Analisi Matematica 2 - seconda parte

Analisi II Clipmie\Elenco dei libri.doc

Indice

.Spazi metrici

.Esempi di spazii metrici

.Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

.Spazio euclideo ad n dimensioni

.Cerchio e circonferenza

.Insieme limitato

.Diametro di un insieme X

.Punti interni, esterni e di frontiera

.Punti di accumulazione

.Insiemi discreti e aperti

.Chiusura di un insieme

.

.Successioni

.Teorema 1 :dell’unicità del limite

.Successioni estratte

.Successioni di Cauchy o fondamentali

.Spazio metrico completo

.Insieme sequenzialmente compatto

.Distanza tra due insiemi

.Funzioni

.Funzioni continue ed uniformemente continue

.Teorema di Waierstrass

.Teorema di Cantor

.Continuità delle funzioni composte

.Teorema della permanenza del segno e della locale limitatezza

.Teorema di esistenza dei valori intermedi e degli zeri

.Limiti di funzioni

.Convergenza e divergenza puntuale

.Criterio di convergenza di Cauchy

.Convergenza e divergenza all’infinito

.Derivate e differenziali

.Derivata pariziale

.Teorema di Schwarez(dell’invertibilità dell’ordine di derivazione)

.Differenziali

.Teorema 2(del differenziale totale

.Derivata direzionale

.Gradiente

.Teorema 1(delle funzioni con gradiente nullo

.Funzioni positivamente omogenee e insiemi stellati

.Teorema 1(omogeneità delle derivate parziali

.Teorema 2(di Eulero

.Formule di Lagrange e Taylor

.Massimi e minimi

.Teorema 1(di Fermat

Spazi metrici

Sia S un insieme di natura qualunque non vuoto. Data una funzione f



d : S x S R

diremo che f è una distanza o metrica per l’insieme S se gode delle seguenti proprietà

 

1. d( x,y ) => 0 x, y S

 

2. d( x,y ) = 0 x = y x, y S

 

3. d( x,y ) = d( y,x ) x, y S

 

4. d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z ) x,y,z S

La coppia formata da S e una sua metrica d si definisce spazio metrico.

Esempi di spazii metrici

(R , d( x,y ) = | x – y | )

proprietà 1 : d( x,y ) => 0

E’ verificata perché il valore assoluto è sempre non negativo.



proprietà 2 : d( x,y ) = 0 x = y 

dimostriamo prima che d( x,y ) = 0 x = y

  

d( x,y ) = 0 | x – y | = 0 x – y = 0 x = y



dimostriamo che x = y d( x,y )= 0

  

x = y x – y = 0 | x – y | = 0 d( x,y ) = 0

proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x )

d( x,y ) = | x – y |

d( y,x ) = | y – x | 

x – y = - ( y – x) | x – y | = | y – x | perché hanno lo stesso modulo, ma

segno contrario.

proprietà 4: d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z )

d( x,y ) = | x – y |

aggiungiamo e sottraiamo z

d( x,y ) = | x – z + z – y | = | (x – z) + ( z – y ) |

ma il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori

assoluti. 

d( x,y ) <= | x – z | + | z – y | d( x,y ) <= d( x,z ) + d ( z, y )

Abbiamo dimostrato che d è una metrica per R.

Esempio 2

Prendiamo come insieme

S = C( [a,b] ) l’insieme delle funzioni reali e continue nell’intervallo chiuso

a,b. 

C( [a,b] ) = { f : [a,b] R, continue in [a,b] }

definiamo una distanza d su C( [a,b] ) come  

d( f,g ) = max | f(x) – g(x) | x a,b

La differenza di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Il valore

assoluto di una funzione continua dà una funzione continua. La distanza d così

definita è quindi una funzione continua in [a,b].

 

proprietà 1: d( f,g ) => 0 f,g C([a,b])

Dal teorema di Waistrass, una funzione continua e limitata in un intervallo

chiuso [a,b] ammette un massimo e un minimo finiti.

max(d( f,g )) ed, essendo d( f,g ) il valore assoluto di una differenza,

d(f,g) è non negativo.



proprietà 2: d( f,g ) = 0 f=g



- dimostriamo d( f,g ) = 0 f=g



d( f,g ) = 0 max( | f – g | ) = 0

per la definizione di massimo x 

| f(x) – g(x) | <= max(| f – g |) [a,b]

