Serie numeriche e di potenza, Analisi matematica II

Serie numeriche

Def. Data una successione {a_n} si dice serie numerica di termine generico a_n il limite per "n" tendente all'infinito della successione delle somme parziali S_n, cioè:

lim S_m = lim Σ a_n = Σ a_n

Def. Σ a_n si dice _n=0

convergente se lim S_m esiste ed è finito

divergente se lim S_m = +∞ o lim S_m = -∞

indeterminato se lim S_m ^m→+∞(∑ (-1)^k)

"questa serie diverge" è diversa da "questa serie non converge"?s. Se an? allora Σ a_n converges o diverges

Serie armonica

∑ 1/k ≤ 1/x ≤ 1/n+1

∫_mⁿ⁺¹ 1/x ≤ 1/k ≤ ∫_mⁿ1/k = |lim 1/x| _mⁿ

log(m+1)= ... lim log(m+1)=lim S_m ... +∞ (diverge)

Serie armonica generalizzata

p > 0

• ∑_n=1^∞ 1/n^1+p < 1/n^p < 1/n^p

f(x) = 1/(x^p), p > 1

1. ∫^m+1_n=1 dx/x^p = ∑_n=1^m 1/n^p < ∫^m+1_n=1 dx/x^p = S_m

• 1/(1-p) lim_m→+∞ (m+1)^1-p - 2 ≤ lim_m→+∞ S_m

se il lim è 0 < p < 1 → +∞ < lim_M→+∞ S_M

se p > 1 Non ho affermazione

oppure

• 1/n^x
• ∫ⁿ_n-1 1/x^p
• ∫ⁿ_n-1 dx/x^p

= 1/(k^p x)

• ∫ⁿ₂ (x^1-p - 2) = ∑_n=2^m 1/x^p
• ∑_n=2^m 1/x^p S_m

• ∑_n=1^∞ 1/n^p = {divergente per p ≤ 1
• convergente per p > 1}

SERIE DI POTENZE

Def. Dato \( x_0 \in \mathbb{R} \)

Una successione numerica si definisce serie di potenze di centro \( x_0 \)

ed esprime \( \sum a_n (x-x_0)^n \)

OSS. \( \sum a_n (x-x_0)^n \) conv. per \( x=x_0 \)

Però \( x_0 \) potrebbe essere l'unico punto in cui ho convergenza

Esiste Δ Def. \( E \subseteq \mathbb{R} \) sotto insieme di convergenza

per la serie \( \sum a_n (x-x_0)^n \) def.\( E = \{ x \in \mathbb{R} : \sum a_n (x-x_0)^n \text{ conv.} \} \)

perché \( x \in E \) allora \( E \neq \emptyset \)

TEOREMA

Sia \( a_n : \exists \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = l \)

Allora definito

\( R = \frac{1}{l} \) se \( l \neq 0 \)

\( R = +\infty \) se \( l = 0 \)

Allora la serie converge \( \forall x : |x - x_0| < R \) e diverge \( \forall x : |x - x_0| > R \)

\( \sum a_n (x-x_0)^n \)

ovvero

\([x - x_0| < R] \Rightarrow \in E \supseteq (x_0 - R, x_0 + R) \)

Prop. 1 Il teorema precedente vale anche supponendo

\( a_n : \lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = l \)