Analisi matematica II

Convergente ed un limite in C

Nota: In dimensione finita, questa definizione si banalizza, perché significa che C è chiuso e limitato. (X, d) C ⊆ X, C ≠ ∅

Proposizione: C è uno spazio metrico con limite.

Dimostrazione: La proposizione afferma che C è chiuso.

Devo innanzitutto dire che C non è chiuso, ovvero che C ≠ C. Tale affermazione vuol dire che c'è un punto della chiusura che non sta in C, questo deve essere un punto di accumulazione per C, ma...

1. ∀ϵ > 0, B(x, ϵ) ∩ C \ {x} ≠ ∅ ⟹ ϵ = ...

Usiamo la definizione di punto di accumulazione, ovvero...

2. ∀n ∈ ℕ, B(x, 1/n) ∩ C \ {x} ≠ ∅ ⟹ ∀n ∈ ℕ, ∃x ∈ C : d(x, x_n) < ...

Quindi...

3. ∀n, x_n ≠ x ⟹ ∀n ∈ ℕ, x ∈ C ∧ lim x_n = x ∧ x ∉ C ⟹ C non...

è compatto.n * n n * *n→+∞Ogni insieme compatto è anche chiuso❗(X , d ) C ⊆ X , C ≠ ∅Proposizione è uno spazio metrico con .C ⟺ Cè connesso è un intervallo.Dimostrazione Omessa. 9fifififi fi ff fi fi ff fi fi fiMartina Contestabile Ingegneria informatica a.a 2021/2022(X , d ) C ⊆ X , C ≠ ∅Proposizione è uno spazio metrico con .C ⇒ CSe è compatto è limitato.CDimostrazione A ermiamo che non è limitato, ovvero è costituito di punti lontani quanto voglio. Siax ∈ C ∃ x ∈ C : d (x , x ) > 1 x x. Trovato , trovo anche . Mi serve un punto esterno ai due intorni di questi0 1 0 1 0 1∃ x ∈ C : d (x , x ) > 1 ∧ d (x , x ) > 1due punti, ovvero .2 0 2 1 2C ∃ x ∈ C : d (x , x ) > 1 i = 0,1,2Sempre per il fatto che non è limitato, , con .3 i 3x : ℕ → X ∀n ∈ ℕ x ∈ C ∧ d (x , x ) > 1 ∀n ,

m ∈ ℕ

Quindi, data , n n m⇒ ⇒ Cnon posso estrarre una sottosuccessione convergente non è compatto.(X , d ) X ⇒ XProposizione è uno spazio metrico. Se è compatto è completo.x : ℕ → X X CDimostrazione Data successione di Cauchy con elementi in e noto che è compatto, allora si sa che esiste unax x ⇒ x Xsottosuccessione di convergente ad l’intera successione converge a , quindi è completo.∞ ∞n 2n n∑d (x , y) = (y − x )ℝ C ⊆ ℝ ∧ C ≠ ∅Proposizione , .i ii=1 { C chiusoC ⟺ Cè compatto .C limitato⇒ in ogni spazio metrico.⇐ solo chiuso nito.Dimostrazione Omessa. chiuso{(X , d ) ⇒ (X , d ) limitatoè compatto èIn conclusione, .completolim f (x) = lOra, invece, si vuole de nire cosa vuol dire .x→x 0 Analisi I.Se serve una funzione, si deve prima introdurre due spazi metrici — insieme di partenza e di arrivo di 10fi fi

ffMartina Contestabile Ingegneria informatica a.a 2021/2022

LIMITI E CONTINUITÀ(X , d ) (Y, d ) f : A → Y A ⊆ X l ∈ Y x ∈ X x

De nizione e sono spazi metrici. , con , . , è punto di accumulazione perx y 0 0A lim f (x) = l ⇌ ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ A d (x , x ) < δ ∧ x ≠ x d ( f (x), l ) < ϵ, con ,, .0 0 yx→x 0 lim d ( f (x), l ) = 0

Nota Con le successioni, si poteva a ermare che , poiché diventava un numero reale.yx→x 0 Analisi I,Con le funzioni, che sono in uno spazio metrico generale, non si rientra in perché dipende dallo spaziox nmetrico di de nizione della funzione. La distanza tra e il limite è un numero reale che dipende da . È veronf (x) l x → xche la distanza di da è un numero reale, ma ora si fa per , che è un limite in uno spazio metrico e,0 x → xquindi, non è possibile dare quella come de nizione. Non è noto

Cosa significa "limite" in uno spazio metrico?

