Appunti Analisi matematica I

PRELIMINARI

NUMERI REALI: Ogni numero esprimibile in forma decimale possono essere rappresentati come punti su una RETA REALE

PROPRIETÀ:

• ALGEBRICHE: numeri reali possono essere sommati, moltiplicati, elevati a pot di livio (tranne per 0) e ottenere altri elementi reali
• D'ORDINE: di introdurre e all'ordine in cui i numeri appaiono sceli tra
• DI COMPLETEZZA: se A e B sono insiemi di numeri reali con il prodotto a, b e esiste uno unico reale y tale che x=y per ^M A, allora esiste un loro processo rifiutato e dose la stessa condivi (questo definisce propria condizione) esistono "buchi" nelle rate reale)

L'insieme dei numeri reali ha alcuni insiemi:

• numeri naturali (N): numeri positivi: 1, 2, 3
• numeri interi: -2, -1, 0, 1, 2, 3
• numeri razionali: frazioni di interi

Una numeri le proprie di til aziona tesa non esiste elemento netto reale che il loro quotato sia: 2 = piatto 2 divisi

La loro rappresentazione decimale può:

• TERMINARE: finire con una successione oddio ex. 0,750000...
• RIPETERSI: di cifra che ripetono 2

NUMERI IRRAZIONALI:

questo creerà numeri reali

N: naturali Z: interi Q: razionali R: reali C: complessi

INSIEME

raggruppamento di elementi che hanno delle caratteristiche in comune.

Esistono 2 OPERAZIONI con gli insiemi:

• unione (+ somma): si uniscono tutti gli elementi e si ottiene un elenco di insiemi separati (opp) (elenco di elementi).
• intersezione (× moltiplicazione): elenco degli elementi dell'insieme dai componenti gli elementi in comune dei 2 insiemi.

Esistono 3 tipi di rappresentazioni:

• DIAGRAMMA DI EULERO-VENN (rappresentazioni).
• ELENCAZIONE (elaborato).
• PER CARATTERISTICA: in dettaglio la caratteristica degli elementi che è dall'inclusione.

INTERVALLO

subset della retta reale che contiene almeno 2 elementi.

• APERTO: ]a,b[ a < x < b
• CHIUSO: [a,b] a ≤ x ≤ b
• SEMIAPERTO: [a,b[ a ≤ x < b
• SEMICHIUSO: ]a,b] a < x ≤ b

Gli intervalli possono anche essere INFINITI: solo estremità estreme con i

FORMULE

1. sin²α + cos²α = 1

Se ho la forma:

1. senα = ^tgh/_√1+tgh²
2. cosα = ¹/_√1+tgh²

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

1. cos(α+β) = cosα · cosβ - senα · senβ
2. cos(α-β) = cosα · cosβ + senα · senβ
3. sen(α+β) = senα · cosβ + cosα · senβ
4. sen(α-β) = senα · cosβ - cosα · senβ

DUPLICAZIONE

1. sen2α = 2senαcosα
2. cos2α = cos²α - sen²α

BISEZIONE

cos²α / 2 = ± √^1+cosα/₂

senα / 2 = ± √^1-cosα/₂

tg α / 2 = ± √^1-cosα/_1+cosα

cotg α / 2 = ± √^1+cosα/_1-cosα

Rette Parallele

Due rette si dicono parallele quando la distanza tra un punto di una retta e un punto di una retta parallela è sempre la stessa a distanza nel tempo.

Si occorre numeri precisi e correllate per dimostrare che i due rette parallele, basta dimostrare che m = ...

Ex.

• 2 - 3y + 5 = 0 => m = -_b/_a => m = -²/₃
• 4x - 6y - 20 = 0 => m = -_b/_a => m = -²/₃ e v.d.

Se i m. sono = significa che due rette sono coincidenti.

Rette Perpendicolari

Due rette si dicono perpendicolari quando, se sono intersecanti, formano angoli di 90 gradi come in figura.

Ex.

• r: 2x - 3y + 1 = 0 => m = -²/₃
• s: 3x + 2y + 4 = 0 => m = -³/₂

Ellisse

È il luogo geometrico dei punti per il piano tale che sia costante la somma delle distanze di P da F1 e F2.

P

• F1 e F2 sono i fuochi
• 2a è la distanza tra P da F1 e F2 detta distanza focale
• 2a costante è la somma delle distanze da due punti dell'ellisse dai due fuochi (PF1 + PF2)

N.B. Se elimino PF1 e F2, ottengo che la somma delle altre due distanze coincide con 2a.

PF1 + PF2 > 2a

Equazione dell'ellisse non ruotata

(fuochi su asse x)

y: asse verticale

x: asse orizzontale

PF1 = √(x+e)² + y²

PF2 = √(x-e)² + y²

Dado che P fa parte dell'ellisse se e solo se:

PF1 + PF2 = 2a con e > 0

Sostituendo, si ottiene:

√(x+e)² + y² + √(x-e)² + y² = 2a

Questo è il saggio condizione per l'eccelenza (eccellenza) dell'ellisse: stazione cardiologica

(x+e)²y² = 6a² + e² - 2ex + y²2a √(x-e)² - y

J√ e² 2xe - y⁴ = i

a^1-2c-x-y⁴ 2x√ a

√ a (x-e)² - y²

4ex = 6a² - 6a√ (x-e)² + y² = √ a (x-e)² + y² = a² - e²

Avzò:₁ Ψ = ax² (dato che f ≠ 0 allora a ≠ 0)

Se a = 1 ricavo che β = ¹/_a

F = (0; ¹/_a) - x-coordinata del fuoco

y = -¹/_a - eq. della direttrice

NB. Se a < 0 la concavità della parabola è rivolta verso il basso.

Se a > 0 la concavità della parabola è rivolta verso il basso

Par particolari

Se c = 0, Ψ la parabola passa per lOrigine (b ≠ 0) Ψ = ax² + bx

b = 0, Ψ è il vertice. Si trova nell’asse x-linea y (c ≠ 0) Ψ = ax² + c

a = 0 funzione una retta retta o di linea parabola

Parabola crescente "dell’asse x"

Dobbiamo considerare la simmetria della bisettrice del I e III quadrante

• x = Ψ
• y = x²

Disegno dereverse x e yo tracciamo.

x = ay² + by + c

• eq. dell’asse Ψ = ^-b/_2a
• vertice V (-^Δ/_4a, -^b/_2a)
• fuoco F (-^Δ/_4a, ^-b/_2a)

eq. della direttrice: x = ^{1 + b}/_4a

Traslazione di una conica

Ellisse

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

(x-x₀)²/a² + (y-y₀)²/b² = 1

a = 0 —> x = c

y²/a² = 1 —> a = 2, b = 1

Traslazione di (x₀, y₀) = (5,-3)

(x-5)² + (y+3)² = 1 in Ox'y'

x²/4 + y²/12 = 1 in Ox'y'

Iperbole

(x²/a²) - (y²)/b² = 1

—> (x-x₀)²/a² - (y-y₀)²/b² = d

Parabola

y —> y'

P(x', y')

V(x_v, y_v)

Tangente = punto della parabola bel circolo quella cosa

V' (x', y'')

Eque e quele della Traslazione Parabola:

• x = x_v —> x = -x_v
• y_v = y + x_v —> y = y' - y'
• y' = 2 (x + x_v)² con a≠0