Analisi matematica - parte 1

LIMITI

x = tempo

f(x) = posizione

V(x₁, x₂) = ^{f(x₂) - f(x₁)}/_{x2 - x1}

VELOCITÀ ISTANTANEA

Ma V(x₁) = ?

Abbiamo a che fare con grandezze "infinitesimali", perché x₂ è molto vicino a x₁

lim _{x2 → x1} ^{f(x₂) - f(x₁)}/_{x2 - x1}

m(PQ) = ^{f(x₂) - f(x₁)}/_{x2 - x1}

DEFINIZIONE DI LIMITE

Sia I ⊂ ℝ un intervallo

Si dice che lim _{x → c} f(x) = ℓ se f(x) assume valori vicini a ℓ quanto si vuole purché x ≠ c sia sufficientemente vicino a c

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀ x ∈ I

0 < |x - c| < δ ⇒ |f(x) - ℓ| < ε

questo deriva da WEIERSTRASS

ℓ - ε < f(x) < ℓ + ε

posso decidere io la distanza tra ℓ e ℓ - ε

P(c, ℓ) forse non fa parte del grafico però la funzione in un determinato modo si avvicina

lim_x→0 ^sinx⁄_x = 1

lim_x→+∞ ^sinx⁄_x = 0

La funzione rimane uguale, ma varia l’ampiezza

“ ” si dice che lim_x→c P(x) = +∞ vuol dire che f(x) assume valori

valori, a quanto si vuole pasché x ≠ c, solo sufficientemente vicino a c

∀N∃δ>0, ∃δ>0, ∀x∈I (0<x-c<δ ⇒ f(x)>M

f(x)<-M

“ ” “ ” si dice che lim_x→+∞ P(x) = 0 vuol dire che f(x) assume

valori a e quanto si vuole pasché sia o grande quanto

costra

∀ε>0 ∃S>0, ∀x∈I(x >S = |R(x)-R|<ε)

lim_x→+∞ P(x) = +∞ vuol dire che f(x) assume valori so grandi quanto

quanto si vuole, pancné x sia so sufficientemente grande

∀N∃S>0, ∀x∈A,x>S ⇒ f(x)≥M

x<-S f(x)<-M

Per unificare queste o definizioni → INTORNI

1) c∈R, vuol dire che ogni intorno I⊂c) ⊂IR c∈lIR o=o,

2) intorno di +∞ è ogni I(S,+∞) con S∈R e anche...

3) intorno di -∞ è ogni I-∞) -S est) ca SEIR e anche...

Se p: A → R c∈A e ce un estremo di A oppure R∈R e +o,-∞

lim f(x) ∈ vvice due VV intorno di z esiste U intorno di e tale

che, se x ∈ U∩U, x≠, allora f(x)∈V

FUNZIONI CONTINUE

A⊂R, c∈A, f:A→R Si dice che f è continua in c se

lim_x→c f(x) = f(c)

Teorema sulla continuità delle funzioni elementari

Tutte le funzioni elementari, le loro somme, prodotti, rapporti (quando esistenti) sono continue in ogni punto del rispettivo dominio.

lim_x→3 = (2x+1)(x)

LIMITI E OPERAZIONI

1. ADDIZIONE

• Ipot: lim_x→c f(x) = l∈R
• lim_x→c g(x) = +∞

Tesi: lim_x→c (f(x) + g(x)) = +∞

dim

Grafici qualitativi di funzioni

f(x) = (x-1)e^x+1/_x²-4

1. Dominio

(-∞ -2) ∪ (-2, +2) ∪ (+2, +∞)

2. Segno della funzione

• x ≤ 1

- - + +

3. Limiti nei punti di frontiera del dominio (+∞ ±2)

lim_x→+∞ (x-1)e^x+1/_x²-4 = +∞

lim_x→-2^- (x-1)e^x+1/_x²-4 = 0

lim_x→+2^- (x-1)e^x+1/_x²-4 = 0

Teorema degli zeri

Ip: f: [a, b] → R continua, f(a).f(b) < 0

Tesi: esiste c ∈ [a, b]: f(c) = 0

Uso il metodo di bisezione e prendo il punto medio sempre tra "il punto 0" e quello > 0.

a₀ = a, b₀ = b, m₀ = 1/2 (a₀ + b₀)

