Analisi Matematica II - parte 2

d_sc(t) = (d_x(t), d_y(t), d_z(t))

= (cx(t), dt, cy(t), dt, cz(t)·dt) =

= (dx(t)^.dt, dy(t)^.dt, dz(t)^.dt)^. dt =

= c_sc(t)^. dt

|d_sc(t)| = |d_rc(t)^.dt|

L_t = _{∫^t2t1drc(t)^.dt}

ASCISSA CURVILINEA

Esprime il percorso effettuato dall’istante 0 all’istante t (scalare)

s(t) = ^t∫₀ |d_sc(t) |

x(t) = x(t(s)) = x(s)

e in funzione dell'ascissa curvilinea

• All'aumentare del tempo quanto spazio ho percorso.

ESEMPIO

r(t) = a cos t + a sen t + bt

a, b ∈ ℝ⁺ , t ∈ [0, +∞)

equivalenti

(t)/t = -a sen t + a cos t + b

(t)/t = √(a² sen² t + a² cos² t + b²) = √(a² + b²)

s(t) = ∫₀^t √(a² + b²) dt = √(a² + b²)·t

t = t(s) = s/√(a² + b²)

r(s) = a cos (s/√(a² + b²)) + a sen (s/√(a² + b²)) + b·s/√(a² + b²)

s ∈ [0, +∞)

Posso variare o s in funzione di t o t in funzione di s.

• in ℝ²
• = f(x) -----> r(t) = { x(t) = t y(t) = f(t) }
• s(t) = ∫₀^t √(1 + (f’(t))²) dt

[ Faccio la derivata rispetto al tempo ]

F (x(t) 0 y(t)) o dγ(t) = F₁ dx₁ + F₂ dx₂ + ... + Fm dxn

[FORMA DIFFERENZIALE]

[Som fisica: lavoro infinitesimo]

ESERCIZIO 1

∫_γ (x(t)²) ds

γ' = { x = t, y = t t ∈ [0, 1]

(Percorso bisettrice 1°-3° quadrante)

dx(t)/dt, (x(t), elevatori di x: t) e y = t (rispetto a t)

ds = √(dx(t)/ds) . dt = √2 . dt

∫_γ (x(t)²) . √2 dt = √2 ∫₀¹ t²(t)' dt =

= √2[(t³/2)]₀¹ = [(t⁴/2)]₀¹ = √2[(1/4) - (1/4)] = 3√2/4

ESERCIZIO 2

∫ x²y ds

γ = { x = 2 cos t, g = 2 sen t t ∈ [0, π/2]

(Espressione circonferenza di raggio 2)

dx(t), x(t), y(t) = (2 sino, 2cos t)

ds = (dx(t)/dt

ds = √(4sin²t + 4cos²t) dt = 2dt

L_t = ∫ f₁ dx + ∫ f₂ dy = ∫_x² t dt =

f: t = x = 2t = 2 t = -1 2 t = 2 t = -3/2

· Calcolo L_t3

(y variabile x costante)

T₃: { x = 2 { dy = t { t ∈ [-1, -2]

{ dx = 0 { dy = dt

L_t3 = ∫ f₁ dx + ∫ f₂ dy = 4 ∫ dt = 4 |_-1 ^-2 = 4 (-2 - 1) = 4 (-3/2) = -6

· Calcolo L_t4

(y costante, x variabile)

T₄: { x = t { y = -1/2 { t ∈ [-1, 2]

{ dx = dt { dy = 0

L_t4 = ∫ f₁ dx + ∫ f₂ dy = ∫_-1² t dt = [t²/2]_-1²= 1/2 (2 - 1) = -3/2

• In R³ F = ∇U ⇒ ∇ x F = 0

Ovvero, se F è conservativo allora F è irrotazionale.

