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n

{ x } X : d( xn, x0 ) < n

Essendo X sequenzialmente compatto, esiste allora una successione

Kn n

{x } estratta da { x } convergente ad un certo x*S. Per cui, la

Kn

successione di numeri reali definita da d( x , x*) tende a zero; e una

successione di numeri reali convergente è limitata. Esiste quindi un

Kn

numero reale M positivo tale che d( x , x* ) <= M.

Applicando la proprietà triangolare

Kn Kn

d( x , x0 ) <= d( x , x* ) + d( x*, x0 ) <= M + d( x*, x0 )

essendo d( x*, x0 ) una quantità costante, poniamo L = M + d( x*, x0 )

Kn

d( x , x0 ) <= L

che contraddice l’ipotesi di illimitatezza di X.

Corollario 1: Sia ( S,d ) uno spazio metrico, e sia X un sottoinsieme non vuoto di S.

Se X è sequenzialmente compatto, allora esso è anche relativamente sequenzialmente

compatto.

Dal teorema 1, se X è sequenzialmente compatto, esso è chiuso, quindi X

coincide con la sua chiusura. Quindi la chiusura di X è sequenzialmente

compatta; per cui X è relativamente sequenzialmente compatto.

Corollario 2: Se X S è non vuoto e sequenzialmente compatto, allora X è limitato.

Se X è sequenzialmente compatto, lo è anche la sua chiusura. Quindi per il

teorema 1, la chiusura di X è un insieme chiuso e limitato. Essendo

_

X X

anche X è chiuso e limitato.

In generale, se X è limitato, non sempre è sequenzialmente compatto. Presi per

esempio S = Q e d( x,y ) = | x – y |, e preso X Q, consideriamo l’insieme

x = { ( 1 + (1/n)), n N }

si può dimostrare che questo insieme è limitato, ma non sequenzialmente compatto.

Teorema 2 : Sia X un sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico euclideo, allora

X è sequenzialmente compatto.

n

Sia { x } una successione di elementi di X. Essendo X limitato, allora anche la

successione sarà limitata. Essendo limitata, esisterà una sua estratta

Kn

convergente { x }(Teorema 5: ) ad x*. Per il Teorema 6: , x* appartiene

alla chiusura di X. Dato che X è chiuso, esso coincide con la sua chiusura,

quindi x* appartiene anche ad X.

Teorema 3 : Caratterizzazione degli insiemi sequenzialmente compatti negli spazi

euclidei.

 

p

Sia X R . X è sequenzialmente compatto X è chiuso e limitato

Corollario : Caratterizzazione degli insiemi relativamente sequenzialmente compatti

negli spazi euclidei. 

X è relativamente sequenzialmente compatto X è limitato  

Teorema 4 : Dato uno spazio metrico ( S,d ) e due insiemi X,Y tali che Y X S,

se X è sequenzialmente compatto ed Y è chiuso, allora Y è sequenzialmente

compatto

Teorema 5 di Bolzano : Sia X un sottoinsieme infinito e relativamente

sequenzialmente compatto di uno spazio metrico ( S,d ), allora DX = 0.

n

Essendo X infinito, si può costruire una successione { x } di elementi distinti

di X. Siccome X è compreso nella sua chiusura, allora la successione data starà

anch’essa nella sua chiusura. In oltre, essendo X relativamente

sequenzialmente compatto, la sua chiusura sarà un insieme sequenzialmente

compatto. Quindi esisterà una successione estratta dalla prima tale che

S _

Kn

{ x } x* X.

Quindi, dal Teorema 6 otteniamo la tesi.

Corollario : Teorema di Bolzano per gli spazi euclidei. P

Sia X un sottoinsieme infinito e limitato di uno spazio euclideo R . Allora DX è non

vuoto.

Se X è limitato, allora dal Teorema 3 si deduce che esso è sequenzialmente

compatto. Dal teorema di Bolzano infine troviamo che DX <> 0;

Distanza tra due insiemi

Dato uno spazio metrico ( S,d ) e due suoi sottoinsiemi X,Y non vuoti si definisce nel

seguente modo le loro distanza  

d(X, Y)= inf{ d(x, y) con x X, y Y }

Osservazione : se X Y <> 0 allora d( X, Y ) = 0.

 

Perché, preso x* X Y, d( x*, x*) = 0, ed x* appartiene sia ad X che ad Y.

 

Essendo { d( x, y ) con x X, y Y } un insieme di distanze, esso è costituito da

numeri non negativi, per cui, se lo zero appartiene a questo insieme, esso ne sarà

sicuramente l’estremo inferiore.

Il viceversa in genere non è valido. Prendiamo ad esempio S = R, X = [ 0, 1 ] ed Y

= ] 1, 0 ]. Allora d( X, Y ) = 0, ma la loro intersezione è l’insieme vuoto. Due insiemi

che non hanno elementi in comune, ma la cui distanza è zero, si dicono asintotici.

Funzioni 

Dati due spazi metrici ( S, d ) ed ( S’, d’ ), ed X S, definiamo funzioni definite in

un sottinsieme X di uno spazio metrico S, a valori in un secondo spazio metrico S’, le

funzioni della forma

f : X S’

L’insieme delle immagini di X in S’ si indica con

f( X ) = { f( x ), x X }

Funzioni continue ed uniformemente continue

Una funzione f( x ) si dice continua nel punto x0 X se vale la seguente condizione

e     

> 0 d > 0 : x X I( x0, d ) d’( f(x), f(x0)) < e. 

Una funzione f(x) si dice continua nell’insieme x, se è continua in ogni punto x X.

Una funzione f(x) si dice uniformemente continua nel punto x0 X se vale la

seguente condizione

 

e > 0 d > 0 :

  

x’, x’’ X con d(x’, x’’) < d d’( f(x’), f(x’’)) < e 

Teorema 1 : Dati due spazi metrici (S, d), (S’, d’), un insieme X S, una funzione f

definita da X ad S’, un punto x0 X, f è continua nel punto x0 sse per qualunque

n

successione { x } X che tenda ad x0, la successione ottenuta dalle immagini degli

elementi della prima converga ad f( x0 ).

La dimostrazione è uguale a quella di analisi I.

Teorema di Waierstrass

Teorema 2( di Weierstrass) : dati due spazi metrici (S, d) ed (S’, d’), dato un insieme

 

sequenzialmente compatto X S, ed una funzione f : X S’ continua in X, allora

l’insieme f(X) è sequenzialmente compatto.

Prendiamo { y } una qualsiasi successione di elementi di f(X). Esisterà allora

n

una successione di elementi di X così costruita

{ x } = { x : y = f( x ) }.

n n n n

Essendo X sequenzialmente compatto, esisterà una successione { x },

Kn

estratta dalla precedente, tendente ad un certo x* X. Essendo infine f

continua in X, la successione { y } = { f( x ) } tenderà ad f( x* ). Per ciò

Kn Kn

anche l’insieme f(X) è sequenzialmente compatto.