- Se f(a₀) < 0 a₁ = a₀, b₁ = m₀

- Se f(m₀) > 0 a₁ = m₀, b₁ = b₀

a₀ ≤ a₁ < b₁ ≤ b₀

m₁ = 1/2 (a₁ + b₁)

- Se f(m₁) < 0 a₂ = a₁, b₂ = m₁

- Se f(m₁) > 0 a₂ = m₁, b₂ = b₁

e così via...

quindi a₀ ≤ a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ b₂ ≤ b₁ ≤ b₀

• an cresce (≤ b)
• bn decresce (≥ a)

Esistono quindi α = lim _n→+∞ aₙ

β = lim _n→+∞ bₙ

aₙ < bₙ ∀ n → α ≤ β

bₙ - aₙ = b - a / 2ⁿ ↔ 0 → α = β

Se c è interno a I

f'(c) = lim_x→c f(x) - f(c) / x - c

f'(c) = lim_x→c ...

f(x) = sinx → f'(x) = cosx

13/10/2020

f'(c) = lim_x→c sinx - sinc / x - c

Per risolvere questo uso il limite notevole lim_x→0 sinx / x = 1

è una funzione pari

dim

0 < x < π/2

sinx < x < tanx

dividiamo per sinx che è positivo

1 < x / sinx < 1 / cosx → cosx÷sinx < 1 / x

facciamo il lim cosx = 1

x→0

quindi anche sinx = x

→ sinx - sinc / x - c usiamo la formula di prostaferesi

= 2sin(x-c / 2)cos(x+c / 2) / x-c

= cosc

4) _(f/q)'(c) = - q'(c) / (q(c))²

lim

f0 lim x→c q(x) - q(c) = q(c) , q(c) ≠ 0

x→c

⇒ lim q(x) q(c)

x→c

lim _x→c [ (q(x) - q(c)) / (x - c) ] q(x) q(c) = - q'(c) / (q(c))²

q'(c) q(c)

5) (f/q)' = f' q - fq' / q²

dim (f/q) = (f/q) - f '1/q = f/q + f ( - q'/q²)

= f'q - fq' / q²

6) f(q(x))' = f'(q(x)) q'(x)

( lnx / q(x) )' = __________

2 lnx

(sin(2x))' = cos(2x) ⋅ 2 = 2cos(2x)

(sin²x)' = 2sin x ⋅ cos x

dim

Si pone se traslando tutto in basso il punto A per poi avere la situazione del teorema di Rolle.

Sia g(x) = f(x)_f(b)-f(a)^b-a (x-a)

g'(x) = f'(x)_f(b)-f(a)^b-a perché f(b)-f(a)_b-a = cost.

g(a) = f(a)

g(b) = f(b) - f(b)_b-a + f(a) ^(b/a) = f(a)

→ g(a) = g(b)

Per il teorema di rolle esiste c è ∈ ]a,b[ tale che g'(c) = 0, i. e. la tesi

f(b) - f(a) = f'(c) (b-a)

Definizione - f: I → R si dice

1. strettamente crescente
2. crescente (la funzione in tratti può anche mantenersi costante)
3. strettamente decrescente
4. decrescente
5. costante

Se per ogni a,b ∈ I con a < b

1. f(a) < f(b)
2. f(a) ≤ f(b)
3. f(a) > f(b)
4. f(a) ≥ f(b)
5. f(a) = f(b)

Teorema

I ⊂ ℝ intervallof: I → ℝ derivabile

ip f' crescente in I

tesi f convessa in I

20/10/2020

dim. Supponiamo che f è crescente e dimostriamo che è convessa )∀c, x ∈ I, c ≠ x (arbitrario)

p(x) - p(c) = f'(c) (x - c)

[c, x] ⊆ I perché I è un intervallo, f è derivabile in [c, x] quindi continua→ soddisfatte le ipotesi del Teorema di Lagrange

Per LAGRANGE ∃d ∈ ]c, x[ tale che p(x) - p(c) = f' (d) (x - c)

f(x) - f(c) = f'(c) (x-c) - f'(d) - f'(c) (x-c)

f' è crescente

c < d < xf'(c) ≤ f'(d)

e quindi -Se d*c fosse a sinistra -

Corollario

ip f derivabile 2 volte in I

f''(x) ≥ 0 ∀x ∈ I(< 0)

Tesi: f convessa in I