Dimostrazione:

∇ x F =

• i

• j

• k

• ∂

• ∂

• ∂

• ∂x

• ∂y

• ∂z

• F₁

• F₂

• F₃

Utilizzando l'ipotesi F = ∇U

F₁ = ∂U/∂xF₂ = ∂U/∂yF₃ = ∂U/∂z

•

∂F₂ ∂F₁∂y ∂z − ∂F₂ ∂F₁∂z ∂y = ∂ ∂U ∂ ∂U∂y ∂z ∂z ∂y − ∂²U ∂²U∂x∂y ∂y∂z − 0 [se vige Schwarz]

•

∂F₁ ∂F₂∂z ∂x − ∂F₃ ∂F₁∂x ∂z = ∂ (∂U) − ∂ (∂U)∂z ∂x ∂x ∂z − ∂²U ∂²U∂x∂z ∂z∂x − 0

Se comprimo sempre di più l'elastico giallo, ad un certo punto mi trovo nel punto di non dominio, quindi non è semplicemente connesso.

Se ora ho:

Questo sottoinsieme di R² delimitato dalla frontiera (rossa) è un dominio semplicemente interconnesso.

Per avere un dominio semplicemente connesso in R² non devono esserci buchi, se ci ho devo considerare un sottoinsieme di R² e che non contenga buchi.

In R³

tan_α = a

sinα/cosα (a > 0)

tan_β = 1/a

cosα/sinα

α + β = π/2

tanα = senβ/cosβ

β = π/2 − α

Come determinare il potenziale scalare U?

∂U/∂x = F₁ ⇒ dU = ∂U/∂x dx = F₁ dx

U = ∫ dU = ∫ F₁ dx = U* + e(y,z)

(funzione integrabile lungo x)

∂U/∂y = F₂ ⇒ dU = ∂U/∂y dy = F₂ dy

U = ∫ dU = ∫ F₂ dy = U* + e(x,z)

∂U/∂z = F₃ ⇒ dU = ∂U/∂z dz = F₃ dz

U = ∫ dU = ∫ F₃ dz = U* + c(x,y)

ESERCIZIO

∮ (e^x 3y_t + 3) dx + (e^x cos y + 2x - 2y) dy

γ: x² + y²/4 = 1

[Dominio semplicemente connesso]

Check su irrotazionalità

∂F₂/∂y = ∂ (e^x 3y_t + 3)/∂y - e^x cos y + 3

∂F₂/∂x = ∂ (e^x cos y + 2x + 2)/∂x - e^x cos y + 2

∇ × F ≠ 0 (Non conservativo)

• Un campo vettoriale qualsiasi si può scomporre come: due campi: uno
• non conservativo e l'altro conservativo
• F_c = (e^x 3y_u + 2y, e^x cos y + 2x - 2y)
• F_nc = (3y_n, 0)

Somiglia π₀ = ∂y = 2y + ! in F_w

Si considera una variabile indipendente tempo t, che definisce un percorso (traiettoria, o curva) in R4, ovvero una funzione t → (t, x(t), y(t), z(t)) e successivamente un campo vettoriale associato a tale percorso. In dettaglio: t → (t, x(t), y(t), z(t)) → F(t, x(t), y(t), z(t)) = (F₁(t, x(t), y(t), z(t)), F₂(t, x(t), y(t), z(t)), F₃(t, x(t), y(t), z(t)))

focalizzando l’attenzione ad esempio, su F1 (analogamente, possiamo analizzare F2 ed F3):

_d⃗/_dt =

(_dF1/_dt, _dF2/_dt, _dF3/_dt)

= (

_∂F1/_∂t ∙

_∂F1/_∂x ∙

_∂F1/_∂y ∙

_∂F1/_∂z )

(

_dx/_dt,

_dy/_dt,

_dz/_dt)

= (

_∂F1/_∂t +

_∂F1/_{∂x dx}/_dt +

_∂F1/_{∂y dy}/_dt +

_∂F1/_{∂z dz}/_dt)

Derivata totale della grandezza scalare F1 rispetto al tempo t: indica la variazione complessiva di F1 nel tempo, e tiene conto di tue aspetti: 1) F1 può variare (in modulo, direzione e verso) focalizzando l'attenzione su un punto preciso dello spazio e osservando cosa succede nel tempo t (approccio euleriano); 2) F1 può variare seguendo il singolo percorso di una particella (approccio lagrangiano)

_dF/_dt = _∂F/_∂t + _∂F/_∂x ∙_dx/_dt + _∂F/_∂y ∙_dy/_dt + _∂F/_∂z ∙_dz/_dt