Analisi Matematica

Analisi I

Insiemi

• L'idea di "insieme" è una idea primitiva e può essere immaginata come un raggruppamento di oggetti individuati attraverso una o più proprietà che essi possiedono.
• Gli insiemi sono costituiti da "oggetti" anche detti "elementi."
• Gli insiemi si denotano generalmente con le lettere maiuscole, gli oggetti con le lettere minuscole.
• Per descrivere il legame fra un insieme ed un suo oggetto, si scriverà il simbolo "∈" fra l'oggetto e l'insieme: x ∈ X. Si legge "x appartiene ad X." ∉ significa "non appartiene."
• Gli insiemi sono descritti in vari modi: 1) Può elencare tutti i suoi elementi tra parentesi graffe o enumerandone le proprietà che li caratterizzano.

Es.

1. A = {a, b, c, d}
2. B = {automobili immatricolate nel 2005}

Fra insiemi è possibile definire delle “operazioni” o

ossia delle leggi che stabiliscono un criterio per

associare a due insiemi un terzo insieme.

- Definizione

Siano A e B due insiemi.

1. Si chiama “unione di A e B” e si denota con

A ∪ B il seguente insieme:

A ∪ B = {x | x∈A ∨ x∈B },

2. Si dice “intersezione di A e B” e si denota con

A ∩ B il seguente insieme:

A ∩ B = {x | x∈A ∧ x∈B },

3. Si dice “differenza di A e B” l’insieme

indicato con A \ B:

A \ B = {x | x∈A ∧ x ∉ B }.

Per comprendere le precedenti definizioni occorre

comprendere cosa è una “proprietà” e cosa sono

le “operazioni fra proprietà.”

Per proprietà si intende una affermazione alla quale

si possa attribuire valore di verità, cioè dire se

è vera o falsa.

Gli elementi di A si dicono "variabili indipendenti".

A si dice "insieme di partenza," B si dice "insieme di arrivo".

Esempio:

1. A sia l'insieme degli esseri umani

B sia l'insieme delle donne

R = {(a,b) ∈ A x B | a è figlio di b} è una relazione funzionale. (A,B,R) è una funzione.

2. A come sopra, B insieme degli orologi da polso.

R = {(a,b) ∈ A x B | a ha al polso b} non è funzione: ci sono esseri umani che non hanno al polso orologi.

3. A insieme delle madri, B insieme degli esseri umani.

R = {(a,b) ∈ A x B | a è madre di b} non è funzione: ci sono madri con più di un figlio.

• Il teorema di simmetrizzazione applicato all'IN rispetto alla moltiplicazione genera un nuovo insieme che contiene N, su cui posso estendere le operazioni + e - con le stesse proprietà che hanno in IN e tali per cui ogni elemento di questo nuovo insieme, fatta eccezione per lo 0, possiede un elemento simmetrico rispetto alla moltiplicazione.
• Il suddetto insieme si denota con Q₊ ed è descritto come segue:

Q₊ = {q | ∃1 n ∈ N ∧ ∃ m ∈ N [{s.t. q = n/m]

• dove con il simbolo s.t. si intende il simmetrico di m rispetto a -.
• Q₊ prende il nome di "insieme dei numeri razionali non negativi".
• Q₊\{0} si dice "insieme dei numeri razionali positivi".

Definizione

Si chiama "insieme dei numeri razionali" e lo si denota con Q il simmetrizzato di Q₊ rispetto all'addizione.

• Si prova che l'insieme Q₊ può essere descritto nel modo seguente:

Q₊ = {q | ∃ m ∈ Z ∧ ∃ n ∈ N [{s.t. q = m/n]}

(iv) Siano p, q ∈ A tali che p ≤ q e sia x ∈ Q₊. Allora ∃ k ∈ A tale che q = p + k (*).

Moltiplico (*) per x ed ottengo

q ⋅ x = (p + k) ⋅ x = p ⋅ x + k ⋅ x [□]

Per la precedente proposizione, siccome x ∈ Q₊, si ha k ⋅ x ≥ 0. Per la compatibilità di ≤ rispetto alla moltiplicazione, siccome k ∈ A₊, si ha k ⋅ x ≥ k ⋅ 0 ⇔ x ≥ 0. Dunque 0 ≤ -k ⋅ x ⇒ -k ∈ Q₊.

Opera i

Da [□] si ha q ⋅ x = p ⋅ x + k ⋅ x e quindi aggiungendo -k ⋅ x da tutte e due le parti

q ⋅ x + (-k ⋅ x) = p ⋅ x

da cui q ⋅ x ≤ p ⋅ x.

- Definizione

• A ⊂ Q, B ⊂ A si dicono "separati" se ∀ a ∈ A, _b ∈ B : a ≤ b
• A e B separati. c ∈ A si dice "elemento di separazione fra A e B" se ∀ _a ∈ A, ∀ _b ∈ B : a ≤ c ≤ b.

Esempio

A = {2, 2, 2³}, B = {2, 2, 3} . A e B sono separati

e 3/2 è un elemento di separazione.

Notazione: ∀ q ∈ Q pensiamo q^m = q ⋅ q ⋅...⋅ q_nr ≠ 0

- L D ⊂ R e f: D → R, i punti della relazione funzione possono essere rappresentati nel piano cartesiano

- Definizione

Sia X un insieme numerico (per esempio N, Z, a...) con una relazione d’ordine ≤. Un sottoinsieme Y di X si dice “denso” in X se

∀x₁∈X, x₁