Analisi matematica II - parte 1

f : A ⊆ R^m → B ⊆ R^m

Intorno

• Intorno circolare [ dominio bidimensionale R² ]

con coordinata (x₀, y₀)

I_x0 = { ∀ (x, y) ∈ R² (x - x₀)² + (y - y₀)² < ε² }

METRICA EUCLIDEA

(x₀, y₀)

[ es: intorno aperto ]

Metrica e Spazio Metrico

Sia A ≠ Ø un insieme di punti

A ⊂ R × R

Sia d : A × A → [0, +∞)

d(p₁, p₂) = 0 ⇔ p₁ = p₂

d(p₁, p₂) = d(p₂, p₁) ∀ (p₁, p₂) ∈ A [simmetrica]

d(p₁, p₃) ≤ d(p₁, p₂) + d(p₂, p₃) ∀ (p₁, p₂, p₃) ∈ A [dis. triangolare]

∮: A ⊆ ℝ^m → B ⊆ ℝ^m

Intorno

• Intorno circolare [dominio bidimensionale ℝ²]

I_x₀ = { ∀ (x,y) ∈ ℝ² (x-x₀)² + (y-y₀)² < ε² }

Sia A ≠ ∅ un insieme di punti

A ⊆ ℝ × ℝ

Sia d: A × A → [0,+∞)

d((p₁,p₂) = 0 ⟺ p₁ ≡ p₂

d((p₁,p₂) = d((p₂,p₁) ∀ (p₁,p₂) ∈ A [simmetrica]

d((p₁,p₃) ≤ d((p₁,p₂) + d((p₂,p₃) ∀ (p₁,p₂,p₃) ∈ A [dis. triangolare]

(A, d) si definisce spazio metrico

Esempio di metrica

d: ℝ² x ℝ² -> ℝ⁺

d(a, b) = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²) [Metrica Euclidea]

d(a, b) = { 0 se a = b 1 se a ≠ b } [Metrica Binaria]

d(a, b) = |x₁ - x₂| + |y₁ - y₂|

d(a, b) = max { |x₁ - x₂|, |y₁ - y₂| }

a = (x₁, y₁)

b = (x₂, y₂)

Punti Interni, Esterni, di Frontiera, Isolati

A = { (x,y): x ≥ 0 ∩ y > 0 } ∪ { (-m,-m): m ∈ ℕ }

• R₁ è un punto interno

  ∃ I_r1 ⊂ A

  Esiste almeno un intorno di centro R₁ che appartiene totalmente all'insieme A

• R₂ è un punto esterno

  I_r2 ⊂ A

  Esiste almeno un intorno di centro R₂ il quale nessun punto appartiene all'insieme A

• R₃ è un punto di frontiera

  ∀ I_r3, ∃ P ∈ A ∧ ∃ Q ∉ A

  Avrà sia punti che ricadono in A che non ricadono in A

• P_a è un punto di frontiera

  ∀ I_pa, ∃ P ∈ A ∧ ∃ Q ∉ A

• P₅ è un punto isolato

  ∃ I_p5: I_p5 ∩ A = {P₅}

  Se prendiamo in disco e lo intersechiamo con l'insieme A e se il risultato è il centro allora è punto isolato

  → Ogni punto isolato è un punto di frontiera

INSIEMI APERTI E CHIUSI

Un insieme chiuso non è detto che sia per forza limitato (contenuto in una regione finita dello spazio).

Ins Insiemi: aperti e chiusi contemporaneamente

• A è un aperto se e solo se contiene solo punti INTERNI;
• A è un chiuso se e solo se contiene tutti i punti di FRONTIERA (in più può anche contenere punti interni);
• A non è ne APERTO ne CHIUSO se e solo se non contiene tutti i punti di frontiera;
• L'insieme di tutti i punti interni viene indicato come INTERNO DI A _I(A)
• L’insieme di tutti i punti esterni viene indicato come ESTERNO DI A _E(A)

Punto di aderenza:

punto interno o punto di frontiera.

Chiusura di A o C(A):

insieme di tutti i punti di aderenza

A ⊂ C(A)

A = C(A)

A è chiuso

Punto di accumulazione

Un punto isolato non può essere di accumulazione

• Insieme derivato di A Dr(A)= insieme di tutti i punti di accumulazione.
• Punti di accumulazione di A un punto di addereza o è di accumulazione o è isolato.

C(A) = Dr(A) ∪ I(A)

insieme di tutti i punti isolati.

A è perfetto quando Dr(A) = A.

Insieme Connesso

A è conn