Analisi matematica - parte 1

LIMITI

x = tempo

f(t) = posizione

V(x₁, x₂) = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁), ma V(x₁) = ?

Abbiamo a che fare con grandezze "infinitesimali",

perché x₂ è molto vicino a x₁

f(x) = y

= lim_{x2 ➝ x1} (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)

variazione ordinate

variazione ascisse

m(PQ) = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)

DEFINIZIONE DI LIMITE

Sia I ⊂ ℝ un intervallo

I = ]a, b[, c ∈ I

∀a, b, c ∈ ℝ

a ∈ I, c ∈ I, a < c < b ⇒ b ∉ I

oppure c è un estremo di I

S_I = c

Si dice che lim_{x ➝ c} f(x) = l se f(x) assume valori vicini a l quanto si

vuole perché x (≠ c) sia sufficientemente vicino a c

∀ε > 0 | ∃ δ > 0: ∀x ∈ I

|x-c| < δ

⇨ |f(x) - l| < ε

questo deriva da WEIERSTRASS

l - ε < f(x) < l + ε

posso decidere io la distanza tra l e l - ε

P(c, l) forse non fa parte del grafico però la funzione in un determinato

nodo, si avvicina

LIMITI

x = tempo

f(x) = posizione

V(x₁,x₂) = _f(x2)-f(x1)/^x₂-x₁,

VELOCITÀ ISTANTANEA

ma V(x₁) = ?

Abbiamo a che fare con grandezze "infinitesimali", perché x₂ è molto vicino a x₁

= lim_x2→x1 ^{f(x₂) - f(x₁)}/_{x2 - x1}

Variazione ordinate

variazione ascisse

m(PQ) = ^{f(x₂) - f(x₁)} /_{x2 - x1}

DEFINIZIONE DI LIMITE

Sia I ⊂ ℝ un intervallo

f : I → ℝ, c ∈ I oppure c ∈ uno estremo di I

f ha dominio I e ha soluzione in ℝ

Si dice che lim_x→c f(x) = ℓ se f(x) assume valori vicini a ℓ quanto si

vuole purché x (≠c) sia sufficientemente vicino a c

∀ε >0 ∃δ>0; ∀x∈I

0 < |x-c| < δ

|f(x) - ℓ| < ε

questo deriva da WEIERSTRASS

ℓ - ε < f(x) < ℓ + ε

posso decidere io la distanza tra ℓ e ℓ - ε

p(c,ℓ) f(x)₂ posizione però la fluttuazione in un determinato modo. si avvicina

oscillazione sinusoide uguale ma varia d'ampiezza

" " Si dice che lim P(x) = +∞ vuol dire che f(x) assume valori

○ ○

arbitrariamente grandi

quando x tende

∞

purché x ≄ c sia sufficientemente vicino a c

∀M > 0 ∃δ > 0, ∀x ∈ I (0 < |x-c| < δ → f(x) > M

f(x) < -M

" " Si dice che lim P(x) = E vuol dire che f(x) assume

valori vicini a E quando x tende purché sia

base

∀ε ∈ ○ ̊, ∃δ > 0, ∀x ∈ I (x > S

02/10/2020

lim P(x) = +∞ vuol dire che f(x) assume valori ab arbitrariamente grandi

quando x tende ∞ purché x sia sufficientemente grande

∀N > 0 ∃S > 0, ∀x ∈ A, x > S → f(x) ⋝ M

f(x) < -M

Per unificare queste 9 definizioni -> INTORNI

C, C1R vuol dire che ogni intorno I – I C + C § I\I| AOA

e dunque qui V C\R **

1) Intorno di +∞ è ogni ]S, +∞[ col SER e anche...

2) Intorno di –∞ Gioi 'O-]S-Ca' SER e anche...

Se p: A --> R CEA e c è un estremo di A oppure RE R e 'to+∞∞

p(x)... vuol dire ∀v.P V intorno di x esiste V intorno di C tale

che, se x ∈ A\U, x ≠ c allora f(x) € V

es. _x→clim f(x)=-∞ (E) ∈ℝ

∀V intorno di ∞ (V = ]-∞, -M[ ), esiste U intorno di c (U = ]c - δ, c + δ[ ) tale che se x ∈ A∩U, e x ≠ c allora f(x) ∈ V (0 < |x - c| < δ, x ∈ A)   (f(x) < -M)

OSSERVAZIONE: se U₁, U₂ sono intorni di c, anche U₁∩U₂ lo è (altrimenti, U₁ = ]c - δ₁, c + δ₁[ , U₂ = ]c - δ₂, c + δ₂[ )

Unità del limite

Se _x→clim f(x) = ℓ e _x→clim f(x) = m, allora ℓ = m 1       2

OSSERVAZIONE: se ℓ ≠ m, allora esistono V₁ intorno di ℓ e V₂ int di m, lim ∈ ℝ V₁∩V₂ = ∅

y     x ε < ℓ  ε  <ε

V₁ = ]ℓ - ε, ℓ + ε [ V₂ = ]m - ε, m + ε [

dim

Supponiamo per assurdo: ℓ ≠ m

1. ∀V₁ intorno di ℓ ∃U₁ intorno di c, ∀x (x ∈