Analisi matematica - integrale

Teoria dell'integrazione

Casos semplice 1

A = B ∙ h = 8 ∙ 5 = 40
B = 7(-1) = 8
h = (_{b - a})/^{n + 1}
△n = (_{b - a})/^{n + 1}
e ∑ i=0 Δn ∙ f(n_i)
A = ∑ i=0 Δn ∙ f(n_i) = ∫_a^b f(n) dn

Relazione tra derivate ed integrali

f(n) = n

1. f² dn = _x²/²
2. A = B ^h/₂
3. B = ₀/²
4. h = x(-1)

Teoria dell'integrazione

Casos semplice 1: A = B ∙ h = 5x8 = 40
Integrale A_i = Δn_i ∙ f(n_i)
A_n = ∑ A_i = ∑ Δn f(n_i)
A = ∑ m ∑ f(n_i) Δn := ∫_a^b f(n) dn

Relazione tra derivate ed integrali

f(n) = n
t(2): ∫ f_n dn = x²/₂
ΔF = d/dt (x²/₂) = x²/₂
d/dn ∫_a^t f(t) dt = -f(n)

Tabulato (databas)

Sarai (m); se la funzione f(m) è tale che ^dt = f(m) allora f(m) è detta primitiva di f(n). (L’insieme definito da Mangano)

Esempio

Dato f(n) = 2n trovare f(n), det f = 2n^df(n) = nf(m) = nⁿ ➔ data f(n) trovare la primitiva ossia trovare f(m); ^df(m) = nⁿ
Dato f(n) = eⁿ trovare la primitiva f(m); inf ^en

Esempio

Dato f(n) = eⁿ dove a ∞ determina la primitiva di f(m), ossia trovare f(n), a ∞ = eⁿ.
Calcolare, dato f(n) = √7n, determinare la primitiva.
∫ √7n = √(7n)^1/4 = ∫7 ∫ (1+n)¹= ∫ 2/3 √7n³ = ∫ 2/3 √7n³ + c

Primitiva di funzioni trigonometriche

Sia f(n)=cosn determinare la primitiva di f(n)
∫cosn = +senn+e
Sia f(n)=senn determinare la primitiva di f(n)
∫senn= -cosn+e

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f(n) una funzione continua nell'intervallo [a,b], allora definiamo la funzione T(n):
T(n)=∫_aⁿf(t)dt ∀m∈[a,b]
Allora:

1. T(n) è continua sull'intervallo [a,b]
2. T(n) è derivabile in (a,b)
3. dT_ab = f(n) (cioè T è una primitiva di f(n))
4. ∫_a^bf(t)dt = F(b) - F(a)

Osservazione

∫_a^bf(t)dt si chiama integrale definito tra "a" e "b" della funzione f(n)
Per f(n) vera funzione integranda

Esercizio

f(n)=3n+2 Calcolare l'area sotto la retta f(n) nell'intervallo n∈[3,4]
A=BFb-Bm
B = -8 49 u 2 13y = 3(x-1) = 13 = 11
B =b=(1 - (-3) = u(x-1) 3 2 1 21)
Provato t(n) : dt = 3n+2
t(n)= 3n²lnn+eⁿ2)
∫₃ⁿ⁺¹ (3n-2) dn = -t (₁/^a) + t(3) = 3(₁/^u); ₁/²₁/^a) e^-l[3(-3)²-2(-3)+ e^u] = ⁸/₃₂-¹/₂-2⁷/₂ + 6/t (l-8)

Proprietà degli integrali

Dati f e g funzioni: (fn) e (gn) continue sull'intervallo [a; e] sia a

1. ∫_a^e k(f(n)) dn = k ∫_a^e (f(n)) dn
2. ∫_a^e [f(n) + g(n)] dn = ∫_a^e f(n) dn + ∫_a^e g(n) dn
3. ∫_a^b f(n) dn + ∫_b^e f(n) dn = ∫_a^e f(n) dn
4. ∫_a^c (f(n)) dn = - ∫_e^c f(b) dn

Tabella ∫f(n)

1. ∫dn = e       ∀ p ∈ ℝ
2. ∫dn nⁿ = nⁿ⁺¹/n+1 e       ∀ n ∈ ℝ
3. ∫dn ln n = n ln n - n + e       ∀ e ∈ ℂ
4. ∫cos n dn = sin n + e       ∀ e ∈ ℝ
5. ∫sin n dn = -cos n + e       ∀ e ∈ ℝ
6. ∫kn dn = k n e       ∀ e ∈ ℝ ∀ e ∈ ℂ
7. β∫λ^dn dn = 1/^λ e       nXo ∀ e ∈ ℝ

Esercizio

∫₀³ (n + 1) dn = ∫₀³ ndn - ∫₀³ dn = n³/2mso² = 3 &#sdot; 0/3 = 9/2 - 3 = 3/2(n) = n &#sdot; 1
∫_-1² n³ - an + 5 dn = ∫_-1² n³ dn - am + ²_-1 + ∫_-1² 5 dn = n³/3² &#sdot; 0 &#sdot; 2 là &#sdot; 5m&#sdot;1 = 50 ♪ 5 - 30 ♭ 3 + 8