Analisi Matematica 2 - seconda parte

Teorema sulla convergenza di una successione in uno spazio metrico euclideo

Sia S = R uno spazio metrico euclideo e { x } una successione di elementi di S. Ogni elemento di questa successione avrà p componenti. Al variare di n avremo quindi p successioni di numeri reali. Se { x } tende ad un elemento x*, costituito da p componenti x*1, x*2, ..., x*i, ..., x*p, le successioni di numeri reali ottenute dalle componenti di { x } tenderanno alla corrispondente componente di x*.

In simboli:

R → n x1 → x1*
R → n x → x*
R → n xp → xn*

Parte I: Fissato ε > 0, per ipotesi, esiste un numero naturale N tale che, per ogni n > N, risulta d( xn, x* ) < ε. Applicando la disuguaglianza triangolare, otteniamo:

d( xn, x* ) < ε → √Σ(xn i - x*i) < ε

Evidentemente, vale la seguente:

√Σ(xn i - x*i) < ε → √Σ(xn i - x*i) < ε |x1 - x*1| + ... + |xp - x*p|

per la proprietà

transitivan| x₁ - x*₁ | < e. Abbiamo quindi dimostrato che, per qualunque valore di e, esiste un indice v a partire dal quale, la successione { x₁ } tende a x*₁. Ripetiamo l'operazione per tutti gli indici fino a p e otteniamo la tesi.

parte II: √p. Fissiamo e > 0 e consideriamo e / √p, che è ancora maggiore di zero. Per ipotesi esisterà un indice v₁ a partire dal quale | x₁ - x*₁ | < e / √p. Eleviamo al quadrato: 2( x₁ - x*₁ ) < e / p. Reiteriamo l'operazione fino a v_p. Definiamo a questo punto v' = max( v₁, v₂, ..., v_p).

Consideriamo n > v'. Sommiamo quindi le diseguaglianze così ottenute: ∑( n² (x_i - x*_i) ) < p ( e / p). Estraiamone la radice: ∑( n² (x_i - x*_i) ) < e, che in sostanza vuol dire nx → x*.

Successioni di Cauchy o fondamentali: Dato uno spazio metrico ( S,d ) e una successione { x } S, la successione si dice di Cauchy se si verifica la seguente condizione: per ogni e > 0 esiste un N

Teorema 4: Una successione convergente è di Cauchy.

Fissiamo un ε > 0 e consideriamo ½ε. Supponiamo la successione { x }n convergente ad un limite x*. Esisterà allora un indice v' a partire dal quale d( x , x* ) < ½ε. Siano quindi n ed m maggiori di v'. Per la proprietà triangolare, possiamo scrivere d( x , x ) ≤ d( x , x* ) + d( x*, x )n m. Per la convergenza ad x*, possiamo maggiorare i termini a destra d( x , x* ) + d( x*, x ) < ½ε + ½εn m. Infine, per la proprietà transitiva d( x , x ) < εn m.

Mostriamo con un contro esempio che il viceversa in generale non è valido. Consideriamo la successione infinitesima { 1/n } in R. Essa è convergente a zero, di conseguenza è una successione di Cauchy. Consideriamola ora nel sottoinsieme di R ] 0, 1 ]. Essa è ancora di Cauchy, ma non converge in ] 0, 1].

Spazio metrico completo: Uno spazio metrico si dice

completo se ogni sua successione di Cauchy è convergente. Proviamo ora che uno spazio euclideo è completo.

Sia { x } R una successione di Cauchy. Definiamo una diseguaglianza:

|a1||a2| ≤ √(2^2 + 2^2 + ... + an^2) diseguaglianza A.

Essendo { x } una successione di Cauchy, fissato un ε > 0, esisterà un indice v a partire dal quale d( x , x ) < ε. Ossia:

√(Σ(n m (xi – xi)^2)) < ε n,m > v

Applichiamo la diseguaglianza A per le componenti 1 del vettore x:

√(Σ(n m (| x1 – x1 |)^2 < (xi – xi)^2)) < ε

Ripetendo questa operazione per tutte le p componenti, ricaviamo che tutte le successioni ottenute fissando l’indice al variare di n sono successioni di Cauchy. Queste successioni appartengono ognuna all’insieme R. Per il Teorema di Cauchy in R, convergono quindi tutte ad elementi di R, che indicheremo con x*1, x*2, ... x*p. Infine, dal Teorema 3 ricaviamo:

quindin pche la successione originaria { x } converge in R ad un elemento x*, dicomponenti x*1, x*2 ………. x*p. n pTeorema 5: Si abbia una successione { x } R limitata. Esisterà allora una sua Pestratta tendente ad x* R .

