Analisi Matematica II - parte 2

Name: Analisi Matematica II - parte 2
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Author: giuseppe-coppola-19

Revisionato il 28/06/2026

di giuseppe-coppola-19

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Appunti di matematica II sulla parte 2 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni dell’università degli Studi della Calabria - Unical, facoltà di …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Università Università della Calabria

A.A. 2021-2022

136 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Definizioni e formule fondamentali

d() = (d(), d(), d()) = (d₀, . d, d() d, d() . d) = = (d(), d(), d()) . d = = (d()_d . d|d| = |d()_d| . dL_1,2 = ∫₁²|d()_d| . dAsse Curvilinea Esprime il percorso effettuato dall'istante 0 all'istante t (scalare).

s(t) = ∫₀^t |d()_d| . d() = (()) = () in funzione dell’asse curvilinea Al crescere del tempo quanto spazio ho percorso.

Cambiamento infinitesimale lungo la curva

d_s(t) = (d_x(t), d_y(t), d_z(t)) = ( ^d_x(t)⁄_dt ⋅ dt, ^d_y(t)⁄_dt ⋅ dt, ^d_z(t)⁄_dt ⋅ dt ) == ( ^d_x(t)⁄_dt, ^d_y(t)⁄_dt, ^d_z(t)⁄_dt ) ⋅ dt == ^d_c(t)⁄_dt ⋅ dt |d_c(t)| = | ^d_c(t)⁄_dt | ⋅ dt

L_t₁,t₂ = ∫_t₂^t₁ | ^d_c(t)⁄_dt | ⋅ dt

Ascissa curvilinea

Esprime il percorso effettuato dall'istante 0 all'istante t.

s(t) = ∫₀^t | ^dr_s(t)⁄_dt | ⋅ dt

r(t) = r(t(s)) = r(s) → è in funzione dell'ascissa curvilinea All'aumentare del tempo quanto spazio ho percorso.

Esercizi

Or(t) = a cos t î + a sen t ĵ + b t k̂, a, b ∈ ℝ⁺, t ∈ [0, +∞)

^dr(t) / _dt = -a sen t î + a cos t ĵ + b k̂

‖^dr(t) / _dt‖ = √(a² sen² t + a² cos² t + b²) = √(a² + b²)

s(t) = ∫₀^t√(a² + b²) dt = √(a² + b²)·t

t = t(s) = _s / _{√(a² + b²)}

r(s) = a·cos ( _s / _{√(a² + b²)} ) î + a·sen ( _s / _{√(a² + b²)} ) ĵ + b· _s / _{√(a² + b²)} k̂

s ∈ [0, +∞) Posso verificare s in funzione di t o t in funzione di s.

in ℝ² y = f(x) ⇒ r_c(t) = { x(t) = t y(t) = f(t) }

s(t) = ∫₀^t √[1+(β(t))²] dt

L_{t₁, t₂} = ∫_t₁^t₂ |γ'(t)| dt

Esercizio

γ: [0, 2π] → (RcosΘ, RsinΘ)

γ'(t) = γ'(Θ) = (-RsinΘ, RcosΘ)

L_{0, 2π} = ∫₀^2π √R²sin²Θ + R²cos²Θ dΘ = ∫₀^2π R dΘ = 2πR

s(Θ) = ∫₀^Θ R dΘ = ΘR

Calcolare lunghezze in generale

IN GENERALE γ: [a, b] → R^mt₁, t₂ ∈ [a, b]

L_{t₁, t₂} = ∫_t₁^t₂ |γ'(t)| dt

s(t) = ∫₀^t |γ'(t)| dt

d_s(t) = |d_x(t)| = |x'₁(t)| · dt

s(t) = ∫₀^t ds(t)

Integrale curvilineo

γ: A ⊆ R → B ⊆ R^Mds(t) scalare dello spostamento infinitesimo lungo la curva (quantità scalare)

d_x(t) variazione infinitesima del vettor posizione (quantità vettoriale) Due tipi differentiali: uno scalare e uno vettoriale ds(t) = |d_x(t)|

sia f: B ⊆ R^M → C ⊆ R f(x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t)) = f(γ(t)) [comp. scalare]

I_γ = ∫₀^s f(γ(t)) · ds(t) = ∫_A^B f(γ(t)) · |d_x(t) / dt| dt

[integrale curvilineo di campi scalari] Proietta ogni punto di γ su lⁿ

Integrali curvilinei su campi vettoriali Sia F: B &subset; ℝ^m → C &subset; ℝ^m

F = (F₁, F₂, ..., F_m) F = (F₁(x(t)), F₂(x(t)), ..., F_m(x(t))) ∫_γ F(x(t)) ∘ dx(t) [In fisica: calcolo di un lavoro]

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