Analisi 1

3 Limiti e Continuità

La nozione di limite può essere considerata il fondamento concettuale che sta alla base del calcolo infinitesimale e, come tale, riveste un ruolo capitale in tutte le parti in cui si articola il corso. Basti pensare che la definizione di derivata e di integrale che verranno presentate nel seguito del corso, chiameranno in causa proprio la nozione di limite.

Nel caso di funzioni di una variabile reale, permette di descrivere in termini quantitativi il comportamento assunto dai valori di una funzione quando la variabile indipendente si mantiene "vicino" ad un prefissato valore (x → c con c ∈ ℝ) oppure quando la variabile indipendente diventa arbitrariamente grande (x → +∞) o piccola (x → -∞).

Tale comportamento, in vari casi, non è affatto facile da determinarsi e richiede talora l'impiego di tecniche anche alquanto elaborate per poter essere studiato.

Il concetto di limite verrà introdotto gradualmente: prima nel caso discreto (limite di successioni), poi nel caso continuo (limite di funzioni).

1. Successioni

Una successione è una funzione con la particolarità di essere definita su _N o su un suo sottoinsieme. Si tratta cioè di funzioni f : D → _R con

D ⊆ _N

cioè

f : n ↦ a_n ∈ _R, n ∈ D

Per indicare una successione di numeri reali si utilizzerà nel prosieguo anche la notazione:

{a_n}

Esempio

Alcuni esempi di successioni di numeri reali:

• n ↦ a_n = n²   0, 1, 4, 9, 16, ...
• n ↦ a_n = (-1)ⁿ   1, -1, 1, -1, 1, ...
• n ↦ a_n = 2^1/n   2, √2, ²√2, ³√2, ...

Si noti che nell'ultimo caso la successione risulta definita su D = _N\{0}.

n ↦ a_n = ²√( n²/n )   1, ⁴√3, ⁵√2, ...

che è definita su D = _N\{0,1}.

Osservazione

Dalla definizione stessa di successione convergente segue che il limite, quando esiste, è unico. Infatti, se vi fosse più di un limite diciamo l₁ = lim a_n l₂ = lim a_n, allora per ogni arbitrario ε > 0 si avrebbe:

|l₁ - l₂| = |l₁ - a_n + a_n - l₂| ≤ |l₁ - a_n| + |a_n - l₂| ≤ ε + ε = 2ε.

Per arbitrarietà di ε, ciò può accadere soltanto se |l₁ - l₂| = 0, ossia l₁ = l₂.

Altri possibili comportamenti di una successione sono formulati nella seguente

Definizione

Una successione {a_n} è detta divergente a +∞ se ∀M > 0 ∃ N_M ∈ ℕ tale che:

• a_n > M, ∀n ∈ ℕ, n ≥ N_M

In tal caso si scrive che lim a_n = +∞. Una successione {a_n} è detta divergente a -∞ se:

• ∀M > 0 ∃ N_M ∈ ℕ tale che:
• a_n ≤ -M, ∀n ∈ ℕ, n ≥ N_M

In tal caso si scrive che lim a_n = -∞.

II 15

(*) L ≤ a_n ≤ L + ε,   ∀n ∈ D, n ≥ N_ε.

Sia fisso arbitrariamente ε > 0. Poiché L è estremo superiore di E ed è anche un maggiorante per E, è quindi anche L + ε è un maggiorante per E. Di conseguenza si ha

a_n ≤ 1/2 L + ε,   ∀n ∈ D.

Sicché la seconda disuguaglianza in (*) risulta soddisfatta.

Poiché L è estremo superiore di E, esso è il minimo dei maggioranti.Se ne deduce che, essendo L - ε ≤ L, L - ε non può essere maggiorante per E. Ciò significa che

∃ N_ε ∈ D   L - ε < a_Nε.

Allora, poiché {a_n} è monotonia crescente, si ha

L - ε < a_Nε ≤ a_n,   ∀n ∈ D, n ≥ N_ε,

sì che anche la prima disuguaglianza che figura in (*) risulta soddisfatta. Così la dimostrazione è completa.

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III. 1. 10