Analisi Matematica

= _limn ^[n+1/_n]n-1 1^/e < 1.

in generale se lim _an = e < [188

allora lim _n ^1/n =

Limiti:

• DefinizioneSia f: X→R, X⊂R, x_o∈R punto diaccumulazione per X, l∈R.Diciamo che "l è il limite di f per x chetende ad x_o." se∀ V intorno di l ∃V intorno di x_o tale che∀x∈X∧ V, x≠x_o: f⊆V.In tal caso scriviamo lim f(x) = l.
• OsservazionePer quanto osservato in precedenza (pagina 68),le proprietà riferite agli intorni di un numeropossono essere più lo più riferite agli insiemi del tipo]x_o-δ, x_o+δ[ che, al variare di x_o in R e di δ in R⁺,individuiamo una classe speciale di intorni dei punti x_o.Lo stesso si può dire anche degli insiemi del tipo[x_o-δ, x_o+δ ] al variare di x_o e R, δ > 0.

= _limm [^m+1/_n] ^{m -1}/ₑ < 1.

in generale se _limn a_n = a ∈ R\{0}

allora _limn 1/a_n = 1/a

Limiti:

• Definizione

  Sia f: X → R, X ⊂ R, x_o ∈ R punto diaccumulazione per X, l ∈ R.Diciamo che “l è il limite di f per x chetende ad x_o.” se∀ V intorno di l ∃ U intorno di x_o tale che∀ x ∈ X ∩ U , x ≠ x_o : f(x) ∈ V.In tal caso scriviamo _limx→xo f(x) = l.

• Osservazione

  Per quanto osservato in precedenza (pagina 08),le proprietà riferite agli intorni di un numeropossono essere per lo più riferite agli insiemi deltipo ]x_o-δ, x_o+δ[ che, al variare di x_o in R ed i δ in R₊,individuano una classe speciale di intorni dei punti x_o.Lo stesso si può dire anche degli insiemi del tipo[ x_o-δ, x_o+δ ] se il variare di x_o è x ≤ o.

Per tanto si ha la seguente

• Definizione (equivalente alla precedente)

X ⊂ R, f : X → R, x_o ∈ R ed L ∈ R come nella precedente definizione.

Allora si dice che "L è il limite di f per x che tende ad x_o" e si scrive lim f(x) = L se

∀ ε > 0 ∃ s > 0 tale che ∀ x ∈ (X ∩ ]x_o - s, x_o + s[) \ {x_o} :|f(x) - L| < ε, L ∈ I e I ∈ I.

• Osservazione

Per la proprietà del valore assoluto, la precedente definizione si può anche scrivere:

∀ ε > 0 ∃ s > 0 c. ∀ x ∈ X, |x-x_o| < s ∧ x ≠ x_o : |f(x) - l| < ε,dove al posto di |x-x_o| < s si può anche scrivere |x-x_o| ≤ δ eal posto di |f(x) - l| < ε si può scrivere |f(x) - l| ≤ ε.

Si noti che il valore assunto della funzione in x_o è del tuttoirrilevante nella definizione del limite.

Addirittura f potrebbe perfino non essere definita in x₀, cioè potrebbe accadere che x₀ ∉ X.

Ciò che viene messo in rilievo dal concetto di limite è il valore assunto dalla funzione f nei punti _oblo mino "prossimi ad x₀", risultando del tutto irrelevante ciò che accade in x₀.

Esempio

Verificare che lim _{x → 2} x²-1=3. Qui f(x)=x²-1, quindi f: ↠ ↠. Il punto di accumulazione è x₀=2 mentre il limite è l=3.

Fissato ε>0. Bisogna individuare δ>0 tale che ∀ x < ↠ , 0<|x-2|<δ f ≠

|(x²-1)-3|=|x²-4|=|(x+2)(x-2)|=|x+2||x-2|<

|x-2+4|<σ≤

(x-2|+4)(σ|^{diss.-trianggolo}

Servio x+2=x-2+4 ed uso(x)

5σ^{< 5/5}≤ε

- Definizione

Sia chi, f: X ↠ R, x₀ è punto di accumulazione per X.

Adiet che "il limite di f per x che tende ad x₀ è più infinito" e si scrive lim _{x → x0} f(x)=+oo se

∀ M ≥ 0 ∃ U intorno di x₀ tale che ∀ x ∈ U ∖ {x₀}: M ≤ f(x).

Equivalentemente si può definire il limite al seguente modo∀ M ≥ 0 ∃ δ > 0 tale che ∀ x ∈ X, x ∈ [x₀ - δ, x₀ + δ[ ∖ {x₀}: M ≤ f(x).

• Si dice che il limite di f per x che tende a x₀ è meno infinito e si scrive lim f(x) = -∞ sex → x₀

∀ M ≥ 0 ∃ U intorno di x₀ tale che ∀ x ∈ 𝕁 ∩ U, x ≠ x₀: f(x) ≤ -M.

Equivalentemente∀ M ≥ 0 ∃ δ > 0 tale che ∀ x ∈ ([x₀ - δ, x₀ + δ[ ∩ 𝕁) ∖ {x₀}: f(x) ≤ -M.

lim f(x) = +∞x → x₀

lim f(x) = -∞x → x₀

Esempio

Verificare chelim x → 1

La funzione considerata è f : ℝ ࢨ {} → ℝ, 1 è il punto di accumulazione in cui calcolo il limite. Sia M ≥ 0Bisogna verificare che esiste δ > 0 tale che ∀ x ∈ ℝ |1|"

x ∈ ]-δ, +δ[ (cioè |x-1| < δ) allora ¹/_|x-1| ≥ M.

