Analisi 1

Grafico di una funzione e operazioni sui grafici.

Molteplici proprietà che una funzione di una variabile reale possiede, si rendono leggibili nella rappresentazione del suo grafico rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali. Il grafico si manifesta come una curva (in senso lato) nel piano, la quale permette di associare ai punti del dominio, disposto sull'asse orizzontale, i punti del codominio, disposto sull'asse verticale, in accordo con la legge che definisce analiticamente la funzione.

Formalmente, si definisce grafico di una funzione f: D→R l'insieme.

gr(f) = {(x,y)∈ℝ² : y=f(x), x∈D}

II. 3.1

Le considerazioni che seguono sono volte ad affrontare il seguente problema.

Problema.

Si supponga noto il grafico di una data funzione f: D → ℝ, ossia si supponga di saper tracciare su un sistema di assi cartesiani la curva di equazione y=f(x), con x∈D. Si vuole tracciare il grafico di funzioni che si ottengono da f con operazioni elementari, ricorrendo a semplici trasformazioni geometriche di gr(f) sul piano cartesiano.

Operazione su f → Trasformazione di gr(f)

1. g(x)=f(x)+a con a∈ℝ - traslazione rigida verticale (sull’asse y)

Esempio. Si consideri la funzione f(x)=|x| e si ponga g(x)=f(x)-1=|x|-1. Si ha:

Immagine del grafico con y=|x| e g₁(f)

Immagine del grafico con y=|x|-1

Π 3.2

7. g(x) = |f(x)|

g(x) = f(x), se f(x) ≥ 0, g(x) = -f(x) se f(x) < 0.

riflessione delle parte di g⟨f⟩ sotto all'asse x sopra allo stesso asse

Esempio

Si consideri f(x) = cos x e g(x) = |cos x|

8. g(x) = f^-1(x)

riflessione di g⟨f⟩ rispetto all’asse di equazione y = x

Esempio

Sia f(x) = 2^x e si ponga g(x) = log₂ x