Analisi Matematica

Limiti

Definizione

Sia \( f: X \to \mathbb{R} \), \( X \subset \mathbb{R} \), \( x_0 \in \mathbb{R} \) punto di accumulazione per \( X \), \( l \in \mathbb{R} \). Diciamo che "l è il limite di f per x che tende ad x_0" se

\(\forall V\) intorno di \( l \) \(\exists U\) intorno di \( x_0 \) tale che \(\forall x \in X \cap U, x \neq x_0: f(x) \in V\).

In tal caso scriviamo \(\lim_{x \to x_0} f(x) = l\).

Osservazione

Per quanto osservato in precedenza (pagina 68), le proprietà riferite agli intorni di un numero possono essere per lo più riferite agli insiemi del tipo \( ]x_0-\delta, x_0+\delta[ \) che, al variare di \( x_0 \) in \(\mathbb{R}\) ed \( \delta \) in \(\mathbb{R}^*\), individuano una classe speciale di intorni dei punti \( x_0 \). Lo stesso si può dire anche degli insiemi del tipo \( [ x_0-\delta, x_0+\delta] \) al variare di \( x_0 \) e \( \delta > 0 \).

Per tanto si ha la seguente

• Definizione (equivalente alla precedente)

X ⊂ R, Y ⊂ R, x₀ ∈ R ed l ∈ R come nellaprecedente definizione.

Allora si dice che “l” è il limite di f per x tendente adx₀, e si scrive lim_x→x0 f(x) = l se

∀ε>0 ∃δ>0 tale che ∀x ∈ (X ∩ ]x₀-δ, x₀+δ[) \ {x₀} :|f(x) - l| < ε, ε ∈ ℝ

• Osservazione

Per la proprietà del valore assoluto, la precedentedefinizione si può anche scrivere:

∀ε>0 ∃δ>0 c.in. ∀x ∈ X, |x-x₀|<δ &land; x≠x₀ : |f(x) - l| < ε,

dove al posto di |x-x₀| < δ si può anche scrivere |x-x₀|≤δed al posto di |f(x)-l| < ε si può scrivere |f(x) - l| ≤ ε.

Se noti che il valore assunto della funzione in x₀ è del tuttoirrilevante nella definizione del limite.

Tuttavia, abbiamo visto che sfruttando l'illimitatezza superiore di N, è stato possibile dare una definizione di limite alle successioni.

Imporre l'illimitatezza superiore o inferiore del dominio di una funzione consente di dare le seguenti:

Definizioni

Sia X ⊂ R illimitato superiormente, L ∈ R.

Allora diciamo che "il limite per x che tende a +∞ è, rispettivamente, L, +∞ o -∞" e scriviamo rispettivamente:

1. lim_{x → +∞} f(x) = L
2. lim_{x → +∞} f(x) = +∞
3. lim_{x → +∞} f(x) = -∞, rispettivamente,

1. ∀ V intorno di L ∃ K ≥ 0 tale che ∀ x ∈ X, x ≥ K: f(x) ∈ V
2. ∀ M > 0 ∃ K ≥ 0 tale che ∀ x ∈ X, x ≥ K: f(x) ≥ M
3. ∀ M > 0 ∃ K ≥ 0 tale che ∀ x ∈ X, x ≥ K: f(x) ≤ -M.

Definizione

Sia X ⊂ R illimitato inferiormente, L ∈ R.

Allora diciamo che "il limite per x che tende a -∞ è, rispettivamente, L, +∞ o -∞" e scriviamo rispettivamente:

1. lim_{x → -∞} f(x) = L,
2. lim_{x → -∞} f(x) = +∞
3. lim_{x → -∞} f(x) = -∞