Analisi matematica II - serie numeriche

Serie Numeriche

1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ... + ¹/_2^m + ... = 2

Serie numerica è una somma di infiniti termini

a₀ + a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = ∑^∞_n=0 a_n

Esempio sopra:

∑^∞_m=0 ¹/_2^m

SommaToria

a_n = termine generale   a_m = ¹/_2^m

Le serie possono anche non partire per forza da m=0. Ad esempio:

∑^∞_m=1 ¹/_m = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ...

n non può essere ∅ (m ≠ 0)

∑^∞_m=2 ¹/_m-1 = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ...

n non può essere 1 (m-1 ≠ 0, m ≠ 1)

➧ Serie armonica

Somme parziali N-esime

S_N = a₀ + a₁ + ... + a_N = ∑_m=0^N a_m

Esempio:

∑_m=0^{N 1}/_2^m

S₀ = a₀ = 1

S₁ = a₀ + a₁ = 1 + ¹/₂

S₂ = a₀ + a₁ + a₂ = 1 + ¹/₂ + ¹/₄

Successione delle somme parziali N-esime

{S_N}

Serie Numeriche

1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ... + ¹/_2^m + ... = 2 ?

Serie numerica è una somma di infiniti termini

A₀ + A₁ + A₂ + ... + A_m + ... = ⁺/_∞∑_n=0 a_m

Esempio sopra:

⁺/_∞∑_m=0 ¹/_2^m Sommaatoria

a_m = termine generico    a_m = ¹/_2^m

Le serie possono anche non partire per forza da m = 0. Ad esempio:

⁺/_∞∑_m=1 ¹/_m = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ...    n non può essere 0 (m ≠ 0)

⁺/_∞∑_m=2 ¹/_m−1 = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ...    n non può essere 1(m−1 ≠ 0)(m ≠ 1)

→ serie armonica

Somma parziale N−esima

S_N = a₀ + a₁ + ... + a_N = ∑_m=0^Na_m

Esempio:

∑_m=0^N1/_2^m

S₀ = a₀ = 1

S₁ = A₀ + a₁ = 1 + ¹/₂

S₂ = A₀ + A₁ + a₂ = 1 + ¹/₂ + ¹/₄

Successione delle somma parziali N−esime

{ S_N }

Se _{m → ∞} S_m =

esiste finito L; dico che la serie _m=0^∞ a_m è convergente e ha per somma L

Se S_m

infinito; dico che la serie è divergente in +∞ oppure -∞

Se una serie

_m=0^∞ a_m

non esiste; dico che la serie _m=0^∞ a_m è irregolareo indeterminato o oscillante.

Definizione: La serie _m=0^∞ A_m è connessa con somma L, divergente a +∞ (-∞) o irregolare a seconda che la successione {S_N} sia convergente a L, divergente a +∞ (-∞) o irregolare.

Serie geometrica (di ragione q):

Σ_m=0^∞ q^m = 1 + q¹ + q² + q³ + ...

Si chiamano serie geometrica poiché i termini di tale serie sono i termini di una progressione geometrica di ragione q.

1-q² = (1+q)(1-q)1-q³ = (1-q)(1+q+q²)1-q⁴ = (1-q)(1+q+q²+q³)... 1-q^m+1 = (1-q)(1+q+q²+...qⁿ)

Ne deduro che, per q≠1:

1+q+q²+...+qⁿ = 1-q^m+1/1-q (ho diviso per (1-q))

_{N → ∞} S_N = _{N → ∞} 1-q^m+1/