Analisi matematica - Integrali

Integrali Multipli

Il problema dell'integrazione di funzioni di più variabili reali è molto importante ad esempio per il calcolo di volumi, di momenti di inerzia, ecc.

Noi esamineremo il caso di funzioni di due o tre variabili. La definizione dell'integrale doppio ci permetterà anche di definire integrali su superfici nello spazio.

G.1. Integrale di Riemann

Vogliamo definire il concetto di funzione integrabile secondo Riemann nel caso di due variabili. Estenderemo a questo scopo le nozioni di partizioni, somma integrale funzione integrale, ecc.

Siano I = [a,b] e J = [c,d] gli intervalli limitati e sia

f : I x J ⟶ ℝ una funzione limitata.

Consideriamo due partizioni I di I e J

a = x₀ < x₁ < ... < x_k = b

b = y₀ < y₁ < ... < y_k = d

Chiamiamo partizione P dell'attraverso I x J l'insieme di tutti i rettangoli R_ij = [x_i, x_i+1] x [y_j, y_j+1] dove i ed j variano da i, j.

Definiamo la misura elementare del rettangolo R_ij, ponendo

m(R_ij) = (x_i+1 - x_i) x (y_j+1 - y_j)

e poniamo

M_ij = sup f(x,y)

m_ij = inf f(x,y)

Indichiamo con il termine somma integrale superiore di f rispetto alla partizione P, il numero

S(P, P) = Σ_i,j Π_ij m (R_ij)

Indichiamo con il termine somme integrali inferiori di f relativa alla partizione P il numero

s(P, P) = Σ_i,j m_ij m (R_ij)

Def. 27

Diciamo che f è integrabile secondo Riemann su I x J se esiste

{ sup s(P, P) = inf S(P, P) al variare di tutte le possibili partizioni P.Tale valore comune è l'integrale di f su IxJ e si indica con

∬_IxJ f dx dy

Prop. 28

Caratterizzazione della integrabilità

Una funzione f : I x J ➝ ℝ limitata è integrabile ⟺

∀ ε > 0 ∃ partizioni di R t.c.

somma integrale sup - somma integrale inf di f relativa alla partizione P tale cheS(P, P) - s(P, P) < ε

Prop 28

Integrabilità delle funzioni continue

Se la funzione f : I x D ➝ ℝ è continua in I x J, allora f è integrabile in I x J.

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass, poiché f è limitata e per il teorema di Heine-Cantor. ∀ ε > 0 t.c.

|x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε/2 x, y ∈ R

Def

Sia E misurabile e f: E → ℝ limitata.

Sia R un intervallo t.c. E ⊆ R e sia f*: R → ℝ definita da

f*(x) =

• f(x) se x ∈ E
• 0 altrimenti.

La funzione f si dice integrabile su E se f* è integrabile su R e definiamo

∫_E f(x) dx = ∫_R f*(x) dx

Teorema: Formula di Riduzione

Sia E un insieme normale rispetto all'asse y e f: E → ℝ continua. Allora

∬_E f(x, y) dxdy = ∫_a^b (∫_α(x)^β(x) f(x, y) dy) dx

Dimostrazione

Sia R un rettangolo t.c. E ⊆ R. Allora

∬_E f(x, y) dxdy = ∫_R f*(x, y) dxdy

= ∫_a^b (∫_s^S f*(x, y) dy) dx

= ∫_a^b (∫_α(x)^β(x) f_c(x, y) dy) dx

= ∫_a^b (∫_α(x)^β(x) f(x, y) dy) dx = ∫_a^b dx ∫_α(x)^β(x) f(x, y) dy

F ⊆ ℝ² è normale rispetto all'asse y se esistono due funzioni α, β: [c, d] → ℝ continue con α(t) ≤ β(t) ∀t ∈ [c, d] t.c.

F = {x, y} : c ≤ x ≤ d, α(x) ≤ y ≤ β(y) ∀ x ∈]c, d[}

Def: Sia S una superficie regolare compatta ed F un campo

vettoriale continuo sul sostegno di S. Definiamo flusso

di F attraverso S il numero

∫_S F·dσ = ∫_X F(t(u,v))·(t_u ^ t_v) dudv

5^a Lezione: Teorema della divergenza e formula di Stokes

Teorema della Divergenza - W.R²

Sia D un dominio regolare di R². Se F: D → R²

è un campo vettoriale di classe C¹, si ha

∫∫_D divF dxdy = ∫_∂D F ⋅ γ ds

dove

• ∂D denota le curve aventi la frontiera di D come sostegno;
• γ è il versore normale a ∂D orientato verso l'esterno di D;
• la divergenza di F, di F = (F₁, F₂) è data dadivF = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y

Dimostrazione (Nel caso di un insieme A normale rispetto di R²)

A = {(x,y): x ∈ [a,b] ∃ α(x) ≤ y ≤ β(x) ∀ x ∈ [a,b]}

∀ x ∈ [a,b]

Dobbiamo provare che

1) ∫∫_A ∂ρ/∂x dxdy = ∫_γ ρ_x ds

2) ∫∫_A ∂f/∂y dxdy = ∫_γ γ_y ds