Analisi matematica - limiti

y=f(n)

grafico costituito da una coppia di numeri (n;y)

y=f(n)

Limite: data una funzione f(n) quando si avvicina ad un certo numero. Quale è il comportamento di una data funzione quando n assume valori arbitrariamente vicini ad esso dato punto.

Indipendentemente dal valore che la funzione assume nel puntorino

lim f(n)

n₀

Esperio

3

2

1

n₀

nel punto la funzione non è definita

lim f(n) 3

n→n_0⁺

lim f(n) 2

n→n_0^-

lim 1 = +∞

n→0^- x

lim 1 = -∞

n→0⁺ x

0,5 2

0,05 20

0,005 200

0,0005 2000

y=f(n)

grafico costituito da una coppia di numeri (n;y)

y=f(n)

Limite

Definizione: data una funzione (f(n) quando si avvicinaad un certo numero. Questo è il comportamento di unadata funzione quando n assume valori arbitrariamentevicini ad esso dato punto n0.

indipendentemente dai valori che la funzione (f assume nelpunto n0

lim f(n)

n→n0

E

Esempio

nel punto n0 la funzione non è definita

lim f(n)=3

n→n0⁻

lim f(n)=2

n→n0⁺

lim 1 = +∞

n→0⁺ n

lim 1 = -∞

n→0⁻ n

0.5 2

0.05 20

0.005 200

0.0005 2000

n u

-0.5 -2

-0.05 -20

-0.005 -200

y=

1

n

Se esistono il limite destro _{limn→n₀⁺}(f(n)) e il limite sinistro _{limn→n₀^-}(f(n)) ed essi sono uguali, la curva è continua e si dice funzione continua

_limn→n₀f(n) = f(n₀)

DEFINIZIONE

∀ε>0: |f(n)-L| = δ

∃δ: se |n-n₀| < δ

1) _limn→n₀ f(n) = _{limn→n₀⁺} f(n) = _{limn→n₀^-} f(n)

Perché sia continua l'idea è essere definita nel punto n₀ e _limn→n₀ f(n) = f(n₀).

2) Potrebbe succedere che f(n₀) ≠ _limn→n₀ f(n)

In questo caso non è continua

Funzione continua

lim (f(x)_n) = f(n₀)x→n₀

Esercizio: Esempio di calcolo dei limiti.

limn→0

(√n²+9) - 3n²

Osservazione: la funzione y= √n²+9 - 3 non è definita in n=0, non è continua nel punto n₀.

Osservazione: il numeratore calcolato in n=0 vale zero, il denominatore in n=0 vale 0 => la frazione tende a 0[Formaindeterminata

limn→0

(√n²+9) - 3n²

= limn→0

1 / (√n²+9) + 3

Proprietà dei limiti

Siano l, L, ∈ numeri reali e sia

lim (f_n) = l n→a e lim (g_n) = l n→a

1. lim e = e n→a

y = e

1. lim (f_n + g_n) = lim (f_n) + lim (g_n) n→a n→a n→a
2. lim (f_n - g_n) = lim (f_n) - lim (g_n) n→a n→a n→a
3. lim (f_n · g_n) = lim (f_n) · l n→a n→a
4. lim (f_n) = lim (f_n) = l n→a g_n n→a g_n 1 = 1/n n ≠ 0

3. lim (f_n) = lim (f_n) n→∞

C₁: n→∞ n→∞

lim n² - 4 n→2 n - 2 = lim (n - 2)

C₂: lim (n² + 2) = n² - 4 n→2 n - 2

lim n→a x = l infinito = ∞ Indeterminato

lim_n→+∞ f(n) = l

ad esistere di n, la funzione tende ad assumere un valore costante

Si dice che la funzione ha un asintoto orizzontale

L’asintoto è la retta di equazione y=l

lim_n→-∞ f(n)=H

La retta di equazione y=l è l’asintoto orizzontale della funzione

Esempio:

ha 2 asintoti orizzontali la retta y=π/2 e la retta y=-π/2

y = e^{ln x2}

lim_n→∞ e^{ln n2} = e^+∞ = +∞

Ha un asintoto orizzontale per n=0+

lim_n→∞ 1/^√n2 - lim_n→∞ 1/n = lim_n→∞ 1/√n² - (lim_n→∞ 1/n)

TAVOLE INDETERMINATE:

1. 0/0
2. ∞-∞
3. 0·∞
4. ∞/0
5. 0⁰
6. ∞⁰
7. 1^∞

Continuità di una funzione in un punto

1. f deve essere definita in n₀ (ossia n₀ E Dom(f_n))
2. deve esistere lim f_n E R
3. deve essere lim f_n = l

µ: l = l^- = l⁺

5. µ: lim f_n = f(n₀)

Osservazione: Se la funzione è continua allora posso scambiare il limite con f

lim f_n = f (lim n) = f(n₀)

Tipi di discontinuità

1. Se non è verificata almeno una tra [1] e [3] => la funzione è discontinua in n₀ (asimtotio verticale)
2. lim f(x) = l^- lim f(x) = l⁺

µ: l ≠ l⁺ discontinuità di tipo salto

1)

lim f_n = lim f_n = f(n₀)

n → n₀^- n → n₀⁺

f(n) = L

→

di sinistra eliminabile

eliminabile

Se una funzione è continue ∀ n ∈ Dom (n)

∂ dice che elegante del suo dominio

Esempi di funzioni continue:

1. funzioni polinomiali

   y = a_nnⁿ + a_qn^n... eo etc.

2. funzioni esponenziali: y = aⁿ

   a > 0 a ≠ 1

3. funzioni logaritmo

   y = log_a n

   (non è definita in n < 0)

   a > 0 a ≠ 1

   lim

Proprietà di continuità

Siano f(m) e g(m) funzioni continue, allora

1. f(m) + g(m) è continua
2. f(m) - g(m) è continua
3. f(m) * g(m) è continua
4. f(m) / g(m) è continua tranne quando il denominatore g(m) è annullato (se g(m) ≠ 0)
5. f(g(m)) è continua

Esempi:

1. y = m³ - 3m + 1

Polinomio di 3° grado, continuo ∀ m ∈ ℝ

2. y = ₁/^n-2

∄ ∈ ℝ n ≠ ℝ

∀ n ≠ m: 2

Quindi y(m) non è continua in n=2

X = n-2

• y = ₁/^X
• X = n-2

lim _{n→2⁺ 1}/^n-2 = +∞

lim _{n→2^- 1}/^n-2 = -∞