Analisi matematica - Insiemi

INSIEMI

Un insieme è quello che si chiama un concetto

• Primitivo, non si definisce

Definisco un insieme dai suoi elementi - elencazione

A = insieme

n ∈ A → ∉ appartiene

Esempio 1: A = {Estate, Autunno, Inverno, Primavera}

Estate ∈ A

Esempio 2: N = {0, 1, 2, ...}

Esempio 3: ℤ = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Esempio 4: interi > 0 e < 3

A = {1, 1.0, 1.1, 2}

A = {2, 3 ∈ ℤ : 2 ≤ x ≤ 3} → proprietà di cui godono 2 e 3

In generale:

A = {x ∈ R : P(x)}

reale

Esempio: Numeri naturali dispari

D = { 1, 3, 5, 7, ... }

oppure

D = {n ∈ N : n non è divisibile per 2}

peculiarità

Diagrammi di Venn che rappresentano gli insiemi:

A ∪ J

B ⊆ A formula matematica che esprime che B è soddisfatto da A

B propriamente contenuto in A

Se un insieme di un insieme c’è, dati 2 insiemi: A e B, diciamo che B è sottoinsieme di A quando propriamente, campione

appartenente a B segue che

B ⊆ A → b ∈ A

B ⊆ A → ∅ propriamente contenullo

Insiemistica

Un insieme è quello che si chiama un concetto primitivo, non si definisce.

Definisco un insieme dai suoi elementi - elencazione.

A = insieme

n ∈ A → appartiene

• Esempio 1: A = {Estate, Autunno, Inverno, Primavera} Estete ∈ A
• Esempio 2: N = {0, 1, 2, ...}
• Esempio 3: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
• Esempio 4: Interi: x > 0 e < 4

A = {1, 0, 1, 2}

A = {2 ∈ Z: -2 ≤ 2 ≤ 3}

In generale A = {a ∈ R: P(a)}

Esempio: Numeri naturali dispari

D = {1, 3, 5, 7 ...} oppure

D = {n ∈ N: n non è divisibile per 2}

Diagrammi di Venn che rappresentano gli insiemi.

A ∪ J

B ⊆ A Formula matematica che l'ogni me che B lo soddisfano di A.

Sottoinsieme di un insieme: dati i B insiemi A e B

diciamo che B è sottoinsieme di A quando l'ogni me preso b

appartenente a B segue che b appartiene anche ad A.

b ∈ B ⊆ B → b ∈ A

B ⊆ A → propriamente contenuto

Operazioni tra insiemi

1. Unione

A ∪ BA ∪ B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B}

Esempio: A = studenti maschi; B = studenti maschi e femmine A∪B = C = (studenti maschi, studentesse con occhiali)

A = 9 elementi B = 10 elementi C ha 7 elementi Conclusione: insieme C contiene gli elementi di A e B

2. Intersezione

Un'operazione in cui gli insiemi A e B definiscono un'intersezione A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B}

3. Due insiemi si dicono disgiunti quando non hanno elementi in comune

A ∩ B = ∅

Nessun elemento di A appartiene a B

Non sono disgiunti

A = {1, 2, 5, 9, 13, 22}

B = {3, 5, 7, 9, 11, 13}

A ∪ B = A oppure A ∪ ∅ = {1, 2, 5, 9, 13, 22}

A ∩ ∅ = ∅ { }

A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 22}

A ∩ B = {5, 9, 13}

Se A e B sono disgiunti allora A ∩ B = ∅

3. Differenza tra insiemi

Dato A e B (∈) elementi che non ne appartengono all'insieme di differenza A − B

A − B = {x | x ∈ A e x ∈/ B }

La differenza sono gli elementi di A che non appartengono a B

A ∪ B = { 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 22}

A ∩ B = {5, 9, 13}

A − B = {1, 2, 22}

Complementare di B in A

(Se A − B si somma B ritroviamo A)

Proprietà delle operazioni

1. A ⊆ B ⟺ A ∪ B = B

   B ⊆ A ∪ B

2. A ∩ B ⊆ A

   A ∩ B ⊆ B

   ∀ A B

3. A ∪ ∅ = A

   ∀ A

4. A ∩ ∅ = ∅

   ∀ A

5. A ∩ B = B ∩ A

   A ∪ B = B ∪ A

   ∀ A, B

6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

   A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

7. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

   A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

   a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

8. A ∩ A = A

   A ∪ A = A

   ∀ A

9. A ∩ Ā = ∅

   A ∪ Ā = X

   Insieme universo

1. Prodotto cartesiano

A × B è l'insieme costituito dalle coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B.