 

| f(x) – g(x) | <= 0 x [a,b]

per definizione, il valore assoluto è non negativo

x 

| f(x) – g(x) | = 0 [a,b]

x 

f(x) – g(x) = 0 [a,b]

x 

f(x) = g(x) [a,b]



 dimostriamo f= g d( f,g ) = 0

x 

f(x) = g(x) [a,b]

f(x) – g (x) = 0 x 

| f(x) – g(x)| = 0 [a,b]

d ( f,g ) = 0  

proprietà 3: d( f,g ) = d( g,f ) f,g C([a,b])

  

f(x) – g(x) = - (g(x) – f(x)) | f(x) – g(x) | = | g(x) – f(x) | x [a,b]

le due funzioni sono uguali, quindi hanno lo stesso massimo.

max(| g(x) – f(x) |) = max(| f(x) – g(x) |)

proprietà 4: d( f,g ) <= d( f,h ) + d( h,g )

Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

 (ai (bi  

2 2

ai*bi <= ) + ) a1, ….. , an, b1, ………., bn R

 primo caso :

tutti i termini a sono uguali a zero. La diseguaglianza diventa

 (0 (bi

2 2

0*bi <= ) + )

(bi

2

0 <= )

che è sempre vera perché il secondo membro è non negativo

 secondo caso

 i,j 1 <= i,j <= n : ai <> 0 e bj <> 0

,  

presi due qualunque R

   

2 2 2

0 <= ( - ) = + - 2

 

2 2

2 <= +

  

2 2

<= ½ + ½

applicando questa diseguaglianza con

 

2 2

= a1 / ((ai )) = b1 / ((bi ))

otteniamo 2 2

a1*b1 a1 b1

_____________ <= _______ + ________

(ai

2 2 2 2

)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

reiterando l’operazione 2 2

a2*b2 a2 b2

_____________ <= _______ + ________

(ai

2 2 2 2

)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

.

.

. 2 2

an*bn an bn

_____________ <= _______ + ________

(ai

2 2 2 2

)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

Sommando membro a membro queste diseguaglianze

( (ai (bi

2 2

ai*bi) ) )

_____________ <= ________ + ________

(ai

2 2 2 2

)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

(ai*bi)

______________ <= ½ + ½ = 1

(ai 2 2

)*(bi )

(ai*bi) (ai 2 2

<= )*(bi )

Spazio euclideo ad n dimensioni

Si definisce spazio metrico euclideo ad n dimensioni, la coppia

n

( R , d ) ((x1-y1) ( 

2 2 2

d( x,y ) = + ………. + (xn – yn) ) = (xi – yi) 1 <= i <= n

n

Verifichiamo che d, così definita, è una metrica per R .

  n

proprietà 1: d( x,y ) => 0 x,y R

d( x,y ), per come è definita, è la radice quadrata della sommatoria di termini

positivi. Per cui è un numero reale non negativo



proprietà 2: d( x,y ) = 0 x = y



 d( x,y ) = 0 x = y

( ( 2

xi – yi) = 0

( 2

xi – yi ) = 0

2

( xi – yi ) = 0 1 <= i <= n

xi = yi 1 <= i <= n

x = y



 x = y d( x,y ) = 0

xi = yi 1 <= i <= n

xi – yi = 0 1 <= i <= n

.

.

.

(( xi – yi ) = 0

d( x,y ) = 0   2

proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x ) x,y R

( 2

d( x,y ) = xi – yi )  2 2

ma xi – yi = -( yi – xi ) ( xi – yi ) = ( yi – xi )

( 2

d( x,y ) = yi – xi ) = d( y,x )   n

proprietà 4: d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y ) x,y,z R

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) 1 <= i <= n

2 2 2 2

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) = (xi – zi) + (zi – xi) + 2(xi – zi)(zi – yi)

( (xi (

2 2 2

xi – yi ) = – zi) + zi – yi ) + 2*(xi – zi)(zi – yi)

applichiamo la diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

(xi (xi (zi

2 2

– zi)(zi – yi) <= – zi) – yi)

(xi (xi (zi (zi

2 2 2 2 2

– yi) <= – zi) + – yi) + 2(xi – zi) – yi)

il secondo membro è il quadrato di un binomio

(xi (xi

2 2 2 2

– yi) <= ( – zi) +(xi – yi) )

essendo i due membri non negativi, possiamo estrarne le radici.

(xi (xi (zi

2 2 2

– yi) <= – zi) + – yi)

d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y )

Cerchio e circonferenza

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo

  

S’ S x0 S’ r >0 r R



L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) < r } si definisce cerchio aperto di centro

x0, e raggio r. 

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) <= r } si definisce cerchio chiuso di centro



x0 e raggio r. Ovviamente I( x0,r ) C( x0,r ).

Valgono le seguenti

 

x0 I( x0,r ) perché x0S, ed in oltre d( x0,x0 ) = 0 che è minore di r.