Osservazione 1 : Sia Y un sottoinsieme di R, non vuoto e limitato superiormente. Da

ciò si deduce che il suo estremo superiore esiste ed è finito. In oltre esso appartiene

_  

anche alla frontiera di Y. Dal teorema X = X X l’estremo inferiore di Y

appartiene anche alla sua chiusura.

Osservazione 2 : Sia Y un sottoinsieme di R limitato inferiormente. Allora il suo

estremo inferiore appartiene alla chiusura di Y.

Corollario 1 : Data una funzione f : [ a, b ] R, continua nell’intervallo [ a, b ],

valgono le seguenti

1) f è limitata in [ a, b ]

2) f ammette in [ a, b ] massimo e minimo

parte I: f è limitata in [ a, b ]

L’insieme [ a, b] è chiuso e limitato per il Teorema 3 : , esso è

sequenzialmenete compatto in R. Per il teorema di Weierstrass, anche

f([ a, b ]) è un insieme sequenzialmente compatto in R. Sempre per il

Teorema 3, quest’ultimo insieme è chiuso e limitato.

parte II : f ammette in [a, b] massimo e minimo.

Ossia esistono x’, x’’ X tali che

f( x ) <= f( x’ )  

f( x ) => f( x’’ ) x X

Abbiamo prima dedotto che l’insieme f( [a, b]) è limitato,

Dall’osservazione 1 ricaviamo che L = sup( f([a, b])) appartiene alla

chiusura di f([a, b]). Abbiamo prima però pure dedotto che f([a, b]) è

anche chiuso, per cui coincide esattamente con la sua chiusura. Da ciò L

appartiene ad f([a, b]).

Si svolge un’analoga dimostrazione per il minimo.

Corollario 2 : Preso X un sottoinsieme chiuso, limitato e non vuoto di uno spazio

metrico euclideo, ed f : X R una funzione continua in X, allora f è limitata in X ed

ivi ammette massimo e minimo.

Teorema di Cantor

Teorema 3 : Siano (S, d) ed (S’, d’) due spazi metrici, ed X un sottoinsieme non

vuoto di S. Sia infine f una funzione uniformemente continua da X a valori in S’.

Allora f è anche continua in X. Il viceversa in generale non è valido.

Teorema 4 (di Cantor): Siano (S, d) ed (S’, d’) due spazi metrici, sia X un 

sottoinsieme non vuoto e sequenzialmente compatto di S ed f una funzione f : X

S’ una funzione continua in X. Allora la f è anche uniformemente continua in X. La

dimostrazione si svolge per assurdo.

Corollario 3( Teorema di Cantor negli spazi euclidei): Sia X un sottoinsieme non

n

vuoto di uno spazio metrico euclideo R . Sia inoltre X chiuso e limitato. Data

una funzione f : X R, continua in X, essa è uniformemente continua in X.

Per il Teorema 3 , X è un insieme sequenzialmente compatto. Abbiamo così le

ipotesi del teorema di Cantor, per il quale la tesi.

 

n

Teorema 5: Sia (S, d) uno spazio metrico. Sia f : X R continua nel punto x0 X.

In ogni punto x X, la funzione f(x) si può prendere in considerazione come una n-

upla di numeri reali.

  

f(x) = ( f (x) R, f (x) R, ………. f (x) R)

1 2 n

Nascono in tal modo n funzioni che associano ad ogni elemento di x l’elemento

corrispondente della n - upla f(x). Le funzioni così ottenute sono tutte continue in x0.

Continuità delle funzioni composte

Teorema 6( di continuità delle funzioni composte) : Siano (S, d), (S’, d’), (S’’, d’’) tre

spazi metrici e valgano le seguenti ipotesi :

 

Y S’

 Y != 0

  

g : Y S’’ continua in y0 Y

 

X S

 X != 0

  

f : X S’ continua in x0 X

 cod f = Y

 f(x0) = y0

Allora la funzione h, ottenuta per composizione dalla g e dalla f, sarà ancora continua

in x0. h(x) = g(f(x))

h : X S’’

Dimostrazione: Fissiamo un e > 0, per la continuità di g in y0, esisterà un d’

per il quale y 

(1) d’’( g(y), g(y0)) < e I( y0, d’)Y.

Per la continuità della f in x0, esisterà inoltre un d’’, per il quale

x 

(2) d’( f(x), f(x0)) < d’ I( x0, d’’)X.

Poniamo d=d’’. 

Prendiamo un x XI(x0, d’’). Per la (2) d( f(x), f(x0))<d’. Per ipotesi

y0=f(x0). Possiamo quindi scrivere d( f(x), y0) < d’. Per cui f(x) I(y0, d’).

Alle f(x) così ottenute è quindi applicabile la diseguaglianza (1). In definitiva

d’’( g(f(x)), g(f(x0)) ) < e f(x), f(x0) : d( f(x), f(x0)) < d’

(3) d’’( h(x), h(x0) ) < e x, x0 : d( x, x0 ) < d

che esprime la continuità della funzione h nel punto x0.

  n

Corollario 4: Sia ( S, d ) uno spazio metrico. Siano X S ed Y R due insiemi non

 

vuoti. Data una funzione g : Y R continua in y0, ed n funzioni del tipo f : X R

i

tutte continue in x0. Valgano infine le seguenti

 x 

( f ( x), ………. f (x)) Y X

1 n

( f ( x0), ………. f (x0)) = y0.

1 n

La funzione h, ottenuta per composizione nel seguente modo

h(x) = g( f (x), ……….. f (x))

1 n

è allora continua nel punto x0.

Teorema della permanenza del segno e della

locale limitatezza

Dato uno spazio metrico ( S, d ), ed X un sottoinsieme non vuoto di S.

Teorema 1( della permanenza del segno) : Sia f una funzione f : X R, continua nel

punto x0.

Se f(x0) > 0 allora esiste un cerchio di raggio d e centro x0 tale che

 

f(x) > 0 x XI(x0, d); 

Teorema 2( della locale limitatezza ): Sia f : X R una funzione continua in x0.

Esisteranno allora due numeri reali positivi d, M tali che

 

| f(x) | <= M x X I(x0, d).

  +

Teorema 3: Sia f : X R continua in x0. Allora | f(x)| : X R è continua in x0.

 , 

Teorema 4: Siano f,g : X R continue in x0 ed R.

f(x) g(x) 

1) + : X R è continua in x0.

R

2) f(x)*g(x) : X è continua in x0.

x 

3) Se g(x)!=0 X allora f(x)/g(x) : X R è continua in x0.

