Analisi matematica - parabola

Definizione di parabola

La parabola di fuoco F e direttrice d è il luogo dei punti del piano che sono equidistanti da F e da d.

Espressioni della parabola

Direttrice orizzontale

Espressione della parabola: y = ax² + bx + c

Direttrice verticale

n = qy² + by + e

y = ax² + bx + c

Vertice: V = (-1 / 2a, Δ / 4a)

Asse di simmetria: n = b / 2a

Δ = b² - 4ac

d_iy = - (1 + Δ) / 4a

Espressioni alternative della parabola

y = ax² + bx + c

n = ay² + by + c

Direzione orizzontale

Espressione della parabola: y = ax² + bx + c

Direzione verticale

n = ay² + by + c

Vertice: V = \(\frac{-b}{2a}, \frac{\Delta}{4a}\)

Asse di simmetria: n = \(\frac{b}{2a}\)

Δ = b² - 4ac

d_y = \(\frac{-b}{4a}\)

Intersezioni con gli assi

Intersezioni con l'asse y

y = ax² + bx + c

y = 0

ax² + bx + c = 0

Comportamento dei punti della parabola

Come sono le y dei punti che appartengono alla parabola? Tutte maggiori di zero

Concavità:

• a > 0: Concavità verso l'alto
• a < 0: Concavità verso il basso

Condizioni per le intersezioni con l'asse x

Per avere intersezioni con l'asse x l'ordinata del vertice deve essere negativa

-Δ ≤ 0 ⇔ Δ > 0

Se a > 0 e l'intersezione asse x non reali ⇔ Δ > 0

Risultati delle equazioni quadratiche

ax² + bx + c ≥ 0 ⇒ x₁ ≤ x ≤ x₂

ax² + bx + c < 0 ⇒ x < x₁ ∨ x > x₂

ax² + bx + c ≥ 0 ⇒ ∀x ∈ ℝ

ax² + bx + c < 0 ⇒ ∀x

Δ ≥ 0

Altre espressioni e soluzioni

y = an² + bn + c

a y = an + b, n > -b/a

y = an² + bn + c

an² + bn + c = 0

n_1,2 = -b ± √(b² - 4ac)/2a

Δ ≥ 0

Intersezioni e vertici

Per l'asse di intersezione con l'asse n e vertice si deve trovare al di sopra dell'asse n, ossia l'ordinata del vertice deve essere negativa, ovvero n₀ ≥ 0

n² + 5n - 2 > 0 (Parabola) a = 1 > 0

Δ = 25 - 4(2) = 25 + 8 = 33 > 0

n_1,2 = -5 ± √33 / 2

2 radici distinte del trinomio.

Determinare le radici

n_1,2 = -5 ± √33 / 2

La disequazione si verifica per valori estremi non n₁ ∨ n₂

-3n²-5n+1<0

a=-3, b=-5, c=1

Δ=25+12=37>0

n₁=5+√37 / 5-√37

n₂=5-√37

Soluzione: m<n₁ ∩ m>n₂

Altre soluzioni

-3n+5>0

a=3, b=5, c=1

Δ=25+12=37

n₁=5+√37 / 6

n₂=5-√37

Soluzione:

n²-2n-5>0

a=1, b=2, c=-5

Δ=4-20<0

Non ci sono radici reali

Polinomio di terzo grado

n³+n²-2n-2 > 0

Scomponiamo in fattori cercando le radici

Possibili zeri del polinomio tra ±1, ±2

g(x) x+1 x | x²-2y(-1)= -1 4 | x | [Polinomio divisibile per x+1]

n³ n² -2n | n-2-(-2n | -2)n²-2n²+n-2=n(n-2)

n(1+1)(n-√2)(n+√2)(n+1)(n-√2)(n+√2)>0

Soluzioni per il polinomio

• n+1>0     n>-1
• m n-√2>0     m>√2
• n+√2>0     n>-√2-1

Disequazioni complesse

0         1  √2-√2-1∪∩∪(n+1)(n²+3)<0

n+1<0 ⇒ n<-1

n²+3≥0 ⇒ n²-3

Solo rossebioe(n+5)(n²-2)>0

-n₄>-5-\(n₈possibile)

n₄≥0-2-5n∈ℝn=-5