Insiemi, Analisi matematica

Elementi della teoria intuitiva degli insiemi

Def Insieme = aggregato di oggetti non strutturato:

• per indicare insiemi: "A", "B", ...
• per indicare oggetti: "a", "b", ...

Rappresentazioni:

1. per tabulazione;

   Esempio: E = {a, b, ...}

2. per caratteristica (o legge);

   P(x) = {x ∈ U | x soddisfa P(x)}

   U = universo

3. grafica;

   oggetto = elemento = punto

   a ∈ A (a appartiene all'insieme A)

   b ∉ A / b ∈ A (b non appartiene ad A)

Operazioni

1. A = B quando sono formati dagli stessi elementi

Proprietà

• 1.1) A = A (riflessiva)
• 1.2) A = B => B = A (simmetrica)
• 1.3) A = B e B = C => A = C (transitiva)

Simboli logici: negazione: ￢; congiunzione: ∧; disgiunzione: ∨; implicazione: =>; doppia implicazione:

2. B ⊆ A quando ogni elemento di B è elemento di A

   Se b ∈ B => b ∈ A => ∃ a ∈ A a ∋ b

   B ⊆ A

   A = B se A ⊆ B ∧ B ⊆ A

3. A ∪ B quando si forma un insieme C nel quale

{ x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B }

L'unione è un'operazione binaria

Proprietà

• 3.1) A ∪ A = A
• 3.2) A, B ⊆ C
• 3.3) A ∪ B = B ∪ A (commutativa)
• 3.4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)
• 3.5) A ∪ B = A B ⊆ A
4. A ∩ B quando si forma un insieme C nel quale

{ x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B }

Proprietà

• 4.1) A ∩ A = A

Elementi della teoria intuitiva degli insiemi

Def Insieme = aggregato di oggetti non strutturato

• per indicare insiemi: "A" "B"...
• per indicare oggetti: "a" "b"...

Rappresentazioni:

1. per tabulazione; Es A = {a, b,...}
2. per caratteristica (o legge);

Es P(x) A = {x ∈ U | x soddisfa P(x)}

grafica:

A

a ∈ A (a appartiene all'insieme A)

b ∉ A / b ∉ A (b non appartiene ad A)

Operazioni

1. A = B quando sono formati dagli stessi elementi

Proprietà

• 1.1) A = A (riflessiva)
• 1.2) A = B ⇒ B = A (simmetrica)
• 1.3) A = B e B = C ⇒ A = C (transitiva)

SIMBOLI LOGICI negazione: ¬; congiunzione: ∧; disgiunzione implicativa: ∨ implicazione ⇒; doppi implicazione: ⇔

2. B ⊆ A quando ogni elemento di B è elemento di A

se b ∈ B ⇒ b ∈ A e ∃ a ∈ A ∧ a ∉ BB ⊆ A

A = B se A ⊆ B ∧ B ⊆ A

3. A ∪ B quando si forma un insieme C nel quale

{x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}L'unione è un operazione binaria

Proprietà

• 3.1) A ∪ A = A
• 3.2) A, B ⊆ C
• 3.3) A ∪ B = B ∪ A (commutativa)
• 3.4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)
• 3.5) A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A

4. A ∩ B quando si forma un insieme C nel quale

{x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Proprietà

• 4.1) A ∩ A = A