

determinare i punti di estremo relativo vincolato di f sotto la condizione

3 2

g(x, y) = (x − 1) − y = 0

se ne esistono.

4) Si calcoli il seguente integrale doppio

ZZ 5 −2

t y dtdy

A

2 3 3 3 3

essendo A = {(t, y) ∈ R : t ≤ y ≤ 2t , t + 2y ≥ 1 , t + y ≤ 1}.

5) Risolvere il seguente problema di Cauchy

2 2

x + y + 2x

0

y = , y(1) = 1.

2y

6) Risolvere il seguente problema y(x)

00 0 x =0

y − 2y + y = e , y(0) = 0 , lim x

xe

x→0

CdL in Fisica

Prova scritta di Analisi Matematica II

del giorno 27-06-2008

1) Data la funzione ½ 2 2 −1 α

(x + y ) |y| sin x (x, y) 6 = (0, 0) 2

f (x, y) = : R → R

0 (x, y) = (0, 0)

studiarne la continuità e la differenziabilità nell’origine, al variare del parametro reale

positivo α.

2) Data la funzione 2

2 2 x−y

f (x, y) = y − 3xy + 2x − (x − 1)e : R → R

dire quante funzioni implicite l’equazione f (x, y) = 0 definisce in un intorno del punto

x = 1. Determinare la natura del punto x = 1 per tali funzioni.

3) Data la funzione 2

2 4 6

f (x, y) = (y − arctgx) (x − x ) : R → R

determinarne i punti di estremo relativo, se ne esistono.

4) Si calcoli il seguente integrale doppio

ZZ 5 2 6 −1

y (x + y ) dxdy

A

2 2 6 3

essendo A = {(x, y) ∈ R : 1 ≤ x + y ≤ 2, x ≥ y ≥ −1, x ≥ 0}.

5) Risolvere l’equazione differenziale seguente

2 00 0 3

x y − xy + y = x

6) Dire se la forma differenziale lineare seguente

2 2 2 2 −2 2 2 2 2 −2

[y(y − x )(y + x ) ] dx + [x(x − y )(y + x ) ] dy

è esatta ed eventualmente calcolarne le primitive.

CdL in Fisica

Prova scritta di Analisi Matematica II

del giorno 09-09-2008

1) Data la funzione x

f (x, y) = 2 2

x + y

determinarne gli eventuali punti di estremo assoluto nell’insieme

2

X = {(x, y) ∈ R , xy ≥ 1, x > 0, y > 0}

2) Data la funzione 2

2 2 x−y

f (x, y) = x + y + e − 1 : R → R

provare che l’equazione f (x, y) = 0 definisce in un intorno dell’origine una funzione

implicita. Determinare la natura del punto x = 0 per tale funzione.

3) Data la curva piana di equazioni 2

x(t) = 10(t − t ), y(t) = sin(2πt), t ∈ [0, 1]

determinare l’area della porzione di piano racchiusa dal sostegno della curva.

4) Calcolare il seguente integrale triplo

ZZZ 2 2

log(2x + y + 1) dxdydz

A

essendo 3 2 2 2 2

A = {(x, y, z) ∈ R , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 2x + y ≤ 4, z ≤ 2x + y + 1}

5) Si calcoli il seguente integrale di superficie

Z p 2 2

x + y dσ

A 2 2 2

essendo A la porzione di superficie laterale del cono x + y − z = 0 compresa fra i

piani di equazione z = 0 e z = 1.

6) Risolvere il sistema di equazioni differenziali lineari seguente

 0

x = −5x + 2y



 0

y = 2x − 2y

CdL in Fisica

Prova scritta di Analisi Matematica II

del giorno 07-11-2008. C1

1) Data la funzione  2 6

x y

 (x, y) 6 = (0, 0)

2 4 2

(x +3y )

f (x, y) =  0 (x, y) = (0, 0)

studiare

(i) la continuità di f in (0, 0)

(ii) l’esistenza e la continuità di f , f in (0, 0)

x y

(iii) la differenziabilità di f in (0, 0).

2) Determinare gli eventuali punti di estremo relativo della funzione

2

2 (x+y)|y−x |

f (x, y) = (x + y)|y − x | − e

precisando se si tratta di punti di estremo assoluto.

3) Dire se la curva di equazioni parametriche · ¸

Z h √ π 3π

1 − 2 cos t dt h ∈

x(h) = sin h , y(h) = ,

2 4

π

2

è regolare ed in tale caso calcolarne la lunghezza. La curva data è anche semplice ?