Prendiamo δ = ¹/_M (sta assumendo M ≠ 0) e facciamo vedere che va bene. Infatti, se x ∈ R \ [δ_-] e |x-1| < δ, allora ¹/_δ < ¹/_|x-1| e quindi, siccome ¹/_δ = M, M < ¹/_|x-1|.

Osservazione In tutte queste definizioni è indispensabile che x_o sia un punto di accumulazione perchè questo consente, come detto, uno studio dei valori assunti dalla funzione f in corrispondenza dei punti arbitrariamente vicini a x_o. In particolare si nota che, nella definizione (U ∩ X) \ {x_o} ≠ ∅, proprio per la definizione di punto di accumulazione.

In N non ci sono punti di accumulazione per N, infatti ∀n ∈ N ¬ ∃δ (I_n>-½ n+½[ ∩ [I ∩ (N) ]≠ ∅

Cioè non ci sono intersezioni fra N e l'insieme I_n>-½ n+½] che non corrispondono ad n stesso.

In R \ N non ci sono punti di accumulazione per N.

Le infatti x_o ∈ N, posso prendere δ sufficientemente piccola affinché (J_{xo-δ, xo+δ}) ∩ (N) ] ≠ ∅

Tuttavia abbiamo visto che sfruttando l'illimitatezza superiore di N, è stato possibile dare una definizione di limite delle successioni. Analogamente l'illimitatezza superiore ed inferiore del dominio di una funzione consente di dare le seguenti

- Definizioni sia X R illimitato superiormente , L R.

Allora diciamo che "il limite per x che tende a + oo è, rispettivamente, L, + oo o - oo" e scriviamo rispettivamente

(1) lim f(x) = L

x - {>+oo

(2) lim f(x) = +oo

x - {>+oo

(3) lim f(x) = -oo, rispettivamente,

x - {>+oo

1) V intorno di L J K >0 tale che Vx < X, x > k : f(x) V

2) VM > 0 J K > 0 tale che Vx < X, x > k : f(x) M

3) VM > 0 J K > 0 tale che Vx < X, x > k : f(x) < -M.

- Definizionesia X R illimitato inferiormente, L R.

Allora diciamo che "il limite per x che tende a -oo è, rispettivamente, L, +oo o -oo" e scriviamo rispettivamente i) lim f(x) = L,

x - {>-oo

ii) lim f(x) = +oo,

x - {>-oo

iii) lim f(x) = -oo

Se, rispettivamente,

• i) ∀ V intorno di l ∃ K ≥ 0 tale che ∀ x ∈ X, x ≠ K: f(x) ∈ V
• ii) ∀ M > 0 ∃ K ≥ 0 t.c. ∀ x ∈ X, x ≠ K: f(x) ≤ M
• iii) ∀ M ≥ 0 ∃ K > 0 t.c. ∀ x ∈ X, x ≠ ±K: f(x) ≥ −M

- Osservazione

lim_x→±∞ f(x) = l ⇔ ∀ ε > 0 ∃ K ≥ 0 t.c. ∀ x ∈ X, x ≠ ±K: |f(x) - l| < ε

lim_x→±∞ f(x) = l ⇔ ∀ ε > 0 ∃ K ≥ 0 t.c. ∀ x ∈ X, x ≠ ±K: |f(x) - l| < ε

lim_x→+∞ f(x) = −∞

lim_x→−∞ f(x) = l

lim_x→+∞ f(x) = +∞

lim_x→−∞ f(x) = −∞

Proposizione

Sia : X → ℝ, ₀ ∈ ℝ punto di accumulazione per X

(oppure ₀ = +∞ o ₀ = -∞ se X è illimitato superiormente o inferiormente), ℓ ∈ ℝ ∪ {+∞, -∞}

Allora le seguenti due proprietà sono equivalenti

1. lim f(x) = ℓ
2. ∀ a_m ∈ ℕ tale che
   1. ∀ ∈ ℕ: a_m ∈ X \ {₀}
   2. lim a_m = ₀ se lim f(a_m) = ℓ.

Dim.

1. a => b) Lo proviamo solo per ℓ ∈ ℝ ed ₀ ∈ ℝ.

   Sia a_m tale che valgano i) ed ii)

   Dobbiamo provare che ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ ℕ : ∀ ≥ n₀ : |f(a_n) - ℓ| < ε.

   Sia ε > 0. Siccome lim f(x) = ℓ per ipotesi, allora

   ∃ δ > 0 tale che ∀ x ∈ X, |x - ₀| < δ, ≠ ₀. |f(x) - ℓ| < ε (*)

   Per ii), in corrispondenza di δ > 0 ∃ n₀ ∈ ℕ tale che ∀ n ∈ ℕ, ≥ n₀: |a_n - ₀| < δ. Inoltre ∀ : a_n ≠ ₀ per i).

   Sia dunque ≥ n₀. Allora, siccome

   a_n ∈ X, |a_n - ₀| < δ, a_n ≠ ₀,

   per la (*) si ha |f(a_n) - ℓ| < ε.

2. b => a) Supponiamo per assurdo che a) non sia vera.

Allora ∃ ε > 0 tale che ∀ δ > 0 ∃ x ≠ ₀, x ∈ X, |x - ₀| < δ

tale che |f(x) - ℓ| ≥ ε.