Teorema 6: Sia ( S,d ) uno spazio metrico, e X un suo sottoinsieme:S    n nx0 DX {x } X di elementi distinti tale che x x0Insieme sequenzialmente compattoSia X un sottoinsieme di uno spazio metrico ( S,d ). Esso si dice sequenzialmentecompatto se è l’insieme vuoto, oppure da ogni successione di elementi di X se ne puòestrarre una convergente ad un elemento di X. X si dice invece relativamentesequenzialmente compatto se la sua chiusura è un insieme sequenzialmente compatto.

Teorema 1 : Sia ( S,d ) uno spazio metrico ed X S diverso dall’insieme vuoto. Se Xè sequenzialmente compatto allora è anche chiuso e limitatoparte I: proviamo che X è chiuso

 nX si dice chiuso se

x0 ) <= d( x , x* ) + d( x*, x0 ) <= M + d( x*, x0 )essendo d( x*, x0 ) una quantità costante, poniamo L = M + d( x*, x0 )Knd( x , x0 ) <= Lche contraddice l’ipotesi di illimitatezza di X.

Corollario 1: Sia ( S,d ) uno spazio metrico, e sia X un sottoinsieme non vuoto di S.Se X è sequenzialmente compatto, allora esso è anche relativamente sequenzialmentecompatto.Dal teorema 1, se X è sequenzialmente compatto, esso è chiuso, quindi Xcoincide con la sua chiusura. Quindi la chiusura di X è sequenzialmentecompatta; per cui X è relativamente sequenzialmente compatto.

Corollario 2: Se X S è non vuoto e sequenzialmente compatto, allora X è limitato.Se X è sequenzialmente compatto, lo è anche la sua chiusura. Quindi per ilteorema 1, la chiusura di X è un insieme chiuso e limitato. Essendo_X Xanche X è chiuso e limitato.In generale, se X è limitato, non sempre è

sequenzialmente compatto. Presi per esempio S = Q e d( x,y ) = | x – y |, e preso X Q, consideriamo l’insieme x = { ( 1 + (1/n)), n N } si può dimostrare che questo insieme è limitato, ma non sequenzialmente compatto.

Teorema 2 : Sia X un sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico euclideo, allora X è sequenzialmente compatto.

Sia { x } una successione di elementi di X. Essendo X limitato, allora anche la successione sarà limitata. Essendo limitata, esisterà una sua estratta Kn convergente { x } (Teorema 5: ) ad x*. Per il Teorema 6: , x* appartiene alla chiusura di X. Dato che X è chiuso, esso coincide con la sua chiusura, quindi x* appartiene anche ad X.

Teorema 3 : Caratterizzazione degli insiemi sequenzialmente compatti negli spazi euclidei.

Sia X R . X è sequenzialmente compatto X è chiuso e limitato

Corollario : Caratterizzazione degli insiemi relativamente sequenzialmente compatti negli spazi euclidei.

è relativamente sequenzialmente compatto X è limitato

Teorema 4 : Dato uno spazio metrico ( S,d ) e due insiemi X,Y tali che Y X S,se X è sequenzialmente compatto ed Y è chiuso, allora Y è sequenzialmentecompatto

Teorema 5 di Bolzano : Sia X un sottoinsieme infinito e relativamentesequenzialmente compatto di uno spazio metrico ( S,d ), allora DX = 0.nEssendo X infinito, si può costruire una successione { x } di elementi distintidi X. Siccome X è compreso nella sua chiusura, allora la successione data staràanch’essa nella sua chiusura. In oltre, essendo X relativamentesequenzialmente compatto, la sua chiusura sarà un insieme sequenzialmentecompatto. Quindi esisterà una successione estratta dalla prima tale cheS _Kn{ x } x* X.Quindi, dal Teorema 6 otteniamo la tesi.

Corollario : Teorema di Bolzano per gli spazi euclidei. PSia X un sottoinsieme infinito e limitato di uno spazio euclideo R . Allora DX

è nonvuoto. Se X è limitato, allora dal Teorema 3 si deduce che esso è sequenzialmente compatto. Dal teorema di Bolzano infine troviamo che DX <> 0;

Distanza tra due insiemi

Dato uno spazio metrico ( S,d ) e due suoi sottoinsiemi X,Y non vuoti si definisce nel seguente modo le loro distanza d(X, Y) = inf{ d(x, y) con x X, y Y }

Osservazione : se X Y <> 0 allora d( X, Y ) = 0.

Perché, preso x* X Y, d( x*, x*) = 0, ed x* appartiene sia ad X che ad Y.

Essendo { d( x, y ) con x X, y Y } un insieme di distanze, esso è costituito da numeri non negativi, per cui, se lo zero appartiene a questo insieme, esso ne sarà sicuramente l'estremo inferiore.

Il viceversa in genere non è valido. Prendiamo ad esempio S = R, X = [ 0, 1 ] ed Y = ] 1, 0 ]. Allora d( X, Y ) = 0, ma la loro intersezione è l'insieme vuoto. Due insiemi che non hanno elementi in comune, ma la cui distanza è zero, si dicono