Analisi matematica - Insiemi

Insiemistica

Un insieme è qualcosa che si chiama "un concetto".

È primitivo, non si definisce.

Definisco un insieme dei suoi elementi - elencazione.

Esempio 1: A = {estate, autunno, inverno, primavera}. Estate ∈ A

Esempio 2: N = {0, 1, 2, ...}

Esempio 3: Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Esempio 4: Interi > 0. A = {1, 0, 1, 2} e Z + 3.

A = {a ∈ Z | a: coefficiente di un giorno 2}

In generale A = {a ∈ A | a: ...}

Esempio: Numeri naturali dispari. D = {1, 3, 5, 7, ...} D = {n ∈ N | n non è divisibile per 2}

Diagrammi di Venn come rappresentano gli insiemi:

B ⊆ A - formula matematica che esprime che B è sottinsieme di A.

B è contenuto in A

Sottomiscela di un insieme E dati 2 insiemi A e B, diremo che B è sottomiscela di A quando "domunque preso b appartentente a B" segue che b appartiene anche ad A.

(∀b ∈ B ⟹ b ∈ A)

B ⊆ A = B propriamente contenuto in A

Sottoinsieme

C ⊆ A

Tutti gli elementi di C ∈ A

E qualche elemento di A

Alla differenza di B

Due insiemi si dicono uguali e si scrive (A = B)

Quando A ⊆ B e B ⊆ A

Definizione (insieme vuoto)

Privo di elementi: ∅

Comunque preso un insieme A, l'insieme vuoto è contenuto in A

∀ A insieme → ∅ ⊆ A

Operazioni tra insiemi

∀ A, B

A ∪ B = { n: n ∈ A oppure n ∈ B }

Esempio: A = studenti maschi; B = studentesse con occhiali

A ∪ B = C = { studenti maschi, studentesse con occhiali }

A = 4 elementi

B = 10 elementi -> C = 14 elementi

∩, un'operazione tra insiemi A ∩ B determino un'intersezione

A ∩ B = { n: n ∈ A e n ∈ B }

Esempio:

Intersezione di A e B = solo i maschi con occhiali

Relazioni tra insiemi

Dati 2 insiemi A e B si dice relazione tra A e B una legge che associa elementi di A o elementi di B.

1. L'insieme A è detto dominio.
2. L'insieme B è detto codominio.

Esempio: A = { donne } B = { abitanti italiani }

A ∈ A, B ∈ B, allora a R b se a è madre di b.

a è in relazione con b se a è madre di b.

• Se il dominio A ha un solo insieme di B (non coincide con N)
• Se il codominio non coincide con B (sottoinsieme)

Codominio = tutti gli elementi, ma ci sono elementi di B che non coincidono con A.

B è un sottoinsieme di B [C: sottoinsieme di B].

[C = sottoinsieme di B]

Se C coincide con B la relazione si dice suriettiva.

Esempio: A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 22, 4, 54 }

Pro: a ∈ C⊆B, a ∈ A e b ∈ B, a R b se a ∈ uno di u, sua d b.

G = { (2, 2), (2, 22), (2, 54), (3, 54) }

Immagine di N = { 2, 22, 54 }

Norma matematica

=∣/∣ con , ∈ ℤ / ∉ ℚ

≠ 0

ℚ = ∣/∣ con , ≠ 0

2 : 1.0 = 1:0.5

= /

Un esempio: ∣3/2 = 1,5

I numeri razionali hanno rappresentazione decimale finita

o periodica.

Se dopo la virgola si ha un numero infinito non periodico allora

il numero non è razionale.

Hanno espressione decimale infinita aperiodica.

(radice quadrata) (come definire numeri irrazionali)

(probem in allineasm a numeri razionali non è possibile risolvere il seguente problema e debo tolarre un numero prala cui

P^2 = 2

Area = P^2 = 2