   

x0 C( x0,r ) perché x0 I( x0,r ) C( x0,r )

( 

L’insieme x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) = r } si definisce circonferenza di centro

x0 e raggio r. Questo insieme è detto anche intorno circolare di x0.

( 

x0,r ) C( x0,r )

Insieme limitato

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo X un sotto - insieme di S. X si dice

 R 

limitato se esistono x0 S e r positivo, tali che X I( x0,r ).

Diametro di un insieme X

Preso X non vuoto un sottoinsieme di S. Prendiamo ora in esame l’insieme delle



distanze tra tutti gli elementi di S { d( x,y ), x,y R }. L’estremo superiore di

questo insieme si definisce diametro dell’insieme X.



 X è limitato il diametro di X è un numero finito.

 Preso Y sottoinsieme di X, con X un insieme limitato, allora Y è limitato

 Presi X1 e X2 tali che



X1 S  

X1 è limitato X1 X2 è limitato



X2 S

 Dati X1, X2, entrambi sottoinsiemi di S limitati, la loro unione risulta un

insieme a sua volta limitato.

Punti interni, esterni e di frontiera

 

Dato ( S,d ) uno spazio metrico, supponiamo X S, x0 X.

 x0 si dice interno ad X se esiste un cerchio di centro x0 tutto contenuto in X

   

x0 interno ad X e R : I( x0,e ) X

L’insieme dei punti interni ad X si denota con intX. In oltre vale la seguente



intX X

 x0 si dice esterno ad X se è interno al complementare di X in S.

 e  

x0 esterno ad X R : I( x0,e ) S\X

L’insieme dei punti esterni ad X in S si denota con EstX. In oltre valgono le

seguenti:

 IntX = Est( S\X)

 EstX = Int( S\X )

 x0 si dice di frontiera per X se non è ne interno ne esterno ad X

 e    

x0 di frontiera R x’ I( x0,e ) X

  

x’’ I( x0,e ) ( S\X) X.

L’insieme dei punti di frontiera di X si chiama frontiera di X, e si denota con

X (

 = S\X)

Punti di accumulazione

 

Sia x0 S e X S, diremo che x0 è un punto di accumulazione per X se

e    

R x’ I( x0,e ) ( X – {x0}).

L’insieme dei punti di accumulazione di X si chiama derivato di X, e si indica DX.

 Se un insieme è costituito da un solo punto, allora il suo derivato è l’insieme vuoto



Teorema : DX <> 0 X è infinito.



Per ipotesi, esisterà x0 DX. Prendiamo in considerazione il cerchio aperto

I( x0,1 ). Essendo x0 un punto di accumulazione, esisterà a sua volta all’interno

del cerchio considerato, un punto x1 distinto da x0. Dalla definizione di cerchio

aperto, deduciamo le seguenti diseguaglianze:

 d( x0,x1) < 1

 d( x0,x1) > 0

Prendiamo quindi ora in considerazione il cerchio I( x0, d( x0,x1 )). Essendo



x0 un punto di accumulazione, esisterà x2 X all’interno di questo cerchio.

Per questo punto valgono le seguenti diseguaglianze

0 < d( x0,x2 ) < d( x0,x1 )

che dimostrano che x2 è un punto di X distinto da x1. Questo processo può

essere ripetuto un numero arbitrario di volte, permettendoci di trovare



altrettanti punti xi X tutti distinti. Ciò dimostra quindi che X è costituito da

infiniti elementi.

Corollario : Un insieme finito non ha punti di accumulazione.

Perché se li avesse, sarebbe infinito.

Insiemi discreti e aperti

Preso uno spazio metrico ( S,d ) ed un suo sottoinsieme X, X si dice aperto se

coincide con l’insieme dei suoi punti interni. Con A indicheremo la famiglia degli

insiemi aperti di S. Valgono le seguenti proprietà:



1. 0 A



2. S A

   

3. F A X( per tutti gli insiemi X di F) A

4. siano X1, X2 ……….. Xn con n finito, degli insiemi aperti di S allora

 

X A 

X si dice chiuso se DX X. Se DX = X allora il nostro insieme si dice perfetto.



Inoltre se X è finito e DX = 0 allora X è chiuso. Denoteremo con la famiglia degli

insiemi chiusi di S. Valgono le seguenti :

1. 0 è chiuso

2. S è chiuso    

3. se F è una famiglia di insiemi chiusi di S, allora X( X F)

4. Siano X1, X2, ………… Xn, con n finito, insiemi chiusi di S; allora

  .