Siano (X, d) e (Y, d') spazi metrici, f: A → Y una funzione, A ⊆ X e A ≠ ∅.

Proposizione: (X, d) e (Y, d') sono spazi metrici e A ≠ ∅ ⇒ l = L.

Unicità del limite con x→x0: lim f (x) = l ⇒ ∀ϵ > 0 ∃δ′ > 0 : ∀x ∈ A d (x , x0) < δ′ ∧ x ≠ x0 d ( f (x), l ) < ϵ.

Dimostrazione: lim f (x) = L ⇒ ∀ϵ > 0 ∃δ′′ > 0 : ∀x ∈ A d (x , x0) < δ′′ ∧ x ≠ x0 d ( f (x), L) < ϵ.

Inoltre, d (l , L) ≤ d (l , f (x)) + d ( f (x), L) < 2ϵ δ′ ≠ δ′′.

Per l'arbitrarietà di ϵ, in quanto può assumere un valore per cui ϵ > 0, si ottiene 0 ≤ d ( f (x),

l ) < 2ϵ ⇒ d (l , L) = 0 .⇒ l = L(X , d ) (Y, d ) f : A → Y, A ⊆ X ∧ A ≠ ∅ x A l ∈ Y

Proposizione e sono spazi metrici e e di accumulazione per , con .x y *|lim f (x) = l ⟺ ∀ x : ℕ → X x ∈ A ∀n ∈ ℕ lim x = x ∧ x ≠ x

Legame fra il limite , con ,successione n n * n *x→x n→+∞* lim f (x ) = ldi funzione e vale .nn→+∞successione ⇒

Dimostrazione Casolim f (x) = l ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ A d (x , x ) < δ ∧ x ≠ x d ( f (x), l ) < ϵcon .0 0 yx→x *lim x = x ∀η > 0 ∃ν ∈ ℕ : ∀n > ν d (x , x ) < ηn * x n *n→+∞⇒ ∀ϵ > 0 ∃ν ∈ ℕ ∀η > ν d ( f (x ), l ) < ϵ ϵ Noto il limite, ci si basa sulla— scelto arbitrario.y n proposizione della⇒ lim f (x ) = l .n caratterizzazione dei punti din→+∞

ρ ρ| | | | | |f ( ρ cos θ, ρ sin θ ) − 0 = = = | |ρ (cos θ + sin θ ) (cos θ + sin θ ) (cos θ + sin θ )ρ

Il è una quantità positiva, si può togliere il modulo. Tuttavia, non lo si può togliere alle coordinate polari.

2 100 2 99 2x + (−x + x ) 1 + (−1 + x )100f (x , − x + x ) = = .100 18x x⇒ + ∞ ⇒ ∄ lim

Il numeratore tende a due, il denominatore a zero . Abbiamo due strade:

1. Il limite esiste: modulo, coordinate polari, faccio sparire tetha.

2. Il limite non esiste: cerco un cammino, sostituendo con una funzione alla quale tende la funzione data, calcolandoquanto vale il limite.

Esempio ylim x(x,y)→(0,0)sin θ

Il limite non esiste, perché in coordinate polari si ottiene .cos θy = 0 f (x ,0) = 0 0

Ci si pone su e si calcola x→0f (x , x) = 1 1 ❗non c’è limitex→0(X , d ) (Y, d ) f : A → Y A ⊆ X x

0x→x 0x AII. O è isolato per .0⇒ xCaso