Teorema di esistenza dei valori intermedi e degli

zeri

Teorema 5( di esistenza dei valori intermedi) : Sia (S, d) uno spazio metrico ed X un

suo sottoinsieme non vuoto, chiuso e connesso. Sia f : X R una funzione continua

,    .   ,  

in X ed F(x) con < Se ] [ allora esiste x* X tale che f(x*)=.

, 

Se appartengono ad F(x), esisteranno due elementi del dominio, a e b, tali

che f(a)= ed f(b)=. Definiamo due insiemi

 

C1 = { x X : f(x) <= }

 

C2 = { x X : f(x) => }

C1 e C2 non sono vuoti perché contengono uno a e l’altro b. In oltre sono

entrambi sottoinsiemi X, per cui la loro unione è a sua volta un sottoinsieme di

X. Proviamo che C1 C2 coincide con X. Preso infatti un generico xX, f(x)

.

sarà o maggiore , o minore o uguale ad Per cui esso appartiene all’unione

C1C2. 

Proviamo ora che C1 è chiuso. Prendiamo x* DX. Essendo x* un punto di

accumulazione, esisterà una successione {x } C1 che, in S, tenderà ad x*.

n

x* appartiene alla chiusura di X, che, essendo un insieme chiuso, coincide con

X stesso. Per la definizione di C1, la successione delle immagini di {x } è

n

.

minore od uguale a Per un Teorema precedente, la successione così ottenuta

 .

tenderà ad f(x*), che appartiene ad f(X), perché x* X. Quindi f(x*) <= Da

questa informazione si deduce che x* C1 e, siccome x* è un elemento di

DC1, allora C1 è chiuso.

Analogamente si prova che C2 è chiuso.

Essendo X connesso, la intersezione di C1 e C2 è non vuota, e l’unico

elemento comune ai due insiemi è proprio quell’x tale che f(x)=.

Corollario 1: (di esistenza degli zeri) Sia (S, d) uno spazio metrico ed X un suo

sottoinsieme non vuoto, chiuso e connesso. Sia f : X R una funzione continua in

 

X. Se esistono a, b X : f(a) <0 ed f(b) >0, esisterà anche x* X : f(x*)=0.

Corollario 2: Sia (S, d) uno spazio metrico, X un suo sottoinsieme non vuoto chiuso e

connesso. Si abbia infine una funzione continua in X definita con f. Poniamo

m=min(f(X)) ed M=max(f(X)). Allora l’insieme delle immagini della f sarà un

intervallo chiuso e limitato [m, M].

I caso : m=M; Allora F(X) è costituito dal solo elemento m.

II caso : m<M

Sia un elemento di [m, M]. Occorre provare che appartiene ad f(X). Esso può

coincidere con M o m. In tal caso appartiene all’intervallo. Se è distinto dagli

estremi, per il teorema dell’esistenza dei valori intermedi, esisterà un elemento

x del dominio per il quale f(x)=.

Limiti di funzioni

Sia (S,d) uno spazio metrico. Dato

S

X X!=0

f : X R

x0 DX

Sotto queste ipotesi sarà verificata la seguente

 > 0 I(x0,)X!=0

Convergenza e divergenza puntuale

Diremo che f(x) converge ad l, per x che tende ad x0, se

>0 >0 x  I(x0, )-{x0} 

: X | f(x) – l|<

Diremo che f(x) diverge positivamente, per x che tende ad x0, se

k>0 >0 x  

: XI(x0,)-{x0} f(x)>k

Diremo che f(x) diverge negativamente, per x che tende ad x0, se

k>0 >0 xXI(x0,)-{x0}f(x)<

: -k

Diremo f(x) regolare, per x tendente ad x0, se è convergente o divergente.

Diremo f(x) oscillante, per x che tende ad x0, se non è regolare.

f(x) si dirà infinitesima in x0, se

Lim f(x) =0

xx0

f(x) si dirà infinitamente grande in x0 se

Lim |f(x)| = +

xx0

I teoremi sui limiti visti in analisi 1 valgono anche negli spazi metrici.

Criterio di convergenza di Cauchy

Teorema 1: Dato uno spazio metrico (S, d), X un suo sottoinsieme non vuoto, ed f

una funzione definita in X ed a valori in R

x XDX  Lim f(x) = f(x0)

f continua in x0 xx0

Teorema 2(criterio di cauchy): Sia ora x0 un punto di accumulazione, allora esiste

finito il limite di f(x) per xx0 sse

>0  >0    

: x’, x’’ X tali che d(x’, x’’) < |f(x’) –f(x’’)| <

Convergenza e divergenza all’infinito

Fissiamo aS

Diremo che f(x) converge ad l, per x, se

>0 >0 x 

: tale che d(x,a)> | f(x) – l|<

Diremo che f(x) diverge positivamente, per x, se

k>0 >0 x 

: tale che d(x,a)> f(x)>k

,

Diremo che f(x) diverge negativamente, per x se

k>0 >0 x 

: tale che d(x,a)> f(x)< -k

,

Diremo f(x) regolare, per x se è convergente o divergente.

 ,

Diremo f(x) oscillante, per x se non è regolare.

 ,

f(x) si dirà infinitesima per x se

Lim f(x) =0

x

f(x) si dirà infinitamente grande se

Lim |f(x)| = +

x Derivate e differenziali

Derivata pariziale 2

Dato A un sottoinsieme aperto di R ed f definita in A ed a valori in R, fissiamo

 >0 

(x0,y0) A. Essendo A aperto, esisterà certamente R tale che I((x0,y0),)A.

Definiamo così i due segmenti

s1={ (x,y0) : x0- < x < x0+}

s2={ (x0,y) : y0- < y < y0+} 

E’ quindi possibile considerare la funzione f(x,y0) : s1 R. Se esiste finito

Lim f(x,y0) – f(x0, y0)

---------------------- = l = f (x0,y0)

x

xx0 x-x0

l si definisce derivata parziale della f rispetto ad x in (x0, y0). Similmente per y.

Supponiamo ora che esista la derivata parziale rispetto alla x in (x0, y0). Se esiste

finito Lim f (x, y0)- f(x0,y0)

x

_______________ = m = f (x0,y0)

xx

xx0

diremo che f ammette derivata seconda rispetto ad x contata due volte. Similmente

per f , f , f .

xy yy yx

Teorema di Schwarez(dell’invertibilità dell’ordine

di derivazione)  

2

Sia A un sottoinsieme aperto e non vuoto di R . Data f : A R, ed (x0, y0) A.

