Analisi matematica - insiemi numerici e funzioni

Funzioni e insiemi numerici

Sottoinsieme

L'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme A quando ogni elemento di A appartiene anche ad A.

Unione

Diciamo unione di due insiemi A e B l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad uno almeno degli insiemi A e B.

Intersezione

Diciamo intersezione di due insiemi A e B l'insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B. Due insiemi si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune. La loro intersezione è l'insieme vuoto.

Differenza

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza l'insieme A\B costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. L'insieme A\B è anche chiamato complementare di B rispetto ad A.

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, diciamo loro prodotto cartesiano A × B l'insieme delle coppie ordinate (a,b).

Funzioni

Dati due insiemi X e Y, chiamiamo funzione da X in Y un'assegnata corrispondenza che ad ogni x appartenente ad X associa un unico y appartenente ad Y. L'insieme di partenza X prende il nome di dominio della funzione. L'insieme di arrivo Y è detto codominio. Il sottoinsieme f(X) di Y è detto insieme delle immagini.

Funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva quando elementi distinti di A hanno in Y immagini distinte (quando ogni elemento dell'insieme delle immagini proviene da un unico elemento di A).

Funzione inversa

Sia f: A → Y una funzione iniettiva. Chiamiamo sua inversa la funzione, definita su f(X) e a valori in X, che ad ogni y appartenente a f(X) associa la sua contro immagine. La funzione inversa di f verrà indicata con f⁻¹.

Funzione composta

Siano date le funzioni f: A ⊆ X → Y e g: Y → Z, definite in A ⊆ X e Y. Chiameremo funzione composta, mediante f e g, la funzione h: A ⊆ X → Z che a ogni x appartenente ad A ⊆ X associa l'elemento g[f(x)]. Tale funzione composta sarà indicata con la notazione h = g[f].