Giustificare le risposte.

4) Calcolare il seguente integrale doppio

Z Z 1 dxdy

xy

A

x

essendo A = {(x, y) : ≤ y ≤ 2x, −2(x − 1) ≤ y ≤ −2(x − 2)}

2

5) Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale seguente

4 4 2 2

x + y + 2xy(xy − 1) x − y

dx + dy

2 2 2 2 2 2

(x + y ) (x + y )

esteso alla curva γ di equazioni parametriche x = x, y = cos x con x ∈ [0, 2π]

6) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti

( 0

y = 2y + y

1 2

1

0

y = y + 2y

1 2

2

CdL in Fisica

Prova scritta di Analisi Matematica II

del giorno 07-11-2008. C2

1) Data la funzione  2 6

x y

 (x, y) 6 = (0, 0)

2 4 2

(x +3y )

f (x, y) =  0 (x, y) = (0, 0)

studiare

(i) la continuità di f in (0, 0)

(ii) l’esistenza e la continuità di f , f in (0, 0)

x y

(iii) la differenziabilità di f in (0, 0).

2) Determinare gli eventuali punti di estremo relativo della funzione

2

2 (x+y)|y−x |

f (x, y) = (x + y)|y − x | − e

precisando se si tratta di punti di estremo assoluto.

3) Dire se la curva di equazioni parametriche · ¸

Z h √ π 3π

x(h) = sin h , y(h) = 1 − 2 cos t dt h ∈ ,

2 4

π

2

è regolare ed in tale caso calcolarne la lunghezza. La curva data è anche semplice ?

Giustificare le risposte.

4) Calcolare il seguente integrale doppio

Z Z 1 dxdy

xy

A

x

essendo A = {(x, y) : ≤ y ≤ 2x, −2(x − 1) ≤ y ≤ −2(x − 2)}

2

5) Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale seguente

4 4 2 2

x + y + 2xy(xy − 1) x − y

dx + dy

2 2 2 2 2 2

(x + y ) (x + y )

esteso alla curva γ di equazioni parametriche x = x, y = cos x con x ∈ [0, 2π]

6) Risolvere il seguente problema di Cauchy

√

0

y = xy + x y , y(0) = 1

4

CdL in Fisica

Prova scritta di Analisi Matematica II

del giorno 05-12-2008

1) Studiare la continuità, la differenziabilità e l’esistenza delle derivate direzionali della

funzione  2 2 2

x y+y z+z x

 (x, y, z) 6 = (0, 0, 0)

2 2 2

x +y +z

f (x, y, z) =  0 (x, y, z) = (0, 0, 0)

nell’origine.

2) Determinare i punti di estremo relativo ed assoluto, se esistono, della funzione

4 2 2

f (x, y) = x − x y

2 2 2 2

nell’insieme A = {(x, y) ∈ R , x + y ≤ 1, y ≥ x − 1}.

3) Data la funzione 2

y 2 −x

f (x, y) = e + x e y + c : R → R

dire per quali valori del parametro c ∈ R l’equazione f (x, y) = 0 definisce un’unica

funzione implicita y = y(x) : R → R. Posto, poi, c = −2 dire se la funzione implicita

ottenuta ha punti di estremo relativo.

4) Data la forma differenziale lineare ¶ µ

µ ¶

√

2 y

log(1 + y ) x

√ + φ(x, y) dx + + cos y dy

2

1 + y

x

2

1

essendo φ ∈ C (R ), studiarne l’esattezza nel proprio campo di esistenza in funzione

di φ, determinandone poi le eventuali primitive.

5) Calcolare l’integrale triplo della funzione 2x

p

f (x, y, z) = 2 2

x + y

esteso all’insieme 3 2 2 2

A = {(x, y, z) ∈ R , x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1, z ≤ x + y ≤ z}

6) Trovare l’area della porzione di superficie di equazione cartesiana

2 2

y = 1 + x + z

con y ≤ 2 CdL in Fisica

Prova scritta di Analisi Matematica II

del giorno 12-02-2010

1) Data la funzione  x 0 ≤ x ≤ 1



f (x) =  2

x +1 1 ≤ x ≤ 2

2 ˜

provare che è possibile prolungarla a tutto R in modo che il prolungamento f sia pari

˜

e di periodo 4. Quindi dire se f è sviluppabile in serie di Fourier e, nel caso di risposta

˜

affermativa, calcolare la serie di Fourier di f .

2) Data la funzione 2

(x + 1)(x &mi