Analisi matematica II - parte 1

: ⊆ ℝ^ → ⊆ ℝ^

Intorno

• Intorno circolare [dominio bidimensionale ℝ^2] con coordinate (₀, ₀)

_ℰ = { ∀ (, ) ∈ ℝ^2 : (−₀)² + (−₀)² < ² }

(₀, ₀)

⇒ ² → il raggio

≠ ∅ un insieme di punti

⊆ ℝ × ℝ

Sia d: × → [0, +∞)

d (₁, ₂) = 0 ⇔ ₁ = ₂

d (₁, ₂) = d (₂, ₁) ∀ (₁, ₂) ∈ [simmetria]

d (₁, ₃) ≤ d (₁, ₂) + d (₂, ₃) ∀ (₁, ₂, ₃) ∈ [dis. triangolare]

(A, d) si definisce SPAZIO METRICO

ESEMPIO DI METRICA

d: R² × R² → R⁺

d(a, b) = √( (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² ) [METRICA EUCLIDEA]

d(a, b) = { 0 se a = b

1 se a ≠ b [METRICA BINARIA]

d(a, b) = |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|

d(a, b) = max { |x₁ - x₂|, |y₁ - y₂| }

a = (x₁, y₁)

b = (x₂, y₂)

Insieme Connesso

A è connesso ↔ ∀ P1, P2 ∃ relazione formata da tutti punti appartenenti ad A.

Per essere connessi due insiemi, la loro intersezione deve essere diversa dall'insieme vuoto.

Insieme Limitato

∃ Ip : A ⊂ Ip

∃ B(0,s) : A ⊂ B(0,s)

Insieme Illimitato

∀ Ip ∃ B(0,s) : A ⊄ B(0,s)

Domino Chiuso e Limitato: Compatto

Teorema di Weierstrass: Se f è definita in un compatto A, allora f ammette almeno un massimo e un minimo assoluto in A.

SEZIONE

[paraboloide iperbolico]

• Una sezione è un piano.

Abbasso di una dimensione il problema

ES:

• Pongo x=2 ⟹ z=3y²-4
• Pongo y=3 ⟹ z=2t²-x²

ESEMPIO

ϕ: (x₁, g₂, t) ⟶ (x² + y² + zt)

p(0,0,1,t) ∧

p(0,0,1,t) = t + 1

Posso vincolare più variabili contemporaneamente

• z=t
• y=0
• x=0

Esercizio 2

lim (x → 0, y → 0) x - xy / (x + y²) = 0

[Vedi Pizia]

Disuguaglianza triangolare

x / (x + y²) - xy / (x + y²) ≤ |x| / (|x| + y²) + |xy| / (|x| + y²) ≤ |x| / |x| + |y| ≤ |x| / |x| + |y|

Metodo delle coordinate polari

x = x₀ + ρ cos θy = y₀ + ρ sin θ

{(x, y) = (x₀ + ρ cos θ, y₀ + ρ sin θ)}

Immaginiamo che P₀ abbia questo percorso di avvicinamento

Se mi avvicino sempre di più e P₀ la distanza e tenderà a 0.

y = mx

y = 0

• Il limite non esiste.

Esercizio 2

lim (x³ - 2y³) / (x² + y²)

1. x = mx
2. x = 0

1) lim x³ - 2m³ x³ / x² + m² x² = x(1 - 2m³) / 1 + m² → 0

2) lim -2y³ / y² = -2y = 0

• Non si può concludere che il limite esista, in quanto potrebbe esistere almeno una direzione non lineare lungo la quale il valore sia diverso da 0

[usare le coordinate polari]

lim (x³ - 2y³) / (x² + y²)

lim (ρ³ cos³ - 2p³ sen³ ) / p² (cos² + sen² ) =

lim (ρ³ (cos³ - 2 sen³ )) / p² =

lim p(cos³ - 2 (sen³ )) = 0

• Il limite esiste.

Teorema della permanenza del segno

Data un funzione f ε C⁰(A) e dato P ε A.Se f(P)>0 (o < 0) → ∃ I_p. ∀ x ε I_p risulta f(x) ≥ 0 (o ≤ 0)ovvero in ogni punto dell'intervallo la funzione assume lo stessosegno di f(P).

Funzioni limitate

f ε C⁰(A) si dice limitata superiormente, inferiormente o limitatase la sua immagine (codominio ristretto) è rispettivamente limitatasuperiormente, inferiormente o limitata.

Differenziale

y - f(x₀) = f'^'(x₀) ⋅ (x - x₀)Δy = f'(x₀) ⋅ Δx

L'incremento di ordinata dalla funzione viene definito sulla retta tangente.

Se ho un incremento infinitesimo (mi considero vicino al punto x₀)Graficamente: approssimazione lineare dell'incremento di funzione, usatoper piccoli incrementi di ascissa.(La funzione e la retta tangente si confondono e danno lastesse informazioni)

Una funzione f si dice derivabile in un punto P se i limiti dei rapporti incrementali per ogni direzione contenuta restano finiti, ovvero se la funzione ammette tutte le derivate parziali nel punto P.

• Se la funzione f è derivabile in ogni punto P appartenente ad un insieme A, allora f è derivabile in tutto A.

Differenziare

Analisi 1:

ϕ: (a, b) → ℝ

f(x) è differenziabile in x₀ se esiste un'applicazione lineare L_x₀(h) tale che:

lim_h→0 [f(x₀+h) - f(x₀) - L_x₀(h)] / h = 0

lim_h→0 [f(x₀+h) - f(x₀) - ah] / h = 0

a = f' (x₀)

L_x₀(h) = f' (x_s)h

d f(x) = f' (x_s) dx

Analisi 2:

f: A ⊆ ℝ^M → ℝ

lim_h→0 [f(x₀ + th) - f(x₀) - tκ_x₀(t)] / |t| = 0

[ Se è differenziabile in x₀, il limite per definizione vale 0 ]

esiste il piano tangente ad f nel punto (x₀, y₀, f(x₀, y₀))

L'esistenza del differenziale in un punto ci consente di approssimare la funzione nell'intorno dello stesso punto con un piano tangente.

n = (a, b, c)

m (vettore perpendicolare al piano) [vettore normale associato ad un piano]