(x,y) 

Supponiamo che esistano f (x, y), f (x, y), f ( x, y), f (x, y) A. Allora

x y xy yx

se fxy ed fyx sono continue in (x0, y0), fxy(x0,y0)=fyx(x0, y0). )

Essendo A aperto ed (x0,y0) un punto di A, esisterà un cerchio I((x0,y0),

>0, /2.

del tutto contenuto in A. Fissato ora consideriamo

Dalla continuità delle derivate seconde

 1>0 (x,y) I(x0,y0),1)

1) : |f (x,y)- f ((x0,y0)|</2

xy xy

 2>0 (x,y) I(x0,y0),2)

2) : |f (x,y)- f ((x0,y0)|</2

yx yx

3=min( 1, 2). 

Prendiamo Fissato (x’, y’) I((x0,y0),3)

consideriamo una nuova funzione

(x)=f(x,y’)-f(x,y0) x[x0,x’].

Essa è derivabile in A, inquanto per ipotesi esiste f .

x

’(x)=f (x,y’)-f (x,y0) x[x0,x’].

x x

Per il teorema di Lagrange

   (x’) (x0) ’()(x’-x0)

]x0, x’[ : - =

3) L = f(x’, y’) – f(x’, y0)- f(x0, y’) + f(x0, y0) = (f (, y’) –f (, y0))(x’-x0)

x x

Consideriamo ora la seguente funzione

f (, y) : [y0, y’] R derivabile per ipotesi in ogni punto di A.

x

Applichiamo nuovamente Lagrange

   ]yo, y’[ : 4) f (, y’) – f (, y0)=f (,)(y’-y0)

x x xy

Dalla 3) e dalla 4) segue

L= f (,)(y’-y0)(x’-x0)

xy

Applicando lo stesso procedimento alle funzione

(y)=f(x’, 

y) – f(x, y0) : [y0, y’] R

otteniamo la 1, 1 

6) L=f (1,1)(y’-y0)(x’-x0) ]y0, y’[

yx

e confrontando la 5) e la 6) otteniamo

7) f (,)=f (1,1) dove

xy yx

, 1  , 1   1)  3).

]x’,x0[, ]y’, y0[ (,) ed (1, I((x0, y0),

|f (x0,y0) – f (x0,y0)| = aggiungo e sottraggo

xy yx

=|(f (x0,y0) - f (,)) + (f (1,1) - f (x0,y0)| <=

xy xy yx yx

<= |f (x0,y0) - f (,)| + |f (1,1) – f (x0,y0)|

xy xy yx yx 1),

per la 1) e la 2), applicate rispettivamente ai punti (,) ed (1,

/2 /2 .

< + =  

In definitiva |f (x0,y0) – f (x0,y0)| < ed, essendo arbitrario,

xy yx

f (x0,y0)= f (x0,y0)|.

xy yx

Differenziali 

Dati A aperto e non vuoto, f : A R, ed (x0, y0) A, la funzione si dice

differenziabile in A se valgono le seguenti

1) f ( x0, y0), f ( x0, y0)

x y

 (x,y)/((x- 2 2

2) Lim x0) +(y- y0) ) = 0

(x,y)(x0,y0)

(xy)=

dove f(x,y) – f(x0,y0) – (f (x0,y0)(x-x0)+ f (x0,y0)(y-y0)). La quantità

x y

evidenziata si chiama differenziale di f in (x0, y0). Se le due condizioni valgono in

ogni punto di A, la f si dice differenziabile in A.

Teorema 1: Sia f differenziabile in (x0, y0) appartenente ad A, allora la f è continua

in (x0,y0).

(x,y)= f(x,y) – f(x0,y0)- (f (x0,y0)(x-x0) +f (x0,y0)(y-y0))

x y

(x,y)

f(x,y)= + f(x0,y0)+ (f (x0,y0)(x-x0) +f (x0,y0)(y-y0))

x y

((x-x0)

2 2

moltiplico e divido per + (y-y0) )

(x,y)((x-x0) ((x-x0)

2 2 2 2

f(x,y)= + (y-y0) ) / + (y-y0) ) + f(x0,y0)+ (f (x0,y0)(x-x0)

x

+f (x0,y0)(y-y0))

y

Studiamo il comportamento al limite per (x,y)(x0,y0)

(x,y)((x-x0) 

2 2

+ (y-y0) ) 0 per l’ipotesi di differenziabilità

((x-x0) 

2 2

+ (y-y0) ) 0 

(f (x0,y0)(x-x0) +f (x0,y0)(y-y0)) 0 ( è un polinomio a coefficienti reali, ed è per

x y

questo continuo)

Da questi trè fatti, ricaviamo che f(x,y) tende a f(x0,y0) per (x,y)(x0,y0) ed è

quindi ivi continua.

Teorema 2(del differenziale totale): Dato A aperto, (x0,y0)A ed f:AR se

 (x,y)

f (x,y) A, continua nel punto (x0,y0)

x

 f (x,y) (o similmente scambiando x ed y nelle ipotesi)

y

allora f è differenziabile in (x0,y0).  0

2

Dato A, sottoinsieme di R non vuoto, sia f : A R. Diremo f di classe C

k

nell’aperto A se f è continua in A. Dato kN k>0, diremo che f è di classe C , se

valgono le seguenti

1) f è continua in A.

2) ammette in A derivate parziali dalle prime alle k-esime.

3) queste derivate sono tutte continue in A.

Diremo in fine che f C (A) se

1) f è continua in A.

2) f ammette derivate parziali di qualunque ordine in A.

3) Queste derivate sono tutte continue in A.

  1

Corollario 1: f : A R, f C (A) allora f è differenziabile in A.

Teorema di derivazione delle funzioni composte

 

2

Dato A R aperto non vuoto, f : AR differenziabile in (x0, y0) A. Siano

x(t) : (a,b) R

 

y(t) : (a,b) R derivabili in t0 (a,b).

Supposto che  t 

1) (x(t),y(t)) A (a,b)

2) (x(t0), y(t0)) = (x0, y0) 

allora h(t)= f( x(t), y(t)) : (a,b) R è derivabile in t0 ed inoltre

h’(t0)= f (x0,y0)x’(t0) + f (x0,y0)y’(t0)

x y

Dimostrazione: Dall’ ipotesi di differenziabilità, esistono le derivate parziali prime in

(x0, y0) ed inoltre (x,y)/((x- 2 2

Lim x0) +(y- y0) ) = 0

(x,y)(x0,y0)

(xy)=

dove f(x,y) – f(x0,y0) – (f (x0,y0)(x-x0)+ f (x0,y0)(x-x0)). Considero ora una

x y

nuova funzione

(x,y)= (x,y)/((x- A

2 2

(0) x0) +(y- y0) ) per (x,y) (x,y)!= (x0,y0)

0 in (x0,y0)

 : A R è continua in (x0, y0). Infatti

(x,y)= (x,y)/((x- (x0,y0)

