Serie numeriche e di potenza, Analisi matematica II

Serie numeriche

Definizione generale

Data una successione {a_n}, si dice serie numerica di termine generico a_n il limite per "m" tendente all'infinito della successione delle somme parziali S_m, cioè lim S_m = lim Σ a_n = Σ a_n.

Convergenza e divergenza

Σ a_n si dice convergente se lim S_m esiste ed è finito; divergente se lim S_m = +∞ o lim S_m = -∞; indeterminato se.

Il "questa serie diverge" è diverso da "questa serie non converge".

OSS: Se a_n, allora Σ a_n converge o diverge.

Serie armonica

Σ 1/i ∫_nⁿ⁺¹ 1/x ∈ 1/n

f(x) = 1/x

K 1/n

Serie numeriche

Definizione dettagliata

Data una successione {a_n}, si dice serie numerica di termine generico a_k il limite per "m" tendente all'infinito della successione delle somme parziali S_m: cioè lim_m→+∞S_m = lim_m→+∞ Σ a_n = Σ a_n.

Convergenza e divergenza

Σ a_n si dice convergente se lim_m→+∞ S_m esiste ed è finito; divergente se lim_m→+∞ S_m = +∞ o lim_m→+∞ S_m = -∞; indeterminato se lim_m→+∞ S_m (Σ (-1)^k ).

"Questa serie diverge" è diverso da dire "questa serie non converge".

Oss. Se a_n, allora Σ a_n converge o diverge.

Serie armonica

Σ_k=1 1/k

f(x) = 1/x

∫_n⁽ⁿ⁺¹⁾ 1ⁿ

∫_m^(m+1) 1/x ≤ ∫_n⁽ⁿ⁺¹⁾ 1/x = 1/x |_n⁽ⁿ⁺¹⁾ > 1/n

Σ_m^(m+1) 1/x ≤ Σ_n⁽ⁿ⁺¹⁾ 1/x = S_m

Σ₁ⁿ 1/k = S_m

lim log(m+1) ≤ lim S_m = +∞ (diverge)

Serie armonica generalizzata

∑ 1/n^p, p > 0

1/(n+1)^p ≤ 1/x^p ≤ 1/n^p

f(x) = 1/x^p

1/1-p [(m+1)^1-p - 2] = ∫₂^m+1 dx/x^p = ∑^m_n=1 1/n^p ≤ ∑^m_n=1 1/n^p = S_m

1/1-p lim_m→+∞ (m+1)^1-p - 2 ≤ lim_m→+∞ S_m

se il lim è 0 < p < 1 → +∞ < lim_M→+∞ S_m

se p ≥ 2

1/n^p ≤ 1/n^p ≤ ∫_n-1ⁿ dx/x^p ≥ ∫_n-1ⁿ dx/x^p = 1/n^p

x = 1/n^p

∑ 1/n^p = {divergente per p ≤ 1, convergente per p > 1}

Criterio del confronto

Dati: a_n≥0, b_n≥0 e a_n≤b_n

• Se ∑b_n converge ⇒ ∑a_n converge
• Se ∑a_n diverge ⇒ ∑b_n diverge

OSS. Se c_k ≤ a_k ≤ b_k ⇒ ∑a_n ⊆ ∑b_n

Criterio del confronto asintotico

Dati a_n >0 e b_n >0 e lim a_n/b_n = l ∈ ℝ ⇒ ∑a_n si comporta come ∑b_n

OSS. (1-ε)b_n ≤ a_n ≤ (l+ε)b_n ∀k > k₀

Criterio infinitesimo

Data a_n >0 se ∃a: lim a_n1²= l

• l ∈ (0; +∞) allora se >1 ⇒ ∑a_n converge
• l = 0 se >1 ⇒ ∑a_n diverge
• l=+∞ se 0 se ∃ lim^{n→∞ n}√a_n = l ⇒

OSS. (Def di limite) ⇒ l - ε n√a_n n₀

Se l > 1 ∃ l - ε n n

Criterio del rapporto

Data a_n > 0 se ∃ lim^{n→∞ a_n+1}/_an = l ⇒

• l > 1 ⇒ ∑a diverge

a_n+1 ≠ a_n+1a_n: f, N -> R ^{n→∞ n}-ana_n = f(N)a_n+1 = f(N+1)

Serie a termini di segno variabile

∑^∞_m=0e_um

Criterio di convergenza assoluta

Data ∑m se converge la serie ∑|u_n| allora converge anche ∑u_n.

E ∑u_n | F ∑u_n converge | converge

diverge | diverge

Criterio di Leibniz

La serie _n=0^∞ (-1)ⁿ a_n è convergente se:

a_2n o u_n è decrescente

lim u_n = 0

Convergenza puntuale, uniforme e totale

Per ∑_n f_n(x) ci sono tre tipi di convergenza:

1. Convergenza puntuale se ∃ f(x): lim S_n(x) = f(x) _n→+∞
2. Convergenza uniforme se ∃ f(x): lim sup |S_n(x) - f(x)| = 0 _n→+∞
3. Convergenza totale se converge la serie numerica ∑ sup |f_n(*)|

Casi particolari

∫_n f_n(x) = ω_n

∫₁(x) = α₁

∫₂(x) = α₂

lim |S_n - ε| = 0 _n→∞ converg. punt. ⇒ ✈ conu. semp.

converg. unioforme lim sup |S_n - ε| = lim |S_n - ε| converg. tot ∑ |u_n| ⟶ converg. ass.

Serie di potenze

Definizione

Dato x₀∈ℝ. Una successione numerica si definisce serie di potenze di centro x₀.

Definiamo a_n ∑ a_n(x-x₀)ⁿn=0.

Oss. ∑ a_n(x-x₀)ⁿ conv. per x=x₀.

Però x₀ potrebbe essere l'unico punto in cui ho convergenza.

Quesiti e definizioni

E⊂ℝ si dice insieme di convergenza per la serie ∑ a_n(x-x₀)ⁿ def E={x∈ℝ ∑ a_n(x-x₀)ⁿconverg.} perché x∈E allora E≠∅.

Teorema

Sia a_n∈ℝ lim √|a_n|=l N→±∞.

Allora definito R=1/l se l≠+∞ R=1/l se l∈(0; +∞) dove R∈ℝ è il raggio di convergenza l=∞ se l=0.

Allora la serie converge ∀x:|x-x₀|R∑ a_n(x-x₀)ⁿovvero[x:∈ℝ :|x-x₀|