Analisi Matematica

Analisi I

Corso di Laurea in Informatica

Insiemi

• L'idea di "insieme" è una idea primitiva e può essere immaginata come un raggruppamento di oggetti individuati attraverso una o più proprietà che essi possiedono.
• Gli insiemi sono costituiti da "oggetti" anche detti "elementi."
• Gli insiemi si denotano generalmente con le lettere maiuscole, gli oggetti con le lettere minuscole.
• Per descrivere il legame fra un insieme ed un suo oggetto, si scriverà il simbolo "∈" fra l'oggetto e l'insieme: x ∈ X. Si legge "x appartiene ad X."               ∉ significa "non appartiene."
• Gli insiemi sono descritti in vari modi. Si può elencare tutti i suoi elementi fra parentesi graffe o enunciandone le proprietà che li caratterizzano.

Es.

1) A = {a, b, c, d, ∅}     2) B = {automobili immatricolate_{nel 2005}}

Analisi I

Corso di Laurea in Informatica

Insiemi

• L'idea di "insieme" è una idea primitiva e può essere immaginata come un raggruppamento di oggetti individuati attraverso una o più proprietà che essi possiedono.
• Gli insiemi sono costituiti da "oggetti" anche detti "elementi".
• Gli insiemi si denotano generalmente con le lettere maiuscole, gli oggetti con le lettere minuscole.
• Per descrivere il legame fra un insieme ed un suo oggetto, si scriverà il simbolo "∈" fra l'oggetto e l'insieme: x ∈ X.Si legge "x appartiene ad X". ∉ significa "non appartiene".
• Gli insiemi sono descritti in vari modi. Si può elencare tutti i suoi elementi fra parentesi graffe o enunciandone le proprietà che li caratterizzano.

Es.

1. A = {a, b, c, d, ξ}
2. B = {automobili immatricolate_{nel 2005}}

Fra insiemi è possibile definire delle "operazioni" ossia delle leggi che stabiliscono un criterio per associare a due insiemi un terzo insieme.

Definizione

Siano A e B due insiemi.

1. Si chiama "unione di A e B" e si denota con "A ∪ B" il seguente insieme.
   • A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
2. Si dice "intersezione di A e B" e si denota con "A ∩ B"
   • A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
3. Si dice "differenza di A e B" l'insieme indicato con "A \ B"
   • A \ B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B }

Per comprendere le precedenti definizioni occorre comprendere cosa è una "proprietà" e cosa sono le "operazioni fra proprietà".

Per proprietà si intende una affermazione alla quale si possa attribuire valore di verità, cioè o è vera o falsa.

Dette P₁ e P₂ due proprietà, diciamo che la proprietà P= P₁ ∨ P₂ è vera se almeno una fra P₁ e P₂ è vera.

Dette P₁ e P₂ due proprietà, diciamo che P = P₁ ∧ P₂ è vera se sia P₁ che P₂ sono vera.

Esempio

1. A = { 1 , 2 } B = { a , b , c }A ∪ B = { 1 , 2 , a , b , c }
2. A = { 2 , 2 , 3 } B = { 2 , 3 , 5 }A ∩ B = { 2 , 3 }A \ B = { }B \ A = { 5 }

- DefinizioneSi dice "insieme vuoto" quell'insieme che non contiene alcun elemento. Esso si ottiene con ∅.

- OsservazioneA insieme: A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A \ ∅ = A, ∅ \ A = ∅

- Definizione "diverso"Sono A ≠ ∅ e B ≠ ∅.Si dice "coppia non ordinata" un insieme di due elementi di cui uno appartenente ad A e l'altro a B.Si dice "coppia ordinata" una collezione di due oggetti uno preso da A, l’altro da B, tali per cui sia possibile distinguere un primo componente ed un secondo componente.Se a ∈ A e b ∈ B, { a , b } è una coppia non ordinata. Ovunque desideriamo una coppia ordinata usiamo (a,b).

Le parentesi tonde: (a,b).

• Nella coppia ordinata (a,b), a si dice "prima coordinata" o "prima proiezione", b si dice "seconda coordinata" o "seconda proiezione".

Definizione

A ≠ ∅, B ≠ ∅.Si dice "prodotto cartesiano di A e B" e lo si denota con "A × B" l'insieme

A × B = {(a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Esempio:A = {a, b, c}, B = {0, ∆}.Allora A × B = {(a,0), (a,∆), (b,0), (b,∆), (c,0), (c,∆)}.

Definizione

Sia A insieme. Si dice che "B è un sottoinsieme di A" o che "B è incluso in A" se B è un insieme tale che sia verificato la seguente implicazione.

x ∈ B ⇒ x ∈ A_{si legge "implica"}

In tal caso si scrive B ⊂ A.

• Per comprendere la precedente definizione occorre spiegare cosa significa "verificare una implicazione".Dato due proprietà P₁ e P₂, la proprietà ottenuta con P₁ ⇒ P₂ si chiama "implicazione" ed è vera se, ammettendo che P₁ sia vera, allora P₂ è vera.

Esempio

A = {4, 0, Δ, □}, B = {○, Δ, ★, ξ}, C = {1, ○, □}

C ⊆ A, B ≠ A.

Definizione