2 2

Lim Lim x0) +(y- y0) ) = 0 =

(x,y)(x0,y0) (x,y)(x0,y0)

x(t) : (a,b) R ed y(t) : (a,b) R, essendo derivabili in t0 per ipotesi, sono ivi

continue. Inoltre   

(x(t), y(t)) A t (a,b)

(x(t0), y(t0))=(x0,y0) (x(t),y(t))

Per il teorema di Continuità delle funzioni composte, la funzione è

quindi continua in t0. Per cui

(x(t),y(t)) (x(t0), 

Lim = y(t0)) = (x0, y0) =0

tt0

Dalla (0) otteniamo la

(x,y) (x,y)*((x-x0)

2 2

(2) = +(y-y0) )

Sostituiamo quindi a il suo valore (x,y)*((x-x0)

2 2

f(x,y) – f(x0,y0) – (f (x0,y0)(x-x0)+ f (x0,y0)(x-x0))= +(y-y0) )

x y (x,y)*((x-x0)

2 2

(3) f(x,y) – f(x0,y0) = (f (x0,y0)(x-x0)+ f (x0,y0)(x-x0)) + +(y-y0) )

x y  t (a,b)

Poichè la (3) vale in tutto A, ed (x(t),y(t)) A

f(x(t),y(t)) – f(x(t0),y(t0)) = (f (x0,y0)(x(t)-x(t0))+ f (x0,y0)(x(t)-x(t0)) +

x y

(x,y)*((x(t)-x(t0)) t(a,b)

2 2

+(y(t)-y(t0)) )

sostituisco da f(x(t), y(t)) la nuova funzione h(t) e divido tutto per t- t0

(h(t) – h(t0))/(t-t0) = f (x0,y0)(x(t)-x(t0))/(t-t0)+ f (x0,y0)(x(t)-x(t0)/(t-t0) +

x y

(x,y)*((x(t)-x(t0)) t(a,b)

2 2

+(y(t)-y(t0)) )/(t-t0)

Lim (x(t)-x(t0))/(t-t0)=x’(t0) Lim (y(t) – y(t0))/(t-t0)= y’(t0)

tt0 tt0

Calcoliamo il limite del secondo membro, se esiste esisterà anche quello del primo.

((x(t)-x(t0)) 2 2

Lim +(y(t)-y(t0)) )/(t-t0)=

-

tt0

 2 2 2 2

Lim ( ((x(t)-x(t0))/(t-t0)) + ((x(t)-x(t0))/(t-t0)) )=(x’ (t0)+y’ (t0)) che esiste.

-

tt0

((x(t)-x(t0)) 2 2

Lim +(y(t)-y(t0)) )/(t-t0)=

+

tt0

 2 2 2 2

Lim ( ((x(t)-x(t0))/(t-t0)) + ((x(t)-x(t0))/(t-t0)) )=(x’ (t0)+y’ (t0)) che esiste.

+

tt0

Da queste due si deduce che esiste finito il limite della radice. Quindi

(x,y)*((x(t)-x(t0)) 2 2

Lim +(y(t)-y(t0)) )/(t-t0) =0 per la (1)

tt0

Infine

Lim (h(t)-h(t0))/(t-t0)=h’(t0) = f (x0,y0)x’(t0)+ f (x0,y0)y’(t0) .

x y

tt0 n

Teorema di derivazione delle funzioni composte in R : n

Sia nN, n>1 , A sottoinsieme aperto e non vuoto di R . f :AR differenziabile in

x0=(x0 , x0 , x0 , ....... x0 ) A.

1 2 3 n

Date n funzioni x (t) :(a,b)R, x (t) :(a,b)R,......... x (t) :(a,b)R derivabili in t0 e

1 2 n

tali che   (a,b)

(x (t), x (t), ............ x (t)) A t

1 2 n

(x (t0), x (t0), ............ x (t0)) = x0

1 2 n

allora la funzione

h(t)=f(x (t), x (t), ............ x (t)) è derivabile in t0, ed inoltre

1 2 n

h’(t0)= f (x0)x ’(t0)+ f (x0)x ’(t0)+.............+ f (x0)x ’(t0).

x1 1 x2 2 xn n

Derivata direzionale

 

2

Dato A R aperto non vuoto, f : AR differenziabile in (x0, y0) A. Sia r una

,

retta orientata passante per (x0,y0) ed i suoi coseni direttori. Un generico punto

di r si può esprimere nella forma

x(t)=x0+t

y(t)=y0+t 

Essendo A aperto esisterà di certo un intorno di raggio e centro (x0, y0) del tutto

[,

contenuto in A. Al variare di t nell’intervallo ]-; dimostriamo che i punti

(x(t), y(t)) appartengono tutti ad A.

( 2 2

d( (x(t),y(t)), (x0,y0)) = (x(t)-x0) +(y(t)-y0) ) =

( ( (

2 2 2 2 2 2 2 2

(x0+t-x0) +(y0+t-y0) ) = t + t )= |t| + )

  

2 2

poichè e sono i coseni direttori della stessa retta, + =1. In oltre, per ipotesi

 

- < t < |t|<, quindi in definitiva

,  t 

d( (x(t),y(t)), (x0,y0)) = | t | < ossia (x(t),y(t)) I((x0,y0),) ]-;[.

x(t), y(t) sono inoltre continue in ]-;[, perchè sono dei polinomi. Esiste quindi la

funzione composta 

h(t)=f(x(t),y(t)) : ]-;[ R

Cerchiamone ora la derivata nell’origine. Scriviamo il rapporto incrementale

t, t)

(1) ( h(t) – h(t0) ) /t = (f( x0 + y0 + – f(x0,y0))/t

Se esiste finito il limite della (1) per t che tende a t0, allora la funzione f(x) ammette

 .

in (x0,y0) derivata secondo la direzione orientata r, di coseni direttori e

Osservazione: Considerata la retta r, parallela all’asse delle x e orientata =1

concordemente con essa, ma passante per (x0,y0). I suoi coseni direttori sono e

=0. Calcoliamo il rapporto incrementale

(f(x0 +t, yo)- f(x0,y0)) / t t ]-;[

posto x=x0+t

( f(x,yo) – f(x0,y0))/ (x-x0) x ]x0 -; x0+[

per cui

(f(x0 +t, yo)- f(x0,y0)) / t = ( f(x,yo) – f(x0,y0))/ (x-x0)

Lim (f(x0 +t, yo)- f(x0,y0)) / t = Lim ( f(x,yo) – f(x0,y0))/ (x-x0)

t0 xx0

df/dr (x0,y0) = f (x0,y0)

x  

2

Teorema 1: Dato A R aperto non vuoto, f : AR differenziabile in (x0, y0) A.

,

Sia r una retta orientata passante per (x0,y0) ed i suoi coseni direttori. Sotto

queste ipotesi

 f f

(df / dr)(x0,y0) = (x0,y0) + (x0,y0)

x y

Dimostrazione : Essendo A aperto, esiste sicuramente un intorno circolare

)

I( (x0,y0), tutto contenuto in A. In oltre, abbiamo visto prima, che i punti

[.

(x0+t, y0+t) appartengono a questo intorno al variare di t in ]-; Considero la

funzione t, t)

h(t)=f( x0+ y0 + [,

x0+t è derivabile in tutto R, quindi anche in ]-; e la sua derivata prima

.

vale [,

y0+t è derivabile in tutto R, quindi anche in ]-; e la sua derivata prima

.

vale t)

Per t=0, (x0 +t, y0 + = (x0, y0).

Siamo quindi nelle ipotesi del . Per tanto

f f

h’(t0) = (x0,y0) + (x0,y0)

x y

Gradiente

 A, 

2

Dato A R aperto non vuoto, (x0, y0) supponiamo che f (x0, y0) f (x0,y0).

x y

Dicesi gradiente di f in (x0,y0) la tupla

grad f(x0,y0)= ( f (x0, y0) ,f (x0,y0) )

x y

Osservazione 1: Sia f costante in A. Allora esistono le derivate parziali prime della f

in tutto A ed inoltre il gradienete di f è identicamente nullo in ogni punto di A.

(x,y)  (x,y) 

f( x, y)= c A grad f(x,y)=(0,0) A.

Dimostrazione: Fissato ad arbitrio (x0,y0) A, essendo A aperto, esiste di certo un

)

intorno circolare I((x0,y0), del tutto contenuto in A. Studiamo il rapporto

incrementale

(1) ( f(x,y0) – f(x0,y0)) / (x-x0) x]x0-; x0 +[

Essendo la f costante 

( c – c) / (x-x0)= 0 f (x0,y0) = Lim ( f(x,y0) – f(x0,y0)) / (x-x0) = 0

x xx0

Dimostrazione analoga per f .

y

Essendo (x0,y0) arbitrario, segue la tesi.  2

Teorema 1(delle funzioni con gradiente nullo): Dato A R aperto non vuoto, e

internamente connesso

 (x,y) A

f (x,y) = 0

x  f è costante in A

 (x,y) A

f (x,y) = 0

y 

Dimostrazione : Scelti ad arbitrio (x0, y0) ed (x1, y1) A.

Parte 1: Supponiamo che il segmento s di estremi (x0,y0), (x1,y1) sia del tutto

contenuto in A. Scriviamo le equazioni di un generico punto di s

 

x(t)=x0+t(x1-x0) y(t)=y0+t(y1-y0) t [0,1]

Le derivate parziali sono costanti, quindi continue in tutto A. Per il

Teorema 2(del differenziale totale , la f è differenziabile in A.

Le due funzioni x(t): [0,1]R , y(t): [0,1]R sono polinomi, quindi derivabili

in tutto A. Per il esiste quindi

h(t)= f( x(t), y(t)) ed in oltre

 h’(t)= f (x(t),y(t))x’(t) + f (x(t),y(t))y’(t)

x y

essendo le derivate parziali prime nulle in ogni punto di A, la h’(t) sarà

identicamente nulla

t[0,1]

h’(t)=0

Per un risultato di analisi I, la h(t) è quindi costante.

 [0,1]

h(t)=f( x(t), y(t) ) = c t

in particolare per t=0 e t=1

f( x0, y0) = f( x1, y1 ) =c

Data l’arbitrarietà nella scelta dei due punti (x0,y0), (x1,y1) deduciamo che, c

omunque si prendano due punti in A, la funzione assume nei due punti lo

stesso valore, ossia la funzione è costante in A.

Parte 2: Supponiamo che il segmento s non sia contenuto interamente in A. Essendo

,

tuttavia A internamente connesso, esisterà una poligonale semplice di

vertici

1 1 2 2 3 3

(x0, y0) , (x , y ), (x , y ), (x , y ), ............ (x1, y1)

congiungetnte (x0,y0) e (x1,y1), interamente contenuta in A. Esaminando ora i vertici

a due a due consecutivi della poligonale, essi sono estremi di segmenti del tutto

contenuti in A. Possiamo applicare quindi il risultato ottenuto nella Parte 1 della

dimostraziono 1 1

f(x0,y0) = f(x , y )

1 1 2 2

f(x , y ) = f(x , y )

.

.

.

n n

f(x , y )=f(x1,y1)

ossia, per la transitività, f(x0,y0)=f(x1,y1).

 2

Corollario: Dato A R aperto non vuoto, e internamente connesso

Supponiamo 

f : AR f (x,y), f (x,y)

x y

R 

g: A g (x,y), g (x,y)

x y

f (x,y) =g (x,y) f (x,y) =g (x,y)

x x y y

Sotto queste ipotesi si dimostra che

   

c R : f(x,y) – g(x,y) = c (x,y) A (x,y)= 

Dimostrazione: Considero la seguente funzione f(x,y) - g(x,y): A R.

Ne calcolo le derivate parziali

 (x,y)= f (x,y) - g (x,y)

x x x

 (x,y)= f (x,y) - g (x,y)

y y y 

ma per ipotesi f (x,y) =g (x,y) f (x,y) - g (x,y)=0

x x x x

f (x,y) =g (x,y) f (x,y) - g (x,y)=0

y y y y

(x,y)=(0,0)  

quindi grad (x,y) A. Siamo nelle ipotesi del teorema delle funzioni

(x,y)= 

a gradiente nullo, quindi c (x,y)A (x,y) 

f(x,y) - g(x,y)=c A

Funzioni positivamente omogenee e insiemi

stellati  2 2

Dato un insieme X R non vuoto, esso si dice stellato rispetto all’origine di R se

gode del seguente requisito:

    

(x,y) X (tx, ty) X t R.

I punti (tx, ty) rappresentano la semiretta uscente dall’otigine e passante per (x,y).

L’insieme dei punti del primo quadrante è stellato. Qualsiasi cerchio di raggio finito

non è stellato. L’insieme dei punti interni di una parabola non è stellato.

Gli insiemi stellati sono unicamente

1) gli insiemi di punti racchiusi tra due semirette uscenti dall’origine.

2) L’insieme costituito unicamente dall’origine.

Sia X un insieme stellato. Data f : X R, essa si dice positivamente omogenea in X

(  

con grado di omogeneità R ) se si verifica la seguente

 (x,y)   

f( tx, ty)= t f(x,y) X, t>0 R  2

Teorema 1(omogeneità delle derivate parziali) : Dato A R , A aperto e stellato.

.

Sia f : AR positivamente omogenea in A con grado di omogeneità

Allora

 (x,y)    -1.

1) f (x,y) A f : A R è positivamente omogenea di grado

x x

 (x,y)    -1.