X

Chiusura di un insieme _ 

Sia ( S,d ) uno spazio metrico, ed X un sottoinsieme di S. L’insieme X = X DX si

chiama chiusura di X.

_  X

Teorema : X = X

_ 

Essendo X = X DX per definizione, la nostra tesi diventa quindi

  X;

X DX = X in definitiva, dobbiamo mostrare che

   X

1. X DX X

 X  

2. X X DX

parte I:    

sia x* X DX. Ci si presentano due casi : x* X oppure x* DX.

  X.

x* X : allora ovviamente appartiene anche ad X

x* non appartiene a X: 

Se x* non appartiene a X, ma appartiene ad X DX, allora

apparterrà a DX. X,

per provare che x* appartiene anche a occorre provare che

e   

x’ I( x*,e ) X

  

x’’ I( x*,e ) ( S\X)

Essendo tuttavia x* un punto di accumulazione, esisterà

sicuramente un punto x1, distinto da x*, che appartiene all’insieme



I( x*,e ) X.

Per ipotesi x*, non appartenendo ad X, deve appartenere ad S\X.

Essendo inoltre il centro del cerchio, egli deve necessariamente



essere un punto dell’insieme I( x*,e ) ( S\X).

Abbiamo così mostrato che x*, appartenente a DX, appartiene

X.

contemporaneamente a

parte II:  X.

sia x* appartenente ad X Esistono sempre due casi. Tuttavia se x*

appartiene ad X, la situazione si risolve come nella prima parte.

Prendiamo in considerazione invece il caso

x* non appartiene ad X: X.

Apparterrà allora sicuramente a Da ciò deduciamo, fissando

R,

arbitrariamente un e l’esistenza di altri due elementi di X

distinti

 

x’ I( x*,e ) X

 

x’’ I( x*,e ) ( S\X )

x’ è distinto da x* perché x* non appartiene ad X per ipotesi.

Essendo valida l’esistenza di x’ per qualsiasi valore di e, si deduce

che x* è un punto di accumulazione.

Teorema 2: Sia ( S,d ) uno spazio metrico ed X un sottoinsieme di S.

 X 

X è chiuso X _



Teorema 3: X è chiuso X = X

_

X,

Teorema 4: DX, X sono insiemi chiusi.

  X

Teorema 5: X è aperto X = 0

Teorema 6: I( x0, e), intX sono insiemi aperti



Teorema 7: X è chiuso S\X è aperto



Teorema 8: X è aperto S\X è chiuso   ,

Teorema 9: Siano X,Y due sottoinsiemi di S tali che X A ed Y allora si ha

  .

che ( X\Y ) A ed ( Y\A )  X

Teorema 10: X è contemporaneamente aperto e chiuso = 0

 X

parte I: X è aperto e chiuso = 0 X.

Per definizione di insieme aperto, X non contiene Di conseguenza

 X

otteniamo il risultato (a) X = 0. Essendo X chiuso, dal teorema 2

X 

deduciamo la (b) X. Mettendo a confronto la (a) e la (b), giungiamo alla

tesi. X=0 

parte II: X è aperto e chiuso

X=0,  X

Se allora X = 0. Dal teorema 5 ricaviamo che X è aperto.

Tuttavia l’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme; quindi

X=0  X. Dal teorema 2 ricaviamo quindi che X è chiuso.

Segmenti, punti isolati e poligonale

Preso in considerazione uno spazio euclideo ad n dimensioni, e due punti a=(a1,……

n

an) e b=(b1,….bn) appartenenti a questo spazio, definiamo segmento di R di estremi

 n

a e b, l’insieme di punti { x R : xi = ai + t(bi-ai) } al variare di t nell’intervallo

[0,1]. Per t=0 otteniamo il punto a; per t=1 il punto b; per t= ½ il punto medio del

segmento.

Teorema11: Sia X un sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio euclideo, e

siano a un punto interno, b un punto esterno. Esiste allora un punto x* appartenente

al segmento che congiunge a e b, che appartiene alla frontiera di X.

Questo equivale a dire che la frontiera di qualunque sottoinsieme proprio e non

vuoto di uno spazio euclideo è non vuota.

Corollario: Gli unici sottoinsiemi infiniti di uno spazio euclideo che sono

contemporaneamente aperti e chiusi sono l’insieme vuoto e lo spazio euclideo stesso.

 n n

Supponiamo per assurdo che esista X R con X<>0 e X <>R che sia

X

contemporaneamente aperto e chiuso. Per il teorema 10 allora = 0. Per il

X

teorema 11 tuttavia <> 0. Siamo quindi pervenuti ad un assurdo.

Supponiamo X un sottoinsieme di uno spazio metrico ( S,d ); pre