A = {Giovanni, Luca, Andrea}

B = {occhiali, cappello, sciarpa}

A × B = {(Giovanni, occhiali), (Giovanni, cappello), (Giovanni, sciarpa), ...}

(a + b), (a + b) ≠ (a, a), (a: b) ≠ (b, b)

A × B ≠ B × A

Non gode della proprietà commutativa

A = {1, 3, 4, 5}

B = {1, 2}

A × B = {(1, 1), (1, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}

Indice del prodotto cartesiano tra 2 insiemi:

i punti del piano sono i punti dell'insieme di R² (cartesiano).

Relazioni tra insiemi

Dati 2 insiemi A e B si dice relazione tra A e B una legge che associa elementi di A o elementi di B.

1. L'insieme A è detto dominio.
2. L'insieme B è detto codominio.

Esempio:

• A = { Donne - Cittadinanza Italiana }
• B = { Italiani }

Per ∀a∈A e ∀b∈B avremo aRb se a è madre di b.

a è in relazione con b se a è madre di b.

• Se Dominio, sia un sottoinsieme di A (non coincide con A).
• Se Codominio non coincide con B (sottoinsieme).

Codominio = Sottoinsieme, ma ci sono elementi di B che non coincidono con A

• B è un sottoinsieme di B [C = Immagine di B]

Se C coincide con B la relazione si dice suriettiva.

Esempio:

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 22, 4, 5, 4 }

Pro:

∀a∈A e ∀b∈B ∃ aRb se a ∈ A e b ∈ B di sa di b.

Gr = { (2, 2), (2, 22), (2, 5, 4, 1), (2, 5, 4), (3, 5, 4, 1) }

Immagine di D

Dominio di R e ∈A

Codominio di R e ∈B

Immagine di N = { 1, 2, 2, 5, 4 }

Im(A)={b B e g: C -> D

Allora risulta definita la funzione composta

che si indica g o f: A -> D

Associa ad ogni elemento a

...

Immagine della funzione composta

g(f(m))=g...

Il codominio f deve essere contenuto in C.

Esempio: f, R->R

f(m)=m²+1

g: R->R

g(m)=m-1

Troviamo g o f(m)

g(f(m))

...

h(m)=g o f(m)=m²

Esempio 2:

f: R -> Rg: R -> R

go(m) = g(f(m)) = g(m-3) = (m-3)² == m² - 6m + 9

Esempio 2:

f(m) = √ng(m) = n² - 5

go(m) = g(f(m)) = g(√n) = (√n)² - 5 = n - 5

_naturaliinteri codici N = {0,1,2,3...}

-2∉NN = { ... }

_{naturali interi codici}N = { 1,2,3, ... }2 - 3 = -1_∉N

N sono definiti la somma e prodotto (commutative, associative)a + b = b + a = aa · b = b · a = a

_{elemento neutro = 0}a ∈ Z∀a 1 ∈ Z _{elemento neutro = 1}

a - a = 0 _{elemento neutro somma}f b c ∈ Za · 0 = 1 _{elemento neutro moltiplicazione}

3,0,9,11/3 ∉Q_{non esiste}

Nomi tabaches

m^-n ℕ {Z} Z z k n+ d

N: m > 0 e n = 1

p = 5³ = q

25₃₈ = [m: o : m-n]

n = p_m

= 13³

Va e Q

a . b = l

a = m

= 3 . b = m-n

= 3

3 = 1 = 5

I numeri razionali hanno rappresentazione decimale data da una espressione finita oppure periodica

m = 5.72₂₂₂ e Q

Se dopo la virgola si ha un numero infinito non periodico allora il numero non e' razionale e Q

!

(Radic quadratu) (non e' definire numeri irrazionali)

probel = lo seguente problema e' vele e quocare un

P²= V2= 1,11... (non period.)

Area = P² = 2