2) f (x,y) A f : A R è positivamente omogenea di grado

y y  

Dimostrazione: Fissiamo t1>0 R, (x1,y1) A. Essendo f positivamente omogenea

    -

f(t1*x,t1*y)= t1 f(x,y) (x,y) A f(x,y) = f(t1*x, t1*y)*t1

-

f(x1,y1) = f(t1*x1, t1*y1)*t1

-

f(x,y1) = f(t1*x, t1*y1)*t1

calcolo da queste la derivata parziale  

- -

f (x1,y1) = Lim ( f(t1*x, t1*y1)*t1 - f(t1*x1, t1*y1)*t1 ) / (x-x1)

x xx1

moltiplico e divido per t1 1-

f (x1,y1) = Lim (t1 )( f(t1*x, t1*y1) - f(t1*x1, t1*y1) ) / t1(x-x1)

x xx1

Posto infine X1=t1*x1, Y1=t1*y1, X=t1*x

1-

f (x1,y1) = Lim (t1 )( f(X, Y1) - f(X1, Y1) ) / (X-X1)

x XX1

 

1- 1-

f (x1,y1) = (t1 ) f (X1,Y1)= (t1 ) f (t1*x1,t1*y1)

x x x

1-

moltiplico tutto per t1

-1

(t1 )f (x1,y1) = f (t1*x1,t1*y1)

x x

Analogamente per la derivata parziale rispetto alla y.

 2

Teorema 2(di Eulero):Dato A R , A aperto e stellato. 

f : AR è differenziabile e positivamente omogenea in A con grado di omogeneità

se e solo se vale l’identità di Eulero:

xf (x,y) + yf (x,y)= f(x,y)

x y

Formule di Lagrange e Taylor

 2

Teorema 1: Dato A R , A aperto e non vuoto. Dati

1

f(x,y):AR di classe C in A

(x0, y0) , (x,y) A : (x0,y0)!=(x,y) ed il segmento di estremi (x,y),(x0,y0)

sia tutto contenuto in A.

Sotto queste ipotesi vale la seguente

 

(m,n) s –{ (x0,y0) ; (x,y)} 1(m,n)

f(x,y)= f(x0,y0) + [ (df/dx)*(x-x0)+(df/dy)*(y-y0)]

che rappresenta la cosiddetta formula di Taylor arrestata alle derivate parziali prime,

o formula di Lagrange.

Dimostrazione: Sia (x(t), y(t)) un generico punto si s. Le sue equazioni sono

x(t)=x0+t(x-x0)

y(t)=y0+t(y-y1)

Per il Teorema 2(del differenziale totale , f è differenziabile in A.

x(t) : [0,1] R

y(t) : [0,1] R

sono dei polinomi, quindi sono derivabili. Siamo quindi nelle ipotesi del , per il quale

h(t) = f(x(t),y(t)) : [0,1] R è derivabile ed inoltre  

h’(t)= f (x(t),y(t))x’(t)+ f (x(t),y(t))y’(t) t [0,1]

x y

sostituiamo le derivate

x’(t)= x-x0

y’(t)=y-y0  

h’(t)= f (x(t),y(t))(x-x0)+ f (x(t),y(t))(y-y0) t [0,1]

x y

Per il teorema di Lagrange di Analisi 1,

   

[0,1] : h(1)- h(0)=h’()(1-0)

f(x,y) – f(x0,y0)= f (x(),y())(x-x0)+ f (x(),y())(y-y0)

x y

posto ora m=x(), n=y()

f(x,y)= f(x0,y0)+f (m,n)(x-x0)+ f (m,n)(y-y0).

x y

 2

Teorema 2: Dato A R , A aperto e non vuoto. Dati

m

f(x,y):AR di classe C in A con m>0 N

(x0, y0) , (x,y) A : (x0,y0)!=(x,y) ed il segmento di estremi (x,y),(x0,y0)

sia tutto contenuto in A.

Sotto queste ipotesi vale la seguente

 

(,) s –{ (x0,y0) ; (x,y)} 1(x0,y0)

(1) f(x,y)= f(x0,y0) + [ (df/dx)*(x-x0)+(df/dy)*(y-y0)] +

2(x0,y0)

[ (df/dx)*(x-x0)+(df/dy)*(y-y0)] +

.

. m-1(x0,y0)

[ (df/dx)*(x-x0)+(df/dy)*(y-y0)] +

m(,)

[ (df/dx)*(x-x0)+(df/dy)*(y-y0)]

con k(x0,y0)

[ (df/dx)*(x-x0)+(df/dy)*(y-y0)] =

k

 k h k-h h k-h

(k in classe n) ( d /(d x*d y) (x-x0) *(y-y0)

(x0,y0)

h=0

La (1) si denota col nome di formula di Taylor arrestata alla derivata parziale

m-esima.

Massimi e minimi

2

Supposto XR tale che int(X)!=0, sia (x0,y0) un punto interno di X. Sia data la

funzione f : X R. >0R

Diremo che (x0, y0) è un punto di massimo relativo o locale per f se esiste

tale che  (x,y) 

I((x0,y0),) X ed inoltre f(x,y)<=f(x0,y0) I((x0,y0),)

Se f(x,y)<=f(x0,y0) (x,y) X diremo che (x0,y0) è un punto di massimo assoluto

per f . >0R

Diremo che (x0, y0) è un punto di minimo relativo o locale per f se esiste tale

che  (x,y) 

I((x0,y0),) X ed inoltre f(x,y)=>f(x0,y0) I((x0,y0),)

Se f(x,y)=>f(x0,y0) (x,y) X diremo che (x0,y0) è un punto di minimo assoluto

per f . 2

Teorema 1(di Fermat): Supposto XR tale che int(X)!=0, sia (x0,y0) un punto

interno di X. Sia data la funzione f : X R. Se (x0,y0) è un punto di massimo o

minimo relativo per la f in X allora

 

1) Se f (x0,y0) f (x0,y0)=0

x x

 

2) Se f (x0,y0) f (x0,y0)=0

y y

Dimostrazione : Supponiamo, per fissare le idee, che (x0, y0) sia un punto di

massimo relativo per la f. Dalla definizione di massimo relativo segue che esiste un

>0  R tale che 

  A

(1) f(x,y)<=f(x0,y0) (x,y) I((x0,y0),

questa diseguaglianza vale in particolare nei punti (x,y0) con x]x0-, x0+[

 

(1’) f(x,y0)<=f(x0,y0) x ]x0-, x0+[

(x)

Considero quindi la funzione =f(x,y0) :]x0-,x0+[R. Dalla (1’) si deduce

che la ha un punto di massimo relativo in x0. Poichè esiste per ipotesi la derivata

parziale della f rispetto alla variabile x nel punto (x0,y0), deduciamo che esiste la

derivata prima della nel punto x0

’(x0)= f (x0,y0)

x ,

Per un risultato di analisi 1, essendo x0 punto di massimo per la segue che

’(x0)=0, ossia f (x0,y0)=0.

x

Dimostrazione analoga per la derivata parziale della f rispetto alla variabile y.

2

Supposto XR tale che int(X)!=0, sia (x0,y0) un punto interno di X, sia data

f : XR. Esistano f (x0,y0) ed f (x0,y0). Il punto (x0,y0) si dice critico o

x y

stazionario per f se f (x0,y0)=0 ed f (x0,y0)=0. Un punto che è contemporaneamente

x x

sia di massimo che di minimo relativo per f è quindi critico. 

2 2

Teorema 2: Sia AR , aperto e non vuoto. Sia (x0,y0) un punto di A. f : AR C ,

ed infine (x0,y0) punto di massimo o minimo relativo per f. Sotto queste ipotesi

(i) f (x0,y0)= f (x0,y0)=0 per il Teorema 1(di Fermat.

x y 

(ii) f (x0,y0) <=0 (x0, y0) è un punto di massimo

xx 

f (x0,y0) <=0 (x0, y0) è un punto di minimo

xx

Similmente per la y.

(iii) |f (x0,y0) f (x0,y0)|

xx xy

H(x0,y0)= |f (x0,y0) f (x0,y0)| >=0

yx yy

H si chiama determinante Hessiano di f nel punto (x0,y0).

Dimostrazione:

Punto ii: Supponiamo che (x0,y0) sia un punto di massimo relativo. Essendo (x0,y0)

>0 

un punto di massimo relativo, esisterà di certo R tale che

  

(1) f(x,y)<=f(x0,y0) (x,y) I((x0,y0),) A.

La uno vale in particolare per i punti (x,y0) con x]x0-,x0+[

 

(1’) f(x,y0)<=f(x0,y0) x ]x0-,x0+[.

(x)=

Considero ora la funzione f(x,y0) : ]x0-, x0+[R. Dalla (1’) segue che

(x)<=(x0)  .

x]x0-,x0+[. Il punto x0 è quindi di massimo relativo per

Inoltre ’(x0)= f (x0,y0) che esiste per ipotesi.

x

’’(x0)= f (x0,y0) che esiste per ipotesi.

xx ’(x0)=0.

Dal teorema di fermat di Analisi 1, Sempre per un risultato di analisi 1, se

’’(x0)>0, .

Fosse il punto x0 sarebbe un punto di minimo per Poichè invece esso è

’’(x0)<=0.

un punto di massimo relativo, non può che essere

’(x0)= ’’(x0)=

In definitiva f (x0,y0)=0 f (x0,y0)<=0 .

x xx

Dimostrazione analoga per la y.

Osservazione 1: Se f (x0,y0)= f (x0,y0)=0, ma H(x0,y0) <0, possiamo affermare che

x y

(x0, y0) non è un punto ne di massimo ne di minimo.

Osservazione 2: H(x0, y0) >0 f (x0,y0)!=0, f (x0,y0)!=0 ed inoltre dono concordi.

x y

Dimostrazione:

H(x0,y0)= f (x0,y0)* f (x0,y0)- f (x0,y0)* f (x0,y0)>0

xx yy xy yx

Per il Teorema di Schwarez(dell’invertibilità dell’ordine di derivazione)

f (x0,y0)= f (x0,y0) dalla quale

yx xy xy2

H(x0,y0)= f (x0,y0)* f (x0,y0)- f (x0,y0)>0

xx yy xy2

f (x0,y0)* f (x0,y0)> f (x0,y0) >=0

xx yy

f (x0,y0)* f (x0,y0)>0

xx yy

per la legge di annullamento del prodotto

f (x0,y0)!=0

xx

f (x0,y0)!=0

yy

ed inoltre sono concordi.

 2

Teorema 3: Data f C (A) , (x0,y0)A. Siano f (x0,y0)= f (x0,y0)=0 e H(x0,y0)>0.

x y

Sotto queste ipotesi 

f (x0,y0)>0 (x0,y0) è un punto di massimo relativo.

xx 

f (x0,y0)<0 (x0,y0) è un punto di minimo relativo.

xx

Massimi e minimi assoluti

2

Sia XR non vuoto, chiuso e limitato. Sia inoltre f : XR continua in ogni punto di

X. Per il teorema di Weierstrass, f è dotata in X di massimo e minimo assoluti.

Esistono cioè almeno due punti (x1, y1), (x2, y2) in X tali che

(x,y) 

f(x,y) <= f(x1, y1) X massimo assoluto

(x,y) 

f(x,y) >= f(x1, y1) X minimo assoluto

I punti di massimo assoluto sono anche punti di massimo relativo. La stessa

affermazione vale per i punti di minimo.

Cosideriamo ora i tre insiemi

  

X1= { (x,y) Int(X) : f (x,y)=0 ed f (x,y)=0 }

y x

X2= { (x,y) Int(X) : non esiste almeno una delle derivate parziali }

X.

X3=

X è non vuoto. Perchè, essendo X limitato, esisteranno infiniti punti esterni ad X

stesso. Essendo X non vuoto, esisterà almeno un (x0,y0) interno ad X. Ogni segmento

che unisca (x0,y0) ad un punto esterno ad X avrà quindi un punto di intersezione con

la frontiera.

Osservazione :i trè insiemi sono a due a due disgiunti e la loro unione rappresenta

tutto X.

Dimostrazione : Sia (x0, y0) un punto di massimo o di minimo. Si possono

presentare trè casi:

  

1) (x0, y0) X2 (x0,y0) X1X2X3

  

2) (x0, y0) X3 (x0,y0) X1X2X3

3) (x0,y0) X- (X2X3)

Sia verificato il terzo caso. Dal fatto che (x0, y0) appertiene ad X, ma non ad X3, che

è la sua frontiera, si deduce che esso è un punto interno. Ammette entrambe le

derivate parziali prime, perchè se così non fosse, apparterrebbe ad X2. Per il Teorema

1(di Fermat, possiamo allora affermare che

f (x0,y0)=0

y

f (x0,y0)=0

x   

Quindi (x0,y0) X1 (x0,y0) X1X2X3 = X.

Successioni di funzioni

Dato uno spazio metrico (S,d), ed X un suo sottoinsieme non vuoto. Denotiamo con

x

R l’insieme delle applicazioni definite da X a valori in R. x

Dicesi successione di funzioni reali defintita in X, un’applicazione da N ad R .

Questa verrà indicata con la scrittura

{f1(x), f2(x), ...............,fn(x),...........}

Preso ora x0 X, si dirà che la successione { fn } converge nel punto x0 se e solo se

 

Lim fn(x0) = l R

n


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Catania - Unict
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi Matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Catania - Unict o del prof